Đáp án chuyên Toán học Hải Dương 2014-2015 - Học Toàn Tập

Vậy K luôn thuộc vào đường thẳng vuông góc với AB tại H xác định như trên.[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2014 – 2015

Môn thi: Toán (chuyên ) I) HƯỚNG DẪN CHUNG

- Thí sinh làm bài theo cách khác nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa

- Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm

II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM

Đặt M = x26x36 x26x64(ĐK:x R )

A x  x  x  x  x  x  x  x 0,25

A M  x  x  x  x x  x  x  x 0,25

3 2 2 3 2 2

3 2 2 3 2 2

x

x

3

1

3 2 2 3 2 2

2

3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 3 2 2 6 3

x

3 3

6 6x 3x 1

3

Xét phương trình: x220x24 8 3( x 1) 0 (ĐK: x1)

x2 8x 16 12x 12 8 3x 3 4 0

x 4 2 3x 3 2x 4 2 3x 3 2 0

x 6 2 3x 3x 2 2 3x 3 0

        6 2 3 3 0 (1)

2 2 3 3 0 (2)

    

 



0,25

2

6 6

24 48 0

12 4 6

x x

x x

x





2 2

16 16 0

8 4 3

x x

x x

x





Xét hệ phương trình:

13

2

2

   



      

     



0,25

Đặt:

3

3

b

    

  



0,25

12

3 3

1

a b

a b

 





0,25

*

2

37 2

2

2

x x

  



 1377

144

x

 

0,25

*

2

39 3

3

2

3 6

y y

  



 1521

144

y

 

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: 1377; 1521

0,25

Ta có: n a 3 b3 a b a   2 ab b 2, dễ thấy a>1

Do n là số nguyên tố, a và b là các số tự nhiên, a>1, suy ra 2 2

1

a ab b 

a b a b

Lại có: 100 n 502 2 2

100 3b 3b 1 502 33 b b 167

133 2b 1 669

      6 b 12  b 6;7;8;9;10;11;12 0,25

Kiểm tra lần lượt các giá trị b ta được: n127;271;331;397 0,25

+) Đặt 4 2 x x(  0;x Q - Tập số hữu tỉ) Ta chứng minh được:

Nếu có b c Q bx c;  :      0 b c 0 (*)( Vì trái lại thì x vô tỉ bằng

c

b

 hữu tỉ- Vô lý)

0,25

+) Nếu có ax2bx c 0( ; ;a b c Q )(1) thì ta có:

3 2 0(2)

ax bx cx và 2a bx 3cx2 0(3)

_ Nếu a =0 thì từ (1) và (*) ta có b = c =0

_ Nếu a0 thì từ (2) và (3) ta có b2 ac x 2 bcx 2a2  0(4)

Từ (1) và (4) ta có b3  2abc x cb  2 ac2  2a3  0(5)

0,25

Sử dụng kết quả (*), từ (5)ta có

3

(**)







Nếu b=0 từ (**) ta có c 2

a  ( Vô lý vì c Q; 2 Q

Nếu b0 từ (**) ta có c2  2a2  0 ( Vô lý vì a0 )

Vậy ( 1) xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 0

0,25

Ta có: ·BED BAD· (góc nt chắn

»

BAD AMD (cùng phụ với MAD· ) 0,25

BED NMD

Do BED DEN· · 180 0 DMN DEN· · 180 0  Tứ giác DENM nội tiếp 0,25

Chứng minh ENAvà EABđồng dạng AN AE

0,25

I

E

D

O B

A

K M

N

H

 và DABđồng dạng AM AD

2

(1)

Gọi I là giao điểm của DE và AB (AB là đường kính, từ gt của M,N suy ra

D và E nằm về hai phía của AB nên I nằm giữa A và B)

Chứng minh DIAvà BIEđồng dạng AD AI

EB IE

AIE

 và DIBđồng dạng AE AI

AE AD AI AI

EB DB IE ID



0,25

AIE

 và DIBđồng dạng IE IA IE ID IA IB .

IB ID

AE AD AI AI IA

EB DB IA IB IB

Từ (1) và (2) suy ra AM AN.2 =IA

Do AM.AN không đổi, IA + IB = AB không đổi, từ (3) ta có I cố định

0,25

Ta có: ID.IE = IA.IB = OA2 - OI2

Tương tự ID.IE = KD2 - KI2 (*)

và AM.AN = KM2 - KA2 (**)

0,25

Từ (*),(**) ta có KI2 - KA2 = AM.AN - IA.IB IA AB2 - IA IB m

IB

   là số dương không đổi

0,25

Kẻ KH vuông góc với AB tại H

suy ra HI2 - HA2 = KI2-KA2 = m 0,25 hay (HI - HA)(HI + HA) = IA.(2HA + IA) = m

Do I, A cố định, m không đổi suy ra H cố định

Vậy K luôn thuộc vào đường thẳng vuông góc với AB tại H xác định như

trên

0,25

x y       a x y a x y  a

2 2 2 2 9

x y a a

2

a a

 

Do x y 0  a 0 a 9 2 a.9 6

    Dấu “=” xẩy ra khi a = 3

6 2 4

A

    Dấu “=” xẩy ra khi a = 3

0,25

5 1 2

x y o

x xy

y

x y

 

  

 



   



Vậy MinA = 4 khi 5 1

5 1

x y

  





 