Giải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình do thuvientoan.net biên soạn

Hãy tính số công nhân của đội, biết rằng nếu đội tăng thêm 5 người thì số ngày để hoàn thành công việc sẽ giảm đi 7 ngày.. Lời giải..[r]

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LẬP PHƯƠNG

TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Nguyễn Đức Vũ Duy

Sinh viên trường ĐH Khoa học Tự nhiên Tp HCM

Cựu học sinh chuyên Toán trường THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa

GIỚI THIỆU.Dạng toán thực tế yêu cầu học sinh giải bằng phương pháp lập phương trình, hệ phương trình

thường xuất hiện trong các đề thi tuyển vào lớp 10 Dạng toán đòi hỏi học sinh phải có kĩ năng biểu đạt các

đại lượng và giải quyết chúng

1 PHƯƠNG PHÁP GIẢI CHUNG

1 Lập phương trình hoặc hệ phương trình

(a) Chọn ẩn, đơn vị cho ẩn, điều kiện thích hợp cho ẩn

(b) Biểu đạt các đại lượng khác theo ẩn

(c) Dựa vào các dữ kiện, điều kiện của bài toán để lập

phương trình hoặc hệ phương trình

2 Giải phương trình hoặc hệ phương trình

3 Nhận định, so sánh kết quả bài toán tìm kết quả thích hợp, trả

lời, nên rõ đơn vị của đáp số

Nhận xét. Trong quá trình giải toán, học sinh cần chú ý đến đơn vị của

ẩn, tập xác định, điều kiện bài toán để tránh sai sót trong việc giải toán.

2 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

1 Dạng toán về chuyển động

2 Dạng toán về hình học

3 Dạng toán về công việc làm chung làm riêng, chảy chung,

chảy riêng của vòi nước

4 Dạng toán tìm số

5 Dạng toán về %

6 Dạng toán khác

3 CÁC VÍ DỤ 3.1 Bài toán về chuyển động

Ví dụ 1. Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 150km với vận tốc dự định Khi đi được2quãng đường AB, người đó dừng xe nghỉ 15 phút Để đảm bảo đến B đúng thời gian dự định, người đó đã tăng vận tốc thêm 10km/h trên quãng đường còn lại Tính vận tốc dự định của người đi xe máy đó.

(Đề thi vào lớp 10 tỉnh Bình Thuận 2018 - 2019)

Lời giải Gọi vận tốc dự định của người đi xe máy đó là: x(x > 0).

Thời gian người đó dự định đi từ A đến B là:150x Thời gian để người đó đi hết 2

3 quãng đường ban đầu là: 2

3.150x =100x Quãng đường còn lại người đó đi sau khi nghỉ là: 150 − 100 = 50 (km)

Vận tốc người đó đi trên quãng đường còn lại là: x + 10 (km/h)

Từ giả thiết, ta lập được phương trình:100

x +14+x+1050 =150x Giải phương trình trên, ta có nghiệm x = 40 (nhận) và x = −50 (loại vì x > 0)

Kết luận: Vận tốc dự định của người đi xe máy là 40km/h

Ví dụ 2. Một người dự định đi từ A đến B với thời gian đã định Nếu người đó tăng vận tốc thêm 10km/h thì đến B sớm hơn dự định 1 giờ Nếu người đó giảm vận tốc đi 10km/h thì đến B muộn hơn dự định 2 giờ Tính vận tốc, thời gian dự định đi và độ dài quãng đường AB.

Lời giải Gọi vận tốc dự định đi từ A đến B của người đó là: x

(km/h) (x > 0)

Gọi thời gian dự định đi từ A đến B của người đó là: y(km/h)

(y > 0)

Ta có đội dài của quãng đường AB là: x.y (km)

Nếu người đó tăng vận tốc thêm 10km/h thì đến B sớm hơn dự

định 1 giờ nên ta có phương trình:

(x + 10)(y − 1) = xy

Nếu người đó giảm vận tốc đi 10km/h thì đến B muộn hơn dự

định 2 giờ nên ta có phương trình:

(x − 10)(y + 2) = xy

Ta có hệ phương trình:

( (x + 10)(y − 1) = xy

(x − 10)(y + 2) = xy

Giải hệ phương trình, ta thu được:

(

x = 30

y = 4

Kết luận: Vận tốc dự định là 30km/h, thời gian dự định là 4 giờ,

quãng đường AB là 120km

3.2 Bài toán về hình học

Ví dụ 3. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng

5m Nếu tăng chiều dài thêm 10m và chiều rộng thêm 5m thì diện tích

mảnh vườn đó tăng gấp đôi Tính chiều dài và chiều rộng mảnh vườn đó.

(Đề thi vào lớp 10 tỉnh Tuyên Quang năm 2018 - 2019)

Lời giải Gọi chiều rộng của mảnh vườn là: x(x > 0)

Chiều dài của mảnh vườn là: x + 5 (m)

Diện tích của mảnh vườn là: x.(x + 5)

Nếu tăng chiều dài thêm 10m và chiều rộng thêm 5m thì diện tích

mảnh vườn đó tăng gấp đôi nên ta có:

(x + 15).(x + 5) = 2x(x + 5)

Giải phương trình trên, ta được: x = 15 (nhận) hoặc x = −5 (loại

vì x > 0)

Kết luận, chiều dài của mảnh vườn là 20m, chiều rộng mảnh vườn

là 15m

Ví dụ 4. Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 256πcm2và bán

kính đáy bằng 12đường cao Tính bán kính đáy và thể tích của hình trụ.

(Đề thi vào lớp 10 tỉnh Tiền Giang năm 2018 - 2019)

Lời giải Gọi bán kính đáy hình trụ là: r, đường cao hình trụ là: h.

Diện tích xung quanh hình trụ là: 256π = 2πrh

Bán kính đáy bằng1đường cao nên r = 1h nên suy ra 2r2=128 Suy ra, r = 8 và h = 16

Thể tích hình trụ là: πr2h = 82.π.16 = 1024π

Kết luận, bán kính đáy hình trụ là 8cm, thể tích hình trụ là

1024πcm3

Ví dụ 5. Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích là: 300m2 Nếu giảm chiều dài đi 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì mảnh vườn trở thành hình vuông Tính chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn.

(Đề thi vào lớp 10 tỉnh Quảng Ninh năm 2017 - 2018)

Lời giải Gọi chiều dài mảnh vườn là x, (x > 0)

Gọi chiều rộng mảnh vườn là y, (y > 0) Mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích là: 300m2nên ta có phương trình:

x.y = 300

Nếu giảm chiều dài đi 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì mảnh vườn trở thành hình vuông nên ta có phương trình:

x − 2 = y + 3

Từ đó, ta lập được hệ phương trình:

( x.y = 300

x − 2 = y + 3

Giải hệ phương trình và kết hợp với điều kiện của x, y ta thu được:

(

x = 20

y = 15

Kết luận, chiều dài của mảnh vườn là 20m, chiều rộng của mảnh vườn là 15m

3.3 Bài toán về công việc làm chung làm riêng, chảy chung, chảy riêng của vòi nước

Ví dụ 6. Một đội công nhân hoàn thành một công việc với mức 420 ngày công Hãy tính số công nhân của đội, biết rằng nếu đội tăng thêm 5 người thì số ngày để hoàn thành công việc sẽ giảm đi 7 ngày.

Lời giải Gọi số công nhân của đội là x(người), x > 0

Số ngày hoàn thành công việc với x người là:420x

Số công nhân khi tăng 5 người: x + 5

số ngày hoàn thành công việc với x + 5 người là: 420

x+4

Nếu đội tăng thêm 5 người thì số ngày để hoàn thành công việc sẽ

giảm đi 7 ngày nên ta có pt:

420

x −

420

x + 5 =7.

Giải phương trình, ta được x = 15 (nhận) hoặc x = −20 (loại)

Kết luận, số công nhân của đội là 15 người

Ví dụ 7. Hai người công nhân cùng làm chung một công việc thì hoàn

thành trong 16 giờ Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ 2 làm 2

giờ thì họ làm được 16công việc Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người

hoàn thành công việc đó trong bao lâu?

(Đề thi vào lớp 10 tỉnh Hà Tĩnh năm 2018 - 2019)

Lời giải Gọi thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc là:

x (giờ), x > 0

Gọi thời gian để người thứ hai hoàn thành công việc là: y (giờ),

y > 0

Trong 1 giờ, người thứ nhất và người thứ hai làm được lượng công

việc lần lượt là: 1x,1y

Hai người công nhân cùng làm chung một công việc thì hoàn

thành trong 16 giờ nên ta có:

1

x+

1

y=

1

16. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ 2 làm 2 giờ thì họ làm

được16 công việc nên ta có:

3

x+

2

y=

1

6.

Từ đó, ta có hệ phương trình:

(1

x+1y =161 3

x+2y =1 Giải hệ phương trình, ta thu được: x = 24, y = 48

Kết luận, nếu làm một mình người thứ nhất hoàn thành công việc

sau 24 giờ, người thứ hai hoàn thành sau 48 giờ

Ví dụ 8. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể sau 1 giờ 20 phút thì đầy

bể Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và vòi thứ hai chảy trong 12

phút thì đầy152 bể Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì bao lâu mới đầy

bể.

Lời giải Gọi thời gian để vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là: x

(phút), x > 80

Gọi thời gian để vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là: y (phút),

y > 80

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể sau 1 giờ 20 phút thì đầy bể

nên ta có phương trình:

1

x+

1

y=

1

80.

Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và vòi thứ hai chảy trong

12 phút thì đầy152 bể nên ta có phương trình:

10

x +

12

y =

2

15.

Từ đó, ta có hệ phương trình:

(1

x+1y =801 10

x +12y =152 Giải hệ phương trình, ta thu được: x = 120, y = 240 Kết luận, nếu chảy một mình thì vòi thứ nhất chảy đầy bể sau 120 phút, vòi thứ hai chảy đầy bể sau 240 phút

3.4 Bài toán tìm số

Ví dụ 9. Tìm một số có hai chữ số biết rằng: Hiệu của số ban đầu với số đảo ngược của nó bằng 18 (số đảo ngược của một số là số thu được bằng cách viết các chữ số của số đó theo thứ tự ngược lại) và tổng của số ban đầu với bình phương số đảo ngược của nó bằng 618.

(Đề thi vào lớp 10 tỉnh Bình Định năm 2018 - 2019)

Lời giải Ta gọi x là số ban đầu, y là số đảo ngược của x

(18 < x < 99, y > 0) Hiệu của số ban đầu với số đảo ngược của nó bằng 18 nên:

x − y = 18

Tổng của số ban đầu với bình phương số đảo ngược của nó bằng

618 nên

x + y2=618

Ta có hệ phương trình:

(

x − y = 18

x + y2=618

Giải hệ trên, ta được y2+y − 600 = 0, khi đó y = 24 (nhận) hoặc

y = −25 (loại)

Do đó, số ban đầu cần tìm là: 42

Ví dụ 10. Tìm số có hai chữ số biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ

số hàng đơn vị là 2 và số đó gấp 7 lần tổng các chữ số của nó.

Lời giải Gọi số cần tìm có dạng ab với a, b ∈ 0, 1, 2, 3, , 9), a 6= 0

Chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 nên: a − b = 2

Số đó gấp 7 lần tổng các chữ số của nó nên: 10a + b = 7(a + b)

Ta có hệ phương trình:

(

a − b = 2

10a + b = 7(a + b)

Giải hệ phương trình, ta thu được: a = 4 và b = 2 Vậy, số cần tìm là: ab = 42

3.5 Bài toán về tỉ số phần trăm

Ví dụ 11. Trong tháng đầu hai tổ công nhân sản xuất được 800 chi tiết

máy Sang tháng thứ hai tổ vượt mức 15%, tổ 2 sản xuất vượt mức 20%,

do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất được 945 chi tiết máy Hỏi rằng trong

tháng dầu, mỗi tổ công nhân sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy.

Lời giải Gọi số chi tiết sản xuất được trong tháng đầu của tổ 1 là

x, (0 < x < 720)

Gọi số chi tiết sản xuất được trong tháng đầu của tổ 2 là

y, (0 < y < 720)

Trong tháng đầu hai tổ công nhân sản xuất được 800 chi tiết máy

nên ta có phương trình:

x + y = 800

Sang tháng thứ hai tổ vượt mức 15%, tổ 2 sản xuất vượt mức 20%,

do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất được 945 chi tiết máy nên ta có

phương trình:

115x

100 +

112y

100 =945.

Từ đó, ta có hệ phương trình:

(

x + y = 800

115x

100 +112y100 =945

Giải hệ phương trình này, ta thu được:

(

x = 300

y = 500

Ví dụ 12. Năm ngoái dân số của hai tỉnh A và B là 4 triệu người Dân

số tỉnh A năm nay tăng 1,2% còn tỉnh B tăng 1,1%, tổng dân số của hai

tỉnh năm nay là 4 045 000 người Tính dân số của mỗi tỉnh năm ngoái

và năm nay.

Lời giải Gọi dân số năm ngoái của tỉnh A là: x, x < 4000000

Gọi dân số năm ngoái của tỉnh B là: y, y < 4000000

Năm ngoái dân số của hai tỉnh A và B là 4 triệu người nên ta có

phương trình:

x + y = 4000000

Dân số tỉnh A năm nay tăng 1,2% còn tỉnh B tăng 1,1%, tổng dân

số của hai tỉnh năm nay là 4 045 000 người nên ta có phương trình:

1, 2x

100 +

1, 1y

100 =45000.

Từ đó, ta có hệ phương trình:

(

x + y = 4000000

1,2x

100 +1,1y100 =45000

Giải hệ phương trình, ta được:

(

x = 1012000

y = 3033000

Kết luận, dân số tỉnh A năm ngoái là 1 012 000 người , năm nay là 1012000.1, 012 = 1024144 người

Dân số tỉnh B năm ngoái là 3033000 người, năm nay là 3033000.1, 011 = 3066363 người

3.6 Một số bài toán khác

Ví dụ 13. Nhân ngày sách Việt Nam, 120 học sinh khối 8 và 100 học sinh khối 9 cùng tham gia phong trào xây dựng "Tủ sách nhân ái" Sau một thời gian phát động, tổng số sách cả hai khối đã quyên góp được là

540 quyển Biết rằng mỗi học sinh khối 9 quyên góp nhiều hơn mỗi học sinh khối 8 một quyển Hỏi mỗi khối đã quyên góp được bao nhiêu quyển sách? (Mỗi học sinh trong cùng một khối quyên góp số lượng sách như nhau).

(Đề thi vào lớp 10 tỉnh Nghệ An năm 2018 - 2019)

Lời giải Gọi số sách khối 8 và khối 9 quyên góp được lần lượt là:

x, y (quyển sách), (0 < x, y < 540)

Số sách cả hai khối quyên góp được là:

x + y = 540

Số sách một bạn học sinh khối 8 quyên góp:120x quyển

Số sách một bạn học sinh khối 9 quyên góp:100y quyển Mỗi học sinh khối 9 quyên góp nhiều hơn mỗi học sinh khối 8 một quyển nên ta có phương trình:

y

100 −

x

120=1.

Từ đó, ta lập được hệ phương trình:

(

x + y = 540

y

100−120x =1

Giải hệ phương trình, ta thu được:

(

y = 300

x = 240

Kết luận, khối 9 đã quyên góp được 300 quyển sách, khối 8 quyên góp được 240 quyển sách

Ví dụ 14. Một trường học A có tổng số giáo viên là 80 Hiện tại, tuối trung bình của giáo viên là 35 Trong đó, tuổi trung bình của giáo viên

nữ là 32 và tuổi trung bình của giáo viên nam là 38 Hỏi trường học đó

có bao nhiêu giáo viên nữ và bao nhiêu giáo viên nam?

(Đề thi vào lớp 10 tỉnh Quảng Ngãi năm 2018 - 2019)

Lời giải Gọi số giáo viên nam là: x, (0 < x < 80)

Gọi số giáo viên nữ là: y, (0 < y < 80) Tổng số giáo viên là 80 nên ta có phương trình:

x + y = 80

Tuổi trung bình của giáo viên là 35 nên tổng số tuổi của tất cả giáo

viên là: 80.35 = 2800

Tuổi trung bình của giáo viên nữ là 32 và tuổi trung bình của giáo

viên nam là 38 nên ta có phương trình:

38x + 32y = 2800

Từ đó, ta lập được hệ phương trình:

(

x + y = 80

38x + 32y = 2800

Giải hệ phương trình, ta thu được:

(

x = 40

y = 40

Kết luận: Trường học đó có 40 giáo viên nữ và 40 giáo viên nam

Ví dụ 15. Một công ty vận tải dự định dùng loại xe lớn để chở 20 tấn

rau theo một hợp đồng Nhưng khi vào việc, công ty không còn xe lớn

nên phải thay bằng những xe có trọng tải nhỏ hơn 1 tấn so với xe lớn ban

đầu Để đảm bảo thời gian đã hợp đồng, công ty phải dùng một số lượng

xe nhiều hơn số xe dự định là 1 xe Hỏi trọng tải mỗi xe nhỏ là bao nhiêu

tấn?

(Đề thi vào lớp 10 tỉnh Lào Cai năm 2018 - 2019)

Lời giải Giả sử mỗi xe tải nhỏ chở được x (tấn) rau, x > 0

Mỗi xe tải lớn chở được: x + 1 (tấn) rau

Số lượng xe nhỏ và lớn công ty phải dùng lần lượt là:20

x, 20 x+1 Công ty phải dùng một số lượng xe nhiều hơn số xe dự định là 1

xe nên ta có phương trình:

20

x + 1 =

20

x −1.

Giải phương trình trên, ta thu được: x = 4 (nhận) hoặc x = −5

(loại)

Do đó, Trọng tải mỗi xe nhỏ là 4 tấn rau

Nhận xét. 1 Khi giải các bài toán cần phải chú ý điều kiện của ẩn,

mối liên hệ giữa các ẩn để lập phương trình, hệ phương trình phù

hợp.

2 Thường thì nên đặt đại lượng bài toán yêu cầu làm ẩn, tuy nhiên,

chúng ta cũng cần linh hoạt từng bài, nhiều bài có nhiều cách giải.

3 Khi trình bày cần chú ý kết luận đầy đủ yêu cầu của bài toán tránh

bỏ sót.

4 Sau khi giải xong bài toán nên thử lại đáp số để chắc chắn không có

sai sót trong quá trình giải.

4 BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài tập 1. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc trên quãng đường AB dài 120km Mỗi giờ ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10km nên đã đến B sớm hơn ô tô thứ hai 0,4 giờ Tính vận tốc của ô tô thứ nhất.

(Đề thi vào lớp 10 tỉnh Lai Châu năm 2018 - 2019)

Bài tập 2. Quãng sông từ A đến B dài 60km Một canô xuôi dòng từ A đến B rồi ngược dòng từ B trở về A mất tổng cộng 8 giờ Tính vận tốc thực của canô, biết vận tốc dòng nước là 4km/h.

(Đề thi vào lớp 10 tỉnh Bắc Kạn năm 2018 - 2019)

Bài tập 3. Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 144km Một ô tô khởi hành từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc không đổi trên cả quãng đường Sau khi ô tô thứ nhất đi được 20 phút, ô tô thứ hai cũng

đi từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc lớn hơn vận tốc ô tô thứ nhất là 6km/h (vận tốc không đổi trên cả quãng đường) Biết rằng cả hai

ô tô đến thành phố B cùng một lúc.

1 Tính vận tốc của hai xe ô tô

2 Nếu trên đường đó có biển báo cho phép xe chạy với vận tốc tối đa 50km/h thì hai xe ô tô trên, xe nào vi phạm về giới hạn tốc độ?

(Đề thi vào lớp 10 tỉnh Hải Phòng năm 2018 - 2019)

Bài tập 4. Một xe ô tô và một xe máy khởi hành cùng lúc từ địa điểm A

đi đến địa điểm B cách nhau 60km với vận tốc không đổi, biết vận tốc của

xe ô tô lớn hơn vận tốc của xe máy là 20km/h và xe ô tô đến B sớm hơn

xe máy 30 phút Tính vận tốc của mỗi xe.

(Đề thi vào lớp 10 tỉnh Đồng Nai năm 2018 - 2019)

Bài tập 5. Một xe ô tô đi từ A đến B theo đường quốc lộ cũ dài 156km với vận tốc không đổi Khi từ B về A, xe đi đường cao tốc mới nên quãng đường giảm được 36km so với lúc đi và vận tốc tăng so với lúc đi là 32km/h Tính vận tốc ô tô khi đi từ A đến B, biết thời gian đi nhiều hơn thời gian về là 1 giờ 45 phút.

(Đề thi vào lớp 10 tỉnh Quảng Ninh năm 2018 - 2019)

Bài tập 6. Một xưởng mỹ nghệ dự định sản xuất thủ công một lô hàng gồm 300 cái giỏ tre Trước khi tiến hành, xưởng được bổ sung thêm 5 công nhân, nên số giỏ tre phải làm của mỗi người giảm 3 cái so với dự định Hỏi lúc dự định, xưởng có bao nhiêu công nhân? Biết năng suất làm việc của mỗi người là như nhau.

(Đề thi vào lớp 10 tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu năm 2017 - 2018)

Bài tập 7. Có 3 đội xây dựng cùng làm chung một công việc Làm chung được 4 ngày thì đội III được điều động làm việc khác, 2 đội còn lại cùng làm thêm 12 ngày nữa thì hoàn thành công việc Biết rằng năng suất của đội I cao hơn năng suất của đội II, năng suất của đội III là trung bình cộng của năng suất đội I và năng suất đội II, và nếu mỗi đội làm một mình một phần ba công việc thì phải mất tất cả 37 ngày mới xong Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì bao nhiêu ngày xong công việc trên.

(Đề thi vào lớp 10 Phổ Thông Năng Khiếu năm 2003 - 2004)

Bài tập 8. Cho một hình chữ nhật Nếu tăng dộ dài mỗi cạnh của nó lên 1 cm thì diện tích của hình chữ nhật sẽ tăng thêm 13 cm2 Nếu giảm chiều dài đi 2cm, chiều rộng đi 1cm thì diện tích hình chữ nhật sẽ giảm

đi 15 cm2 Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đã cho.

(Đề thi vào lớp 10 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2005 - 2006)

Bài tập 9. Ba chiếc bình có thể tích tổng cộng là 132 lít Nếu đổ đầy

nước vào bình thứ nhất rồi lấy nước đó đổ vào hai bình kia thì:

Hoặc bình thứ ba đầy nước, còn bình thứ hai chỉ được nửa bình.

Hoặc bình thứ hai đầy nước, còn bình thứ ba chỉ được một phần ba

bình.

(Coi như trong quá trình đổ nước từ bình này sang bình kia lượng

nước hao phí bằng không).

Hãy xác định thể tích của mỗi bình.

(Đề thi vào lớp 10 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2000 - 2001)

Bài tập 10. Cho một số có hai chữ số Tìm số đó, biết rằng tổng hai chữ

số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần, nếu thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ

được một số theo thứ tự ngược lại với số đã cho.

(Sưu tầm)

Bài tập 11. Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh A và B cách

nhau 90km, đi ngược chiều và gặp nhau sau 1,2 giờ (xe thứ nhất khởi

hành từ A, xe thứ hai khởi hành từ B) Tìm vận tốc của mỗi xe Biết rằng

thời gian để xe thứ nhất đi hết quãng đường AB ít hơn thời gian để xe

thứ hai đi hết quãng đường AB là 1 giờ.

(Đề thi vào lớp 10 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2005 - 2006)

Bài tập 12. Cùng một thời điểm, một chiếc ô tô XAxuất phát từ thành

phố A hướng thành phố B và một chiếc khác XBxuất phát từ thành phố B

về hướng thành phố A Chúng chuyển động với vận tốc riêng không đổi

và gặp nhau lần đầu tại một điểm cách A là 20km Cả hai chiếc xe sau khi

đến B và A tương ứng, lập tức quay trở lại và chúng gặp nhau lần thứ

hai tại một điểm C Biết thời gian xe XBđi từ C đến B là 10 phút và thời

gian giữa hai lần gặp nhau là 1 giờ Hãy tính vận tốc của từng chiếc ô tô.

(Đề thi vào lớp 10 Phổ Thông Năng Khiếu năm 2004 - 2005)

Bài tập 13. Ba vòi nước A, B, C được bắc cùng vào một bể chứa Các

vòi chảy được một lượng nước bằng thể tích của bể theo thời gian chảy

được ghi trong các trường hợp sau:

1 Vòi A: 2 giờ và vòi B: 1 giờ 30 phút

2 Vòi A: 1 giờ và vòi C: 4 giờ

3 Vòi B: 3 giờ và vòi C: 2 giờ

Hãy tính thời gian để riêng từng vòi chảy được một lượng bằng thể tích

của bể.

Bài tập 15. Người ta trộn 4 kg chất lỏng loại I với 3 kg chất lỏng loại

II thì được một hỗn hợp có khối lượng riêng là 700kg/m3 Biết rằng khối

lượng riêng của chất lỏng loại I lớn hơn khối lượng riêng của chất lỏng

loại II là 200kg/m3 Tính khối lượng riêng của mỗi chất lỏng.

Bài tập 16. Một hợp kim gồm đồng và kẽm trong đó có 5 gam kẽm Nếu

thêm 15 gam kẽm vào hợp kim này thì được một hợp kim mới mà trong

hợp kim đó lượng đồng đã giảm so với lúc đầu là 30% Tìm khối lượng

ban đầu của hợp kim.

Bài tập 17. Tính ba cạnh của tam giác vuông ABC vuông tại A biết chu

vi tam giác là 12 và tổng bình phương ba cạnh tam giác là 50.

Bài tập 18. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc từ 2 tỉnh A và B cách nhau 400km đi ngược chiều và gặp nhau sau 5h Nếu vận tốc của mỗi xe không thay đổi nhưng xe đi chậm xuất phát trước xe kia 40 phút thì hai xe gặp nhau sau 5h22 phút kể từ lúc xe chậm khởi hành Tính vận tốc mỗi xe.

Bài tập 19. Cho một số có hai chữ số Tìm số đó, biết rằng tổng hai chữ

số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần, nếu thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ được một số theo thứ tự ngược lại với số đã cho.

Bài tập 20. Một thuở ruộng hình chữ nhật, nếu tăng chiều dài thêm 2m

và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích tăng thêm 100m2 Nếu cùng giảm chiều dài và chiều rộng đi 2m thì diện tích giảm đi 68m2 Tính diện tích của thuở ruộng đó.

Bài tập 21. Hai công nhân cùng làm một công việc trong 18h thì xong Nếu người thứ nhất là 6h và người thứ hai làm 12h thì chỉ hoàn thành 50% công việc Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu ?

Bài tập 22. Một ca nô đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định Nếu canô tăng vận tốc thêm 3km/h thì thời gian rút ngắn được 2 giờ Nếu ca nô giảm vận tốc đi 3km/h thì thời gian tăng 3 giờ Tính vận tốc

và thời gian dự định của ca nô.

Bài tập 23. Một ca nô chạy trên sông trong 8 giờ xuôi dòng được 81km

và ngược dòng 105km Một lần khác, ca nô chạy trên sông trong 4 giờ xuôi dòng 54km và ngược dòng 42km Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước.

Bài tập 24. Một xe máy đi từ A đến B trong thời gian đã định Nếu đi với vận tốc 45km/h sẽ tới B chậm mới nửa giờ Nếu đi với vận tốc 60km/h

sẽ tới B sớm 45 phút Tính quãng đường AB và thời gian dự định.

Bài tập 25. Có hai loại quặng chứa 75% sắt và 50% sắt Tính khối lượng của mỗi loại quặng đem trộn để được 25 tấn quặng chứa 66% sắt.

Bài tập 26. Một trường tổ chức cho học sinh đi tham quan bằng ô tô Nếu xếp mỗi xe 40 học sinh thì còn thừa 5 học sinh Nếu xếp mỗi xe 41 học sinh thì xe cuối cùng còn thiếu 3 học sinh Hỏi có bao nhiêu học sinh

đi tham quan và có bao nhiêu ô tô ?

Bài tập 27. Tìm vận tốc và chiều dài của một đoàn tàu hỏa biết đoàn tàu

ấy chạy ngang qua văn phòng ga từ đầu máy đến hết toa cuối cùng mất 7 giây Cho biết sân ga dài 378m và thời gian kể từ khi đầu máy bắt đầu vào sân ga cho đến khi toa cuối cùng rời khỏi sân ga là 25 giây.

Bài tập 28. Một ô tô đi từ A đến B trong một thời gian nhất định Nếu

xe chạy với vận tốc 35km/h thì đến chậm mất 2h Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì đến sớm hơn 1h Tính quãng đường AB và thời gian dự kiến ban đầu.

Bài tập 29. Hai vòi nước cùng chảy đầy một bể không có nước trong 3 giờ 45 phút Nếu chảy riêng lẻ, mỗi vòi phải chảy trong bao lâu mới đầy

bể ? Biết rằng vòi chảy sau lâu hơn vòi chảy trước 4h.

Bài tập 14. Có 2 hộp đựng bi, nếu lấy từ hợp thứ nhất một số bi bằng

số bi có trong hộp thứ hai rồi bỏ vào hộp thứ hai, rồi lại lấy từ hộp thứ hai

một số bi bằng số bi còn lại trong hộp thứ nhất và bỏ vào hộp thứ nhất,

cuối cùng lấy từ hộp thứ nhất một số bi bằng số bi còn lại trong hộp thứ

hai và bỏ vào hộp thứ hai Khi đó số bi trong mỗi hộp đều là 16 viên Hỏi

lúc đầu mỗi hộp có bao nhiêu viên bi?