Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán 10 năm 2018-2019 có đáp án – Trường THPT Liễn Sơn

Xác định điểm K thuộc cạnh AC sao cho 3 điểm B, I, K thẳng hàng.. Cho n điểm phân biệt trong mặt phẳng.[r]

SỞ GD – ĐT VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN

ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG NĂM 2018-2019

MÔN: TOÁN – KHỐI 10

(Thời gian làm bài 180 phút)

Câu 1 (2 điểm) Cho phương trình 2

(m1)x 2(m1)x    (x là ẩn, m là tham số) m 3 0

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Câu 2 (2 điểm) Cho phương trình 2

x  x m  Tìm các giá trị của m để phương

trình có 2 nghiệm x x thỏa mãn 1, 2 x x12 22 x12x22  4

Câu 3 (2 điểm) Cho phương trình 2

(2m1)x 2mx   Xác định m để phương trình đã 1 0 cho có nghiệm thuộc khoảng ( 1;0)

Câu 4 (2điểm).Cho phương trình 2 2

x  m xm  m   (m là tham số) có 2 nghiệm

1, 2

x x thỏa mãn điều kiện (x1x2)(x x1 2  Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 1) 0

1( 2 1) 2

Ax x   x

Câu 5 (2 điểm) Giải phương trình: 3 2  3

x  x  x x 

Câu 6 (2 điểm) Giải hệ phương trình

2

2





Câu 7 (2 điểm) Cho tam giác ABC Điểm M thuộc cạnh BC sao cho MC = 3MB, I là điểm thuộc đoạn AM sao cho AI = 3IM Xác định điểm K thuộc cạnh AC sao cho 3 điểm B, I, K

thẳng hàng

Câu 8 (2 điểm) Cho n điểm phân biệt trong mặt phẳng Bạn An gọi chúng là A A1, 2, ,A n

Bạn Bình gọi là B B1, 2, ,B ( n A B có thể là một điểm hoặc không) Tính tổng vecto i, i

A B A B  A B

Câu 9 (2 điểm) Cho tam giác ABCvới A( 1; 3), (2;5), (4;0)  B C Xác định trực tâm H của

tam giác ABC

Câu 10 (2 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn

3 2

a b  b c  c a 

Chứng minh rằng:

3 2

b cc aa b 

-Hết -

Họ tên thí sinh:……… Số báo danh:………

SỞ GD – ĐT VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN

HƯỜNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG NĂM 2018-2019

MÔN: TOÁN – KHỐI 10

1 Cho phương trình 2

(m1)x 2(m2)x    (x là ẩn, m là tham số) Tìm m m 3 0

để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Bài làm

+) Với m = 1 phương trình là:   6x 2 0 1( )

3

x loai

+) Với m 1 để phương trình có 2 nghiệm :

' 0

8

m

Vậy

1 8 1

m m

 





 



1,0

2 Cho phương trình 2

x  x m  Tìm các giá trị của m để phương trình có 2

nghiệm x x thỏa mãn 1, 2 x x12 22 x12x22 4

Bài làm

Để phương trình có 2 nghiệm thì ' 0 5

3

m

Theo viet ta có : 1 2

1 2

2

3 4

x x

x x m

  



Ta có: 2 2 2 2

(3m 4) ( 2) 2(3m 4) 4

2

9m 18m 0 m [0;2]

Kết hợp điều kiện 5

3

m  ta được [0; ]5

3

3 Cho phương trình 2

(2m1)x 2mx   Xác định m để phương trình đã cho có 1 0 nghiệm thuộc khoảng ( 1;0)

Bài làm

+) Xét 2 1 0 1

2

+) Xét 1

2

m  Khi đó ta có :

2

' (m 1) 0, m

    

Phương trình có nghiệm x 1và 1

x m



0,5

Ta thấy nghiệm x 1 không thuộc (-1; 0) Vậy để phương trình có

nghiệm trong khoảng (-1; 0) suy ra : 1 1 0

0,5

1

1 0

2 1

2 1 0

m m



 

  



0

m

  Vậy phương trình đã cho có nghiệm trong khoảng (-1 ;0) khi và chỉ khi

0,5

m 

4 Cho phương trình 2 2

x  m xm  m   (m là tham số) có 2 nghiệm x x1, 2

thỏa mãn điều kiện x1x210 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 0

1( 2 1) 2

Ax x   x

Bài làm

Để phương trình có nghiệm: 2 2

(m3) m 3m  1 0 8

9

m

Theo viet: 1 2

2

1 2

2( 3)

3 1

   



Ta có x1x2100  m 2

+) Ax x1( 2 1) x2 2

+) Lập bảng biến thiên của hàm số 2

f m m   trên m [ 8; 2]

9

 ta được

giá trị lớn nhất của A = 9 khi m = 2, giá trị nhỏ nhất A = 13

2 khi

1 2

m 

0,5

5

Giải phương trình: 3 2  3

x  x  x x 

Bài làm

Điều kiện: x  1

 3

3 ( 1) 2 1 0

3

 2     

 x 1 x   x x 1 x 2x 1  0

0,5

1

  

 



0,5

2

2

0

1 5 1

2 0

2 2 2

x

x

x

 







  



0,5

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm 2 2 2; 1 5

2

x  x 

6

Giải hệ phương trình

2

2







Bài làm:

Điều kiện: 1

y x

 



  

0,5

 2

2 xy 6y2x 4 x  y 1

2x 4xy 2y 6y 2x 4 x y 1 2 x y( 1)

2[x 2 (x y 1) (y 1) ] x y 1 2 x y( 1)

2

2(y 1 x) ( x y 1) 0

1

y x

  

0,5

Thay vào phương trình (*) ta được:

2

(*)(x 3x   3) x 1 4   x x 2 x  7 0

2

3 3 0



0,5

3 21 2

3 21

( ) 2

x

  









  





Vậy hệ phương trình có nghiệm:

3 21 2

5 21 2

x

y

  







 

 



0,5

7 Cho tam giác ABC Điểm M thuộc cạnh BC sao cho MC = 3MB, I là điểm thuộc

đoạn AM sao cho AI = 3IM Xác định điểm K thuộc cạnh AC sao cho 3 điểm B, I, K

thẳng hàng

Bài làm

Đặt ABa AC;  và AK t AC b 

Khi đó: BK    a tb

Ta có: 3

4

AI  AM =3 

BM  BC  ACAB

0,5

BI  AI AB a ba = 7 3

Để 3 điểm B,I,K thẳng hàng thì

:

7 16 1

m

m m



Suy ra: 3

7

AK  AC Vậy điểm K thuộc đoạn AC sao cho 3

7

AK  AC

0,5

8 Cho n điểm phân biệt trong mặt phẳng Bạn An gọi chúng là A A1, 2, ,A Bạn Bình n

gọi là B B1, 2, ,B ( n A B có thể cùng là một điểm hoặc không) Tính tổng vectơ i, i

A B A B   A B

Bài làm

Lấy điểm O bất kỳ Khi đó :

A B A B   A B  A OA O  A OOB OB  OB

Vì A A1, 2, ,A n  B B1, 2, ,B n nên

1,0

OB OB  OB OA OA  OA

Do đó :

A B A B   A B 

1,0

9

Cho tam giác ABCvới A( 1; 3), (2;5), (4;0)  B C Xác định trực tâm H của tam

giác ABC

Bài làm :

Giả sử H x y Do H là trực tâm của tam giác ABC nên ta có ( ; ) 0

AH BC

BH AC







0,5

Ta có : AH x1;y3 ; BH x2;y 5

2; 5 ;  5;3

Ta có hệ phương trình :    





164

31

x

y

 



 



Vậy điểm 164 15

;

31 31

 

10

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn

3 2

a b  b c  c a 

Chứng minh rằng: 3

2

b cc aa b

Bài làm:

x a b y b c z c a khi đó , ,x y z 0 và ta có

3 2

x  y z

Ta có : 2 2 2  2 2 2

2

x y z  a b c

0,5

Do đó ta được :

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :  2 2 2 2

b c  b c  y Suy ra :

2 2

 



Tương tự ta cũng có :

;

Do đó :

x y z

x y z

2

6 2 x y z x y z

6 2 x y z x y z x y z

       

0,5

9.3 2 3

3 2

6 2

Vậy bđt được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khí a=b=c=1

0,5