Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới ñược ñiểm tối ña.. Các cách giải khác nếu ñúng vẫn cho ñiểm.[r]
Trang 1MA TRẬN ðỀ
THI CHỌN HSG LỚP 12 NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN BẢNG B ðỀ THI CHÍNH THƯC
(ðề tự luận)
Mức ñộ nhận thức
Chủ ñề kiến thức
Nhận biết Thông hiểu
Vận dụng
Tổng
Mức ñộ thấp
Mức ñộ cao
Giới hạn của hàm số
(lớp 11)
1
4
1 4,0
Hệ thức lượng giác trong
hình học phẳng (lớp 11)
1
3
1 3,0
Giải phương trình, bất
phương trình, hệ có sử dụng
tính chất của hàm số
(lớp 10, 12)
1
4
1
4,0
Hình học không gian
(lớp 11)
1
4
1
2
2
6,0
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ
nhất của biểu thức có dùng
tính chất của hàm số
(lớp 10, lớp 12)
1
3
1
3,0
0
0,0
2
8,0
2
7,0
2
5,0
6
20,0
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO QUẢNG NINH
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP 12 NĂM HỌC 2012-2013
MÔN TOÁN BẢNG B ðỀ CHÍNH THƯC
(Hướng dẫn chấm này có 03 trang)
®iÓm Bài 1
4 ñiểm Có :
3 2 0
lim
x
x x x
→
2 0
lim
x
x
→
+ − + + + − +
=
2
( 3) lim
1 2 ( 1) ( 1) ( 1) 1 3 (1 3 )
x
→
=
lim
1 2 ( 1) ( 1) ( 1) 1 3 (1 3 )
x
x
→
= 1 1 1
−
Bài 2
3 ñiểm
* Trường hợp góc β nhọn:
KÎ AH ⊥ BC, do α < β nên BH<BM;
cã cotϕ = HM/AH, cotα = CH/AH, cotβ = BH/AH
1,0
Do: HM = BM-BH ; HM = CH-CM; BM=CM
nên cộng vế-vế 2 ñẳng thức ta ñược: 2HM = CH-BH
0,5 0,5
=> 2HM/AH = CH/AH - BH/AH ,
hay 2 cotϕ = cotα - cotβ Ta có ñpcm !
B
A
C M
H
* Trường hợp góc β tù: Chứng minh tương tự
0,5
0,5
Bài 3
4 ñiểm
Nếu x ∈[-2; 0] thì: BPT ñã cho có VT ≤ 4 + 0 + 6 2 < 18 = VP
Suy ra ∀x ∈[-2; 0] ñều là nghiệm của BPT ñã cho
0,5 0,5 Nếu x > 0, xét hàm số y = f(x) = x2 + +x 6 x+ với x∈ (0; +∞) 2
Có f’(x) = 2x + 1 + 3/ x +2> 0 ∀x∈ (0; +∞) => f(x) ñồng biến trên (0; +∞) 0,75
Mà f(2) = 18 nên với x∈(0; +∞) ta có: BPT ñã cho <=> f(x) < f(2) <=> x<2
Kết hợp với x∈ (0; +∞) ñược 0 < x < 2
1,0 0,5 Kết luận: BPT ñã cho có nghiệm là -2 ≤ x < 2 0,5
Trang 3Bài Sơ lược lời giải Cho
ñiểm Bài 4
6 ñiểm
4.1 (4 ñiểm)
Gọi E là trung ñiểm BC, từ giả thiết suy ra H∈AE, I∈ME => IH cắt (d) tại N 0,5 Theo giả thiết (d)⊥mp(ABC) => (d)⊥BC hay MN⊥BC 1,0 Chứng minh ñược BH⊥mp(MAC) rồi suy ra BH⊥MC
Mà BI⊥MC nên MC⊥ mp(BHI), từ ñó suy ra MC⊥BN
1,0 1,0 Chứng minh tương tự, ñược MB⊥CN
Vậy tứ diện MNBC có các cặp cạnh ñối vuông góc với nhau (ñpcm !) 0,5
4.2 (2 ñiểm)
Chứng minh ñược: BC⊥mp(MAE) => BC⊥IH và MC⊥mp(BKF) => MC⊥IH
suy ra IH⊥MB
Trong tam giác MNE, có: ANH = AEM (góc có cạnh tương ứng vuông góc)
suy ra ∆ ANH ∼ ∆ AEM
1,0
0,5
do ñó: AN AH
AE = AM => AM.AN = AE.AH =
2
.
a a a
=
H
N
B
C
A
E
M
K
I F
Trang 4Bài Sơ lược lời giải Cho
ñiểm Bài 5
3 ñiểm ðặt: t a b
b a
= + => t ≥2;
a b a b
b a b a
= + + ⇒ + = − =>
4 4
a b
t t
b +a = − +
0,5 Khi ñó: P =
+ − + + +
t − t + − t − + = −t t t + +t
Xét hàm: f t( )= 4 2
t − t + +t với t ≥2, có: 3
'( ) 4 10 1
f t = t − t+ ; 2
"( ) 12 10
f t = t − 0,75 Với t ≥2 thì f”(t) > 0 => hàm f’(t) ñồng biến trên (-∞ ; -2] và [2; +∞)
Nên : t > 2 => f’(t) > f’(2) = 13 > 0; t < –2 => f’(t) < f’(–2) = -11 < 0 0,75
Ta có bảng biến thiên :
t –∞ –2 2 +∞
f(t)
+∞
–2
+∞
2
Mà f(-2) = - 2 < 2 = f(2), suy ra : min f(t) = –2 ; ñạt khi t = –2 <=> a = – b ≠ 0
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là -2, ñạt ñược khi a = - b ≠ 0 1
C¸c chó ý khi chÊm:
1 Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược bài giải Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới ñược ñiểm tối ña
2 Các cách giải khác nếu ñúng vẫn cho ñiểm Tổ chấm trao ñổi và thông nhất chi tiết nhưng không ñược quá số ñiểm dành cho câu, phần ñó
3 Có thể chia ñiểm thành từng phần nhưng không dưới 0,25 ñiểm và phải thống nhất trong cả tổ chấm
4 ðiểm toàn bài là tổng số ñiểm các phần ñã chấm Không làm tròn ñiểm
5 Mọi vấn ñề phát sinh trong quá trình chấm phải ñược trao ñổi trong tổ chấm và chỉ cho ñiểm theo sự thống nhất của cả tổ
SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO QUẢNG NINH