Chuyên đề cô lập đường thẳng trong biện luận đồ thị hàm số có chứa tham số

Những hàm số có tham số m tự do (không đi cùng biến) hoặc tham số m xuất hiện ở duy nhất một hạng tử chứa biến hoặc tham số m xuất hiện ở nhiều hạng tử nhưng đồng bậc, ta có thể đư[r]

CHUYÊN ĐỀ

CÔ LẬP ĐƯỜNG THẲNG TRONG BIỆN LUẬN ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÓ CHỨA THAM SỐ

A Cơ sở lý thuyết chung

I Các phép biến đổi đồ thị hàm số

1 Phép tịnh tiến theo véc tơ u = a;b( )

Bài toán: Cho đồ thị ( )C của hàm số y= f x( )

tìm đồ thị ( )'

C của hàm số y= F x( ) thu được khi tịnh tiến ( )C theo véc tơ u=( )a b;

Cách vẽ:

- Mỗi điểm A x y( 0; 0) thuộc đồ thị y= f x( )

cho ta một điểm A x'( ' ; ' )0 y 0 thuộc đồ thị y= F x( )

Áp dụng:

Ví dụ 1: Cho hàm số 2

y = f x =x − , vẽ đồ thị các hàm số a) y = f x( )+ 3

có tung độ không âm và tập hợp những điểm đối

xứng với ( )C khi ( )C có tung độ âm

y= f x , ta giữ nguyên phần đồ thị ( )C ở nửa trên trục Ox và lấy đối xứng

với đồ thị ( )C ở nửa dưới trục Ox

b) Vẽ đồ thị hàm số y= f x( − rồi 2)

lấy đối xứng đồ thị thu được

c) Vẽ đồ thị hàm số y = f x( ) 3− rồi lấy đối

xứng đồ thị thu được

d) Vẽ đồ thị hàm số y= f x( − − rồi 2) 3

lấy đối xứng đồ thị thu được

e) Vẽ đồ thị hàm số y= f x( − − , 2) 3

lấy đối xứng đồ thị thu được rồi dịch

chuyển lên trên 4 đơn vị

4

Tại những điểm A x y( 0; 0) trên ( )C qua phép đối

xứng qua trục Oy cho điểm A'(−x y0; 0) thuộc độ thị

y= f x , giữ nguyên phần đồ thị ( )C ở nửa bên phải trục Oy và lấy đối

xứng qua trục Oy sang bên trái

a) Vẽ đồ thị hàm số y= f x( ), giữ nguyên phần đồ

thị ( )C ở nửa bên phải trục Ox và lấy đối xứng qua

trục Oy

b) Vẽ đồ thị hàm số y= f x( − , giữ nguyên 2)

phần đồ thị ( )C ở nửa bên phải đường thẳng x = 2

và lấy đối xứng qua đường thẳng x = 2

đồ thị ( )C ở nửa bên phải đường thẳng x = , lấy đối 2

xứng qua đường thẳng x = rồi tịnh tiến lên trên 4 đơn 2

vị

II Các hàm số chứa tham số m áp dụng được phương pháp cô lập đường thẳng

Phương pháp này chỉ áp dụng được với tham số m xuất hiện một lần trong hàm số

Với các hàm số có nhiều lần xuất hiện tham số m, ta sẽ rút gọn về dạng M =u m( ) là

một biểu thức duy nhất chứa m

Ví dụ 4: Rút gọn các hàm số để thu được phương trình chỉ chứa 1 hạng tử có biểu

Kể từ đây, mọi hàm số chứa duy nhất một tham số m xuất hiện hoặc có thể đưa về

dạng hàm số chứa duy nhất một biểu thức M =u m( ) chứa tham số m xuất hiện, ta đều

coi M là m

Những hàm số có tham số m tự do (không đi cùng biến) hoặc tham số m

xuất hiện ở duy nhất một hạng tử chứa biến hoặc tham số m xuất hiện ở

nhiều hạng tử nhưng đồng bậc, ta có thể đưa về một biểu thức M duy nhất

chứa tham m

III Cô lập đường thẳng

Mọi hàm số y= f x( ) đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của một hàm số y=g x( )

có đồ thị ( )C và một hàm số của đường thẳng : y=h x( )= : kx y= f x( )=g x( )+ kx

Khi ( )g x có nghiệm x0, g x( )0 = 0 g x( )0 +h x( )0 =h x( )0  f x( )0 =h x( )0

Nên phương trình ( )f x =h x( ) cũng có nghiệm x0

Do đó, ta luôn vẽ được đường thẳng  và đồ thị ( )C giao nhau tại điểm có hoành độ

là nghiệm của phương trình ( )g x = 0

Vì y= f x( )=g x( )+h x( ) chỉ chứa một tham số m nên sẽ xảy ra 2 trường hợp sau:

+ m nằm trong g x , ta cố định được ( ) 

+ m nằm trong ( )h x , ta cố định được ( ) C

Bước còn lại là vẽ 2 đồ thị trên cùng hệ trục Oxy rồi biện luận tương giao giữa 2 đồ

thị để tìm giá trị m Nếu chứa M ta giải tiếp phương trình M =u m( ) để tìm m

- Tìm trường hợp tương giao thỏa mãn đề bài

- Giải hệ điều kiện tìm tham số

Xét (1) đúng cả cho trường hợp a  vì 0 (−b)2 − −4( a).(− =c) b2 −4ac

Xét (2):

2 2

44

Ghi nhớ:

Ví dụ 5: Cho hàm số y = f x( )= x2 −4x+ +3 mx Có tất cả bao nhiêu giá trị

nguyên của m để hàm số y= f x( ) có 3 điểm cực trị?

thuộc nửa trên mặt phẳng bờ  và không

chứa  , tương đương 1x0 3, nên

Để y= f x( ) có cực đại thì phải thỏa mãn đồng

thời cả 2 điều kiện:

+ ( )C cắt  tại 2 điểm phân biệt B x d x( 1; ( )1 )

và C x d x( 2; ( 2)) hay ( )g x = có 2 nghiệm phân 0

biệt x1, x2 (1)

+ Điểm cực trị A x y( ;0 0) của hàm số y= −g x( )+d x( )= − +x2 3x−m thuộc nửa

trên mặt phẳng bờ  và không chứa  hay 1 3 2

Vậy có 2021 giá trị m thỏa mãn bài toán

b) Trường hợp 2: g x =( ) 0 có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2 Đường thẳng y =dx

tiếp xúc dưới với đồ thị hàm số y =h x( ) tại 2 điểm B x d x( 1; ( )1 ); C(x d x2; ( )2 )

k x = −g x +d x = −ax + d −b x−c, cực trị A x k x( 0; ( )0 ) có

( )2 0

f x = ax +bx+ +c dx Theo kết quả mục B.I.1.:

+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực tiểu, 1 điểm cực đại khi

00

4

bd c

bd c

=



 

 , theo kết quả từ mục B.I.1 thì:

+ Đồ thị hàm số có 1 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu khi

000

c bd c

c bd c

- Nếu cả 2 điểm B, C đều nằm dưới trục Oy, suy ra bd  và 0 c  , khi đó: 0

+ A không cao hơn B hoặc C Đồ thị hàm số có 1 điểm cực đại, 2 điểm cực

tiểu:

00

c bd

+ A cao hơn cả B và C nhưng không cao hơn Ox Đồ thị hàm số có 2 điểm

cực đại, 3 điểm cực tiểu khi đó

04

44

04

c

c bd

04

44

04

c

c bd

abd ac

abd ac

c abd ac

ac abd

c abd ac

ac abd

ac abd

Nhận thấy nếu m  thì 0 y=g x( )= f x( ) như

hình trên nên có tối đa 3 cực trị

Vậy m  , khảo sát qua các trường hợp của 0

x

m y

0

10 00

Đặt f t( )=2t +t f t, '( )=2 ln 2 1t + 0 đo đó y= f t( ) đồng biến trên , phương trình

đã cho tương đương: f x( )= f(log (2 x+2 ))m  =x log (2 x+2 )m

Xét hàm số y =g x( )=log2 x có tiếp tuyến ( ) tại x0song song với đường thẳng ( )d

y= thì phương trình trình tiếp tuyến là x

2 0

y=g x+ m , 2 đồ thị này có giao điểm khi

tiếp tuyến ( )m trùng với ( )d hoặc lệch về

bên trái so với ( )d , do đó giao điểm ( )m với

trục Ox có hoành độ không dương, hay:

Ví dụ 9: Cho ( )f x là hàm đa thức bậc hai có

đồ thị như hình vẽ Gọi S là tập hợp các giá trị

nguyên âm của tham số m để phương trình

5 ( )f x =mx− −m 10 có 4 nghiệm phân biệt Số

Để đường thẳng  và ( )C cắt nhau tại 4 điểm, và vì  có hệ số góc âm nên  bị

giới hạn khoảng giữa trục Ox và đường thẳng 0 Dễ tìm được tọa độ M(1;1) nên

III Biện luận về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

1 Tìm điều kiện để giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = ax + bx + c + dx + e 2 đạt

b) Trường hợp c 0 ac , 0 g x =( ) 0 có 2 nghiệm trái dấu x x1, 2 thì ( )C tiếp

xúc trên với  tại B x h x( 1; ( ) , C1 ) (x h x2; ( 2)) Nếu d  , luôn có hoặc B hoặc C 0

nằm dưới trục Oy nên Minf x( )  = 0 d 0

Nhận thấy hàm số ( )f x luôn qua điểm (0;3) với

mọi m nên Minf x ( ) 3 Để Minf x = thì ( ) 3

tại lân cận 0, ( )g x  nên 0

Ví dụ 11: Cho hàm số f x( )= x2 +mx+ −1 2x Giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )f x

Nhận thấy đồ thị hàm số g x luôn qua điểm ( )

(0; 1)− nên ( )g x cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành

g t d t  và dấu bằng có xảy ra nên t

 luôn tiếp xúc dưới với ( )C Trong các

trường hợp của  thì trường hợp 0 cho

k

m lớn nhất  là tiếp tuyến của ( )C tại

N và đi qua M − −( 3; 4) nên ta có phương trình : 3 7