Khi đó tồn tại hai trong ba điểm này có cùng màu, không mất tính tổng quát giả sử hai điểm này là A và B có cùng màu đỏ.. Gọi I là trung điểm của AB.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THỪA THIÊN HUẾ
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUỐC HỌC
NĂM HỌC 2019-2020 Khóa ngày 02 tháng 6 năm 2019
ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Môn thi: TOÁN (CHUYÊN TIN)
HƯỚNG DẪN CHẤM – ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
(Nội dung có 05 trang)
1
(1,5
điểm)
1
0,25
b) Cho biểu thức A x x 1 x x 1 : x 1
x 1
với x 0, x 1. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên
1,0
Với x 0, x 1 thì A có nghĩa và
x 1
0,25
:
x 1 x
2(x 1)
x 1
A nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi 4 x 1 hay
0,25
2
(1,5
điểm)
a) Giải hệ phương trình
2 2
3 3
x y xy 1 (1)
.
x y x 3y (2)
0,75
Từ (1) và (2) suy ra
x y x3y x y xy
2y 4xy 4x y 0
2 2
2y x y x 0
0,25
0,25
Trang 2Với y thì 0 x 1, thỏa mãn hệ phương trình
Với x y0, không thỏa phương trình 1
Vậy nghiệm x; y của hệ là 1;0 ; 1;0
0,25
b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y 2(m1)xm và 4
parabol (P): y x 2 Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại
hai điểm phân biệt A x ;y 1 1 và B x ;y 2 2 sao cho biểu thức
Q
đạt giá trị nhỏ nhất
0,75
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: 2
x 2 m 1 x m40 (1).
2
trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m hay d luôn cắt (P) tại hai điểm phân
biệt với mọi m
0,25
1 2
2
Q
2
5
2
4
thì Q đạt giá trị nhỏ nhất là 39
40
0,25
3
(2,0
điểm)
Điều kiện: x 3
Đặt t x x3 thì t2 x2x 3 2x x3x2 x2x x3t23 0,25
Với t thì 4 x x3 4 x3 x 4 (vô nghiệm do x vế phải 3
Với t thì 3
2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1
0,25
b) Cho phương trình (ẩn x) x 4 2mx 24 0 Tìm giá trị của m để phương trình
đã cho có bốn nghiệm phân biệt x , 1 x , 2 x , 3 x 4 thỏa mãn x 1 4x 4 2x 4 3 x 4 4 32 1,0
,
t x t 0 Phương trình đã cho trở thành 2
t 2mt4 0 (2) Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm
dương phân biệt hay
0,25
Trang 3
1 2
1 2
Khi đó phương trình (1) có 4 nghiệm là x1 t , x1 2 t , x1 3 t , x2 4 t 2
Ta có:
x x x x 2 t t 2 t t – 2t t
0,25
2 2m 2.4 8m 16
Từ giả thiết suy ra: 2
8m 1632 m 6
0,25
Giá trị m 6 loại do không thỏa mãn điều kiện *
4
(3,0
điểm)
Cho đường tròn O và điểm A cố định thuộc O Trên tiếp tuyến của O
tại A, lấy điểm M cố định ( M khác A) Kẻ đường thẳng d đi qua M cắt
O tại hai điểm phân biệt B và C (C ở giữa B và M, d không đi qua tâm
O) Gọi I là trung điểm của đoạn BC
a) Chứng minh bốn điểm O, A, M, I cùng thuộc một đường tròn
0,75
I là trung điểm của BC nên OIBC 0,25
AM là tiếp tuyến của O tại A nên
OIM OAM 90 , suy ra bốn điểm O, A, I, M cùng thuộc đường tròn đường kính OM
0,25
b) Vẽ đường kính AD của O Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với đường
thẳng d và cắt đường thẳng ID tại H Chứng minh AH2OI và H là trực tâm
của tam giác ABC
1,25
Mặt khác O là trung điểm của AD nên OI là đường trung bình của tam giác DAH
Do I là trung điểm của BC và DH nên tứ giác BDCH là hình bình hành 0,25 Suy ra CH//BD Mặt khác AB BD (AD là đường kính), suy ra CHAB 0,25 Tam giác ABC có AHBC và CHAB nên H là trực tâm của tam giác ABC 0,25
H
D
I
C
O
A
M B
Trang 4c) Khi đường thẳng d thay đổi, chứng minh H luôn nằm trên một đường tròn cố
Do I, M lần lượt là trung điểm DH, DN nên OI, IM lần lượt là các đường trung bình
NH//MI
5
(2,0
điểm)
a) Giải phương trình x2019 2019 x2020 2020 1 1,0
+ Với x 2019 hoặc x 2020 thì phương trình thỏa mãn nên x2019, x2020 là
+ Với x2019 thì x2019 >0 và x2020 nên 1 VT 1.
+ Với x 2020 thì x2019 và x – 20201 nên VT0 1
+ Với 2019 x 2020 thì 0x2019 1 và 1 x – 2020 nên 0
2019
x2019 x 2019 x 2019
2020
x2020 x2020 2020 – x
Do đó VT x – 2019 2020 – x 1
Suy ra phương trình vô nghiệm khi 2019 x 2020
Vậy phương trình có hai nghiệm x 2019, x 2020.
0,25
b) Trên trục số, mỗi điểm biểu diễn số nguyên được tô bởi một trong hai màu
xanh hoặc đỏ (không tô màu các điểm khác) Chứng minh rằng tồn tại hai điểm
phân biệt và trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó có cùng màu
1,0
Ta chọn ba điểm A, B, C lần lượt biểu diễn các số nguyên 2a, 2b, 2c (a, b, c là các
số nguyên phân biệt)
Khi đó tồn tại hai trong ba điểm này có cùng màu, không mất tính tổng quát giả sử
hai điểm này là A và B có cùng màu đỏ
Gọi I là trung điểm của AB Khi đó I biểu diễn số ab
0,25
N H
D
O
A
M B
Trang 5* Nếu I được tô màu đỏ thì I, A, B là ba điểm cần tìm
* Nếu I được tô màu xanh ta chọn điểm D sao cho B là trung điểm của AD Khi đó D
biểu diễn số 4b 2a
+ Nếu D được tô màu đỏ thì A, B, D là ba điểm cần tìm
0,25
+ Nếu D được tô màu xanh thì ta lấy E sao cho A là trung điểm BE Khi đó E biểu
- Nếu E được tô màu đỏ thì E, A, B là ba điểm cần tìm
Chú ý:
- Học sinh làm cách khác đáp án nhưng kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa
- Điểm toàn bài chấm điểm lẻ đến 0,25
- Hết -
đỏ
A
đỏ
đỏ
D I
đỏ
xanh