[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH LỚP 12 THPT
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC
MÔN TOÁN
Ngày thi 26 /09 /2014
(Hướng dẫn chấm này gồm có 02 trang)
Câu 5
(7 điểm) Đặt : 2 2
3
= + +
⎧
⎪ = + +
⎨
⎪ = + +
⎩
Với a>0,b>0,c> thì 0 x>0,y>0,z> 0
Suy ra : 2
3 2
c z y
= −
⎧
⎪ = + −
⎨
⎪ + = −
⎩
dẫn đến
2 4 4 8
17 y x z y
P
= − + + + +
Áp dụng BĐT Cô Si ⇒ ≥ − +P 17 2 8 2 32+ = − +17 12 2
1.0
1.0
1.0 1.0
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
2 4
2
y x
x y
y z
⎧ =
=
⎪⎩
⎪ =
⎪⎩
1.0
⎧ + + = + +
⎪
⎨ + + = + + = + +
⎪⎩
Giải hệ trên với b và c là ẩn ta được :
1 2
4 3 2
⎧ = +
⎪
⎨
= +
⎪⎩
Vậy MinP= − +17 12 2 đạt được tại ( ; ; )a b c =(a; 1( + 2 ; 4 3 2) (a + )a)
1.0
0.5
0.5 Câu 6
(6 điểm) Theo gt ta có : a b c
< <
Gọi M,L,N lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ điểm I xuống các
đường thẳng AC,BC và AB.Ta có : nIBO CBO<n 90< o
Giả sử n 90IOB= o thì do O là trung điểm AB nên N O ≡ và IAOΔ = ΔIBO Từ
đó nIAB IBA=n và nCAB CBA= n ( trái gt)
Vậy nếu tam giác BIO là tam giác vuông thì nó vuông ở I
Ta có
2
b c a
AM = AN = + −
;
2
a c b
BN =BL= + −
0,5
0,5
0,5
2
a b c
IM =IN=IL= + −
Vì
b c a+ − >c nên N nằm giữa các điểm O và B
Do đó
OI =NI +NO =⎛ + − ⎞ +⎛ − ⎞ = + + − −
0,25
0,25
0,25
Trang 22 2 2 2 2
BI =BL +LI =⎛ + − ⎞ +⎛ + − ⎞ = + + −
2 2
4
c
BO =
0,25
0,5
n 90o 2 2 2 2 2 2 2 2 3 0
OIB= ⇒OI +BI =BO ⇔ a + b + −c ac− bc=
Mà c2 =a2+ nên b2 3c2 =ac+3bc và 3c a= +3b
0,5 0,5
Từ đó suy ra : 32c a2 3b2
= +
⎧
⎨
= +
⎩ Đặt x a ,y b
= = được hệ
2 2
1
x y
x y
= +
⎧
⎨
⎩
Có 2 nghiệm 1;4
3
⎝ ⎠ (loại) và
3 4
;
5 5
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ Suy ra :
3 4 5
a= =b c (đpcm)
0,5
0,5
1
Câu 7
(7 điểm) Đặt
2014
1
i
=
thì g(1)−g(0) =2 x1 ≤2
1,0 0,5 0,5
1 ( 1) ( ) 2 k 2, 1, 2, , 2012
2014 (2014) (2013) 2 2
Do đó với mỗi k , 0≤ ≤k 2013, g k( + −1) g k( ) ≤2 (1)
Giả sử ngược lại ,với mọi k mà 0≤ ≤k 2014, g k( ) 1> (2)
0,5 0,5
Nếu tồn tại i với 0≤ ≤i 2013 sao cho g i g i( ) ( + <1) 0,
Không mất tính tổng quát ,có thể giả sử g i( ) 0> và ( 1) 0g i+ <
Từ (2) suy ra : g i( ) 1> và ( 1)g i+ < − 1
0,5 0,5 0,5
Suy ra : g i( + −1) g i( ) >2 , mâu thuẫn với (1)
Do đó g(0), (1), , (2014)g g là cùng dấu
Mà g(0)+g(2014) 0= , Mâu thuẫn này dẫn đến điều phải chứng minh
0,5 0,5 0,5
HẾT GHI CHÚ :
• Học sinh làm cách khác đúng, cho trọn số điểm
• Điểm toàn bài không làm tròn số