Đáp án HSG Toán học lớp 9 cấp huyện Krông Ana, Đắk Lắk 2014-2015 - Học Toàn Tập

Tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng BC tại E.[r]

PHÒNG GD&ĐT KRÔNG ANA

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN LỚP 9

1

a

Câu 1 (3 điểm) Cho biểu thức

P

Hãy rút gọn biểu thức: M  P a   1 a

Giải:

P =



    (ĐKXĐ: a0)

1

M  P a  a

2 a   a 1 a a 1  a a     1 a a a 1

1,5

3

b

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 1

M Giải:

5

a

(Vì

2

Dấu “=” xảy ra

2

Vậy minA = 4

5 a = 1

4

1,5

2 a

Câu 2 (3 điểm)

Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình:

x 2 = y 2 + y + 5 Giải:

Ta có:

x2 = y2 + y + 5

 4x2 = 4y2 + 4y + 20

4x2 - (2y + 1)2 = 19

 (2x + 2y + 1)( 2x - 2y - 1) =19

Vì x, y nguyên dương nên 2x + 2y + 1 > 0

và 2x + 2y + 1 > 2x - 2y - 1

1,5

3

Do đó ta có: 2 2 1 19 5



Vậy phương trình đã cho có một nghiệm nguyên dương là:

(x; y) = (5; 4)

b

Vẽ đồ thị hàm số: y   x 2 x 3

Giải:

y   x x

+ Với x < 2 thì y = - 2x + 5 + Với 2  x 3 thì y = 1 + Với x > 3 thì y = 2x - 5

Đồ thị hàm số là đường gấp khúc mABn như trên hình vẽ sau:

n m

y

x

5

3 2

O

1,5

3

a

Câu 3 (3 điểm)

Chứng minh rằng:  12 12 4 4  10 10 6 6

x y x y  x y x y

Giải:

12 12 4 4 10 10 6 6

16 12 4 4 12 16 16 10 6 6 10 16

12 4 4 12 10 6 6 10

4 4 8 6 2 8 2 6

4 4 6 2 2 6 2 2

4 4 2 2 6 6

2

4 4 2 2 4 2 2 4

0

0

0

Bất đẳng thức cuối luôn đúng với mọi x, y Vậy  12 12 4 4  10 10 6 6

2

3

6   6   2  2  

 

3

in os 3sin os sin os sin os 1

c

1

4

a

Câu 4 (4 điểm)

Giải phương trình: x  4 1  x 1 2  x

Giải:

Ta có: x  4 1  x 1 2  x  x  4 1 2  x 1 x

4 1 2 1 2 (1 2 )(1 )

x x



1 2

x

 



 



2 2

1 2

x x

 









2

0

0

7 0

7

x x

x x

x







 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {0}

4

2

b

Giải hệ phương trình:

2 2

10 20 5

xy x





 



Giải:

 

 

2 2

xy x





 



Từ phương trình (1) 2

Từ phương trình (2) 2

(vì x2 + 5 > 0, x xy > 0 xy x y. )

2

Vậy hệ phương trình có nghiệm:

 x y,  5; 2 5 ,  5;  2 5

2

5 a

Câu 5 (3 điểm)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), phân giác của góc B cắt cạnh AC ở D, cắt (O) tại E

Chứng minh: BD ED = AD CD Giải :

3

Ta có :

AE (hai góc nội tiếp cùng chắn BC)

1 1

B C (hai góc nội tiếp cùng chắn AE)

ABD

BD AD

BD ED AD CD

CD ED

1,5

b

Chứng minh: BD 2

= BC AB – AD CD

Ta có :

AE (hai góc nội tiếp cùng chắn BC)

1 2 ( )

B B gt

ABD

  EBC (gg)

 BD(BD + DE) = AB BC

 BD2 = AB BC – BD ED (2)

Từ (1) và (2)  BD2 = AB BC – AD CD

1,5

6 a

Câu 6 (4 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O ; R) Gọi

M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, AB, AC

Tính các cạnh của tam giác ABC theo góc đối diện và R

Giải :

P N

1

O

A

4

O

1

2 1

E

B

A

Ta có : 1

2

BAC BOC (1) (góc nt và góc ở tâm cùng chắn BC)

BOC

 cân tại O OM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

vừa là đường phân giác

BOC 2O1 (2)

Từ (1) và (2)BACO1

Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông BOM, ta

được :

BM = OBsinO1 = RsinBAC BC = 2RsinA (vì BC = 2BM)

Chứng minh tương tự ta được : AC = 2RsinB ; AB = 2RsinC

2

b

Chứng minh: sin sin sin cos cos cos

2

Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông AON, AOP,

ta được :

ON = OAcosAON = RcosC

OP = OAcosAOP = RcosB

Ta có : NP là đường trung bình của ABCNP = 1 sin

2BC R A Xét  NOP có NP < ON + OP RsinA < R (cosB + cosC)

 sinA < cosB + cosC

Tương tự ta có : sinB < cosA + cosC

sinC < cosA + cosB

Từ đó ta được : sin sin sin cos cos cos

2

2

Lưu ý:

- Với các bài toán hình, nếu HS không vẽ hình thì không cho điểm phần bài làm liên quan

- HS làm cách khác với đáp án nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa

Câu 2 (3 điểm)

a) Tìm số nguyên tố a sao cho: a + 8 ; a + 10 và a + 14 đều là những số nguyên tố Giải:

Bất kì số tự nhiên nào cũng có một trong các dạng:

3k, 3k + 1 hoặc 3k + 2, k  N

Nếu a = 3k + 1 thì a + 8 = 3k + 9 3; a + 14 =3k + 15 3 không là số nguyên tố Nếu a = 3k + 2 thì a + 10 = 3k + 12 3, không là số nguyên tố

Do đó a = 3k

Mà a nguyên tố nên a = 3  a + 8 = 11; a + 10 = 13; a + 14 = 17 đều là số nguyên

tố

Vậy a = 3

Câu 5

Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD với D thuộc đoạn BC sao cho

BD = a và CD = b (a > b) Tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng BC tại E Tính AE theo a và b

Giải:

1 3 2

1

O

A

Ta có:

A3 B (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nt cùng chắn AC)

A2 A gt1( )

BA1 D1 (t/c góc ngoài của tam giác)

Mà EAD A3A2EAD B A1D1

EAD

  cân tại E EA = ED  EC = EA – b

và EB = EA + a

Mặt khác ta có: EA2

= EC EB (EAC EBA )

Vậy EA ab

a b





- Hết -