Vì tam giác ABC vuông cân tại A và O là trung điểm của cạnh BC nên AO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC.. - Các trường hợp khác tổ chấm thống nhất phương án chấm.[r]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN THỌ XUÂN
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 8
KỲ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2017 - 2018
Ngày thi: 08 tháng 4 năm 2018
(Hướng dẫn chấm có 04 trang)
1.a
Ta có
y x
3y 2x : 2y x
(2y) x
y xy x
y x P
2 2 2
2
2 2
y x
3y 2x : 2y
x
2y) 2y)(x (x
y xy x
) y xy y)(x (x
y x
3y 2x : 2y) x y
2 2
y x 3y 2x
y x 3y).
1,0
0,5 0,5
1.b
Điều kiện:
2y x y;
2
3 x 0;
y 0;
Ta có
x y2 x2 2 x y y2 62 26 2 x y x y 5
Vậy P = 52
= 25
0,5
0,5 0,5
1.c
Với x, y dương và thỏa mãn điều kiện y; x 2y
2
3 x 0;
y 0;
1 2
y x xy
2
(vì x + y = 2) Dấu bằng xảy ra khi x = y, mà x + y = 2
Suy ra x = y = 1 Vậy P x2y2 (xy)2 12 1
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng 1 khi x = y = 1
0,5
0,5 0,5
2.a
Gọi vận tốc của xe buýt khi đi từ A đến C là x (km/h; x > 3) thì vận tốc của xe
buýt khi đi từ C đến B là (x - 3) (km/h)
Thời gian để xe buýt đi hết quãng đường AC là
x
39
(h), thời gian để xe buýt đi
hết quãng đường CB là
3
21
x (h) Thời gian dừng lại sửa xe là 15 phút =
4
1
(h)
Theo giả thiết ta có phương trình
6
11 4
1 3
21 39
x
Giải ra x = 39 (thỏa mãn điều kiện của ẩn); x = 3
19
36 (loại)
Vậy khi đi từ A tới C xe buýt đi với vận tốc 39km/h, suy ra thời gian để xe
buýt đi hết quãng đường AC là 39 : 39 = 1 (giờ)
Do đó đúng 8 giờ sáng thì xe buýt bị hỏng
0,25
0,5 0,25 0,5 0,25 0,25
Trang 22.b
ĐKXĐ: x 1; x 2; x 3; x 4
Ta có pttđ
3 x
3 3) (x 2
x
2 2) (x 4
x
4 4) (x 1
x
1 1)
3 x
3 3 x 2 x
2 2 x 4 x
4 4 x 1 x
1 1 x
3 x
3 2 x
2 4 x
4 1 x
1
1 x
1 2 x
2 3 x
3 4 x
4
1) 2)(x (x
x 3)
4)(x (x
x
0
x
(thỏa mãn ĐKXĐ); hoặc (x+4)(x+3) = (x+2)(x+1) (*)
Giải pt (*) ta được x =
2
5
(thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là :
2
5 0;
S
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
0,25 0,25
3.a
Ta có:
1 n 2n
4 1
2n 1 n 2n
3 n 4n
2 2
3
Vì n là số nguyên nên 2n -1 là số nguyên Do đó để 4n3
+ n + 3 chia hết cho 2n2 + n + 1 thì 2n2 + n + 1 phải là ước số của 4
16
7 ) 4
1 (n 2 2
1 n 2
1 n 2 1 n 2n2 2 2
Do đó 2n2 + n + 1 = 1 hoặc 2n2 + n + 1 = 2 hoặc 2n2 + n + 1 = 4
Giải từng trường hợp suy ra: n = 0 hoặc n = -1; hoặc n =1
Vậy 3 giá trị n cần tìm là n = 0; n = 1; n = -1
0,25 0,25
0,25 0,25 0,25 0,25
3.b
Ta có : 3x2 y2 2xy 2x 2y 40 0
4x2 (x2 y2 2xy 2x 2y 1) 41
(x y 1)2 (2x)2 41
(3x y 1)(y x 1) 41
Đặt:3x y 1 a và y x 1 b Suy ra a và b là các ước của 41, có tích bằng
41 Nhận thấy 41 là số nguyên tố, từ đó ta có các trường hợp như bảng sau :
4 / ) (a b
4 / ) 4 3 (
a b
Vậy các cặp số nguyên (x; y) cần tìm là : ( 10; 12); (10; 32); ( 10;30); (10;10)
0,25
0,25 0,25
0,5
0,25
4
Trang 34.a
Vì tam giác ABC vuông cân tại A và O là trung điểm của cạnh BC nên AO là
đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC Suy ra : OA = OC = OB và
0 45 ACO
Xét ∆OEA và ∆OMC có : OA = OC
0
45 ACO
AE = CM (gt)
Suy ra : ∆OEA = ∆OMC ( c g.c)
OE = OM và EOA MOC (1)
Vì AO là đường trung tuyến của tam giác cân ABC nên AO cũng là đường
cao Suy ra : AO BC
0 90 AOC MOC
90 EOM AOE
90 EOM
nên tam giác OEM vuông cân tại O
0,5
0,5
0,25 0,25
0,25 0,25
4.b
Vì ME // AN nên theo định lí Ta – lét, ta có :
(3)
BM BE
MN EA
Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, mà AE = CM nên BE = AM
Do đó, ở (3) ta thay BE bởi AM, thay EA bởi MC, ta được :
(4)
MN MC
AB // CN (theo định li Ta-lét đảo)
Mà : ABAC CNAC
0,5 0,5
0,5 0,5
4.c
Từ ME // AN OME OHA ( cặp góc đồng vị)
45 OME
( vì ∆OEM vuông cân tại O), suy ra : OHA 45 0 ACBhay
ACB MHA
Kết hợp với OMC AMH(đối đỉnh)
∆OMC đồng dạng với ∆AMH (g.g)
, kết hợp OMA CMH(hai góc đối đỉnh)
0,25 0,25 0,25 0,25
A
B
C
O
E
M
H
N
Trang 4∆OMA ∆CMH (c.g.c) OAM MHC (2)
90
AHC MHA MHC , suy ra CH AN Xét tam giác AHC và tam giác ACN có :AHC ACN 900; HAC chung
Suy ra : Tam giác AHC đồng dạng với tam giác CAN (g.g)
2
AH AC
AH AN AC
AC AN
0,25 0,25 0,25 0,25
5
2
b cc aa b
(1)
Ta có :
Đặt : x b c y; c a z; a b Suy ra : x, y, z > 0 và ta có :
2
1
2
( vì (x y)2 (x z)2 (y z)2 0
)
2
b cc aa b
( Dấu ‘=” xảy ra a b c)
0,25
0,25
0,25
0,25
5
Chứng minh :
2 2 2 2 2 2
- Thật vậy, do vai trò của a, b, c như nhau nên không mất tính tổng quát, ta có
thể giả sử : a b c
xét hiệu :
2 2 2 2 2 2
Trang 5- Hết - Chú ý:
- Các cách làm khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa, điểm thành phần giám khảo tự
phân chia trên cơ sở tham khảo điểm thành phần của đáp án
- Đối với câu 4 (Hình học): Không vẽ hình, hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm
- Các trường hợp khác tổ chấm thống nhất phương án chấm
( )
( )
( )
ab a b
bc b c
ac a c
( Vì giá trị của các biểu thức trong ngoặc đều không âm do a b c )
2 2 2 2 2 2
2
2 2
2
2 2 2
b a
c a
c
b c
b
a b
a
c a c
b c b
a 2
3
( Dấu ‘=” xảy ra a b c)
0,25
0,25
0,25