[r]
Trang 1Giám thị 1: Giám thị 2:
PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014 – 2015
MÔN THI: Toán
(Hướng dẫn chấm gồm 5 câu, 05 trang) Ngày thi 16 tháng 01 năm 2015
TP
Tổng điểm
1
a
f x x x x x x x x x x x
0,25
1đ
x x x x
2 2
x x x
b
Ta cã VT =
( 3 1) ( 3 1)
0,5
0,5
1đ
2 a
x xx x x (x 1)(x 1) (x 1)(9 x) (x 1)(2x 12)
ĐKXĐ:
( 1)( 1) 0
( 1)(2 12) 0
x x
x x
0,25
1đ
Khi đó (x1)(x 1) (x1)(9x) (x1)(2x12)
1 0 (1)
1 9 2 12 0 (2)
x
0,25
Giải (1) được x = 1 (thoả mãn ĐKXĐ)
Giải (2): x 1 9 x 2x12 0 x 1 9 x 2x12
2
7
8
x
x
0,25
Trang 2Vậy x1;7;8
2 b
Đặt a= 2
x 2 x ; b = y2 3 y thì hệ đã cho trở thành
a b 5
2 3
2
a b
1đ
Giải hệ trên
a 2
b 3
a 5 b
5
5 b b
5 b 2
0,25
- Với a = 2 ta có x2 2 x = 2
x 2
x 2 1 x 2
1 x 2
Với b = 3 ta có 2
y 3 y= 3
y 3
y 3 9 6y y
y 3
y 1
y= 1
Vậy hệ có nghiệm (1
2 ; 1)
0,25
- Với a = b = 5
2, giải ra có x = 17
20, y =
13 20 Kết luận: hệ có nghiệm là 1 17 13
3 a
Với mọi m, đường thẳng (d) không đi qua gốc toạ độ O(0; 0)
m = 4, ta có đường thẳng y = 1, do đó khoảng cách từ O đến (d)
là 1 (1)
m = 3, ta có đường thẳng x = -1, do đó khoảng cách từ O đến (d)
là 1 (2)
m 4, m 3 thì (d) cắt trục Oy, Ox lần lượt tại: A 0; 1
m 3
0.25
®
0.25 1đ
Trang 3 2 2 2 2
Suy ra 2
OH 2 OH 2 (3)
Từ (1), (2), (3) ta có GTLN của OH là 2, đạt được khi và chỉ khi m
=7
2
Kết luận: m =7
2
0,25
đ 0,25đ
3 b
x 16x y 6y 20 0 x 16x 64 y 6y 9 53
x, y N x 8 và 2
y 3 là các số chính phương Mà 53 thì chỉ có thể viết về dạng tổng có 2 số chính phương như sau:
53 = 4 + 49
Có 2 trường hợp xảy ra:
2
2
I
mà x,
y là chữ số x, y 6;4
2
2
II
(loại do x, y là chữ số)
( Hoặc học sinh loại trường hợp (II) do y + 3 > 2 do y N )
Vậy xy 64
0,25đ 0,25đ
0,25đ
0,25đ
1đ
4 1
Trang 4G S
D E
O
C
B
N
K
I
A M
a) BC cắt (O; r) tại D khác E Do góc AED = 900 nên AD là Đường kính của (O;r)
Gọi N là trung điểm BC thì ONBC (đl) suy ra
NB = NC và NE = ND (đl)
Gọi S là giao điểm của AE với OM
do OM là đường trung bình của tam giác ADB suy ra OM // BC
Suy ra OM vuông góc với AE tại S và S là trung điểm của IK
BC2 + IK2 = 4(CN2 +ÍS2) = 4(R2 – ON2 + R2 – ÓS2)
= 4( 2R2 – ON2 – O S2) = 8R2 – 4OE2 = 8R2 – 4r2 - không phụ thuộc vị trí điểm
A
b) Gọi AN cắt OE tại G suy ra G là trọng tâm của ADE suy ra AG = 2/3AN
Hai tam giác ABC và ADE có chung trung tuyến AN nên G cũng là trọng tâm của ABC
Do OE cố định , suy ra G cố định
Xét ABC có G là trọng tâm nên trung tuyến CM đi qua điểm cố định G
0,25đ 0,25đ
0,25đ 0,25đ
0,25đ 0,25đ
0,25đ 0,25đ
Áp dụng t/c hai tiếp tuyến cắt nhau
;
MCO MAO MDO MBO
0.25
D
Trang 5 Chu vi COD chu vi AMB
Dấu = xảy ra MH = OM HO
OM vuông góc với AB
®
0.25
®
5
Ta có 2(a2b2)(a b )2
Suy ra
0.25 đ
1đ
suy ra
2 2 2 2 2 2 2 2 2
VT
2 2
0.25 đ
2 2
1
VT x y z
0.25 đ
0.25 đ
* Chú ý: Học sinh có thể làm cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa
- Hết -