Lý thuyết và bài tập trắ nghiệm chuyên đề khối đa diện

Giải thích: Hình a không phải là hình đa diện vì tồn tại cạnh không phải là cạnh chung của hai mặt; Hình b không phải là hình đa diện vì có một điểm đặc biệt trong hìn[r]

KHỐI ĐA DIỆN

Bài 01

KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN

I – KHỐI LĂNG TRỤ V1 KHỐI CHĨP

Khối lăng trụ là phần khơng gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ kể cả hình lăng trụ ấy

Khối chĩp là phần khơng gian được giới hạn bởi một hình chĩp kể cả hình chĩp

ấy

Khối chĩp cụt là phần khơng gian được giới hạn bởi một hình chĩp cụt kể cả hình chĩp cụt ấy

II – KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN V1 KHỐI ĐA DIỆN

1 Khái niệm về hình đa diện

Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tínhchất:

Hai đa giác phân biệt chỉ cĩ thể hoặc khơng cĩ điểm chung, hoặc chỉ cĩ một đỉnh chung, hoặc chỉ cĩ một cạnh chung

Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác

Mỗi đa giác như trên được gọi là một mặt của hình đa diện

Các đỉnh, các cạnh của đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, các cạnh của hình đa diện

2 Khái niệm về khối đa diện

Khối đa diện là phần khơng gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình

Mỗi khối đa diện được xác định bởi một hình đa diện ứng với nó Ta cũng gọi đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài… của một khối đa diện theo thứ tự là đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài… của hình đa diện tương ứng

Điểm ngoài

Điểm trong Miền ngoài

d

M

N

Ví dụ

- Các hình dưới đây là những khối đa diện:

- Các hình dưới đây không phải là những khối đa diện:

Giải thích: Hình a không phải là hình đa diện vì tồn tại cạnh không phải là cạnh chung của hai mặt; Hình b không phải là hình đa diện vì có một điểm đặc biệt trong hình, điểm đó không phải là đỉnh chung của hai đa giác; Hình c không phải là hình

đa diện vì tồn tại một cạnh là cạnh chung của bốn đa giác

1 Phép dời hình trong không gian

Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M ′ xác định duy

nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian

Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý

a) Phép tịnh tiến theo vectơ v , là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm

M ′ sao cho MM′ =v Kí hiệu là T v

b) Phép đối xứng qua mặt phẳng ( )P là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc ( )P

thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc ( )P thành điểm M ′ sao cho ( )P là

mặt phẳng trung trực của MM ′

Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng ( )P biến hình ( )H thành chính nó thì ( )P được gọi là mặt phẳng đối xứng của ( )H

c) Phép đối xứng tâm O là phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi

điểm M khác O thành điểm M ′ sao cho O là trung điểm của MM ′

Nếu phép đối xứng tâm O biến hình ( )H thành chính nó thì O được gọi là tâm đối

xứng của ( )H

d) Phép đối xứng qua đường thẳng ∆ là là phép biến hình biến mọi điểm thuộc

đường thẳng ∆ thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc ∆ thành điểm M ′ sao cho ∆ là đường trung trực của MM ′

Nếu phép đối xứng qua đường thẳng ∆ biến hình ( )H thành chính nó thì ∆ được gọi là trục đối xứng của ( )H

Nhận xét

Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình

Phép dời hình biến đa diện ( )H thành đa diện (H′), biến đỉnh, cạnh, mặt của

( )H thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của (H′)

Ví dụ: Cho hình lập phương ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ Khi đó:

Các hình chóp A A B C D′ ′ ′ ′ và C ABCD′ bằng nhau (vì qua phép đối xứng tâm O hình chóp A A B C D′ ′ ′ ′ biến thành hình chóp C ABCD′ )

Các hình lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ và AA D BB C′ ′ ′ ′ bằng nhau (vì qua phép đối xứng qua mặt phẳng (AB C D′ ′ ) thì hình lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ biến thành hình lăng trụ

AA D BB C′ ′ ′ ′)

D' C'

B'

A'

D C

IV – PHÂN CHIA V1 LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN

Nếu khối đa diện ( )H là hợp của hai khối đa diện (H1) và (H2) sao cho (H1) và (H2)

không có chung điểm trong nào thì ta nói có thể phân chia được khối đa diện ( )H

thành hai khối đa diện (H1) và (H2) Khi đó ta cũng nói có thể ghép hai khối đa diện

(H1) và (H2) để được khối đa diện ( )H

Ví dụ 1 Với khối chóp tứ giác S ABCD, xét hai khối

chóp tam giác S ABC và S ACD Ta thấy rằng:

Hai khối chóp S ABC và S ACD không có điểm

trong chung (tức là không tồn tại điểm trong của khối

chóp này là điểm trong của khối chóp kia và ngược lại)

Hợp của hai khối chóp S ABC và S ACD chính là

khối chóp S ABCD

Vậy khối chóp S ABCD được phân chia thành hai khối chóp S ABC và S ACD hay hai khối chóp S ABC và S ACD được ghép lại thành khối chóp S ABCD

Ví dụ 2 Cắt khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ bởi mặt phẳng

(A BC′ ) Khi đó, khối lăng trụ được phân chia thành

hai khối đa diện A ABC′ và A BCC B′ ′ ′

Nếu ta cắt khối chóp A BCC B′ ′ ′ bởi mặt phẳng (A B C′ ′ )

thì ta chia khối chóp A BCC B′ ′ ′ thành hai khối chóp

A BCB′ ′ và A CC B′ ′ ′

Vậy khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ được chia thành ba khối

tứ diện là A ABC′ , A BCB′ ′ và A CC B′ ′ ′

MỘT SỐ KẾT QUẢN QUAN TRỌNG

Kết quả 1: Một khối đa diện bất kì có ít nhất 4 mặt

Kết quả 2: Mỗi hình đa diện có ít nhất 4 đỉnh

Kết quả 3: Mỗi hình đa diện có ít nhất 6 cạnh

Kết quả 4: Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất 3 cạnh

Kết quả 5: Không tồn tại hình đa diện có 7 cạnh

Kết quả 6: Cho ( )H là đa diện mà các mặt của nó là những đa giác có p cạnh Nếu

A

S

C'

B' A'

C

B A

Chứng minh: Gọi số cạnh và số mặt của khối đa diện lần lượt là C và M

Vì mỗi mặt cĩ ba cạnh và mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta cĩ số cạnh của đa diện là 3

Kết quả 10: Nếu khối đa diện cĩ mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh thì số đỉnh phải

là số chẵn (Tổng quát: Một đa diện mà mỗi đỉnh của nĩ đều là đỉnh chung của một số

lẻ mặt thì tổng số đỉnh là một số chẵn)

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Cho các hình khối sau:

Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4

Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số hình đa diện là:

Lời giải Các hình đa diện là: Hình 1; Hình 3; Hình 4 Chọn C

Câu 4 Vật thể nào trong các vật thể sau không phải là khối đa diện?

Lời giải Chọn C Vì hình C vi phạm tính chất ''Mỗi cạnh của miền đa giác nào cũng

là cạnh chung của đúng hai miền đa giác''

Câu 5 (ĐỀ THAM KHẢO 2016 – 2017) Hình đa

diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu mặt ?

Câu 10 Cho một hình đa diện Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh

B Mỗi mặt có ít nhất ba cạnh

C Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt

D Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba mặt

Lời giải Ta thấy các đáp án A, B, D đều đúng dựa vào khái niệm hình đa diện

Chọn C

Câu 11 Gọi Đ là số các đỉnh, M là số các mặt, C là số các cạnh của một hình đa

diện bất kỳ mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Đ>4, M>4, C>6 B Đ>5, M>5, C>7

C Đ≥4, M ≥4, C≥6 D Đ≥5, M≥5, C≥7

Lời giải Xét hình đa diện là hình tứ diện thì kết quả về quan hệ số đỉnh và số mặt

thỏa mãn đáp án C Chọn C

Câu 12 Một hình đa diện có các mặt là những tam giác thì số mặt M và số cạnh C

của đa diện đó thỏa mãn

A 3C=2M B C=M+ 2 C M C≥ D 3M =2C

Lời giải Tổng số cạnh của hình đa diện là 2 C Tổng số mặt của hình đa diện là M

và mỗi mặt đều là tam giác nên có tổng số cạnh 3 M Vậy ta có 3M =2 C Chọn D Câu 13 (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Hình đa diện nào dưới đây không có tâm

đối xứng?

A Tứ diện đều B Bát diện đều C Hình lập phương D Lăng trụ lục giác đều

Lời giải Chọn A

Câu 14 Gọi n1, n2, n3 lần lượt là số trục đối xứng của khối tứ diện đều, khối chóp tứ giác đều và khối lập phương Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A n1=0, n2 =0, n3=6 B n1=0, n2=1, n3=9

C n1=3, n2=1, n3 =9 D n1=0, n2=1, n3=3

Lời giải Khối tứ diện đều có 3 trục đối xứng (đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối

diện) Khối chóp tứ giác đều có 1 trục đối xứng (đi qua đỉnh và tâm của mặt tứ giác) Khối lập phương có 9 trục đối xứng (Loại 1: đi qua tâm của các mặt đối diện ; Loại 2:

đi qua trung điểm các cặp cạnh đối diện) Chọn C

Câu 15 Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

A 4 mặt phẳng B 1 mặt phẳng

C 2 mặt phẳng D 3 mặt phẳng

Lời giải Hình chóp tứ giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng bao gồm:

2 mặt phẳng đi qua đỉnh hình chóp và chứa đường trung bình của đáy

2 mặt phẳng đi qua đỉnh hình chóp và chứa đường chéo của đáy

Chọn A

Câu 16 Số mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là:

A 4 mặt phẳng B 6 mặt phẳng

Lời giải Các mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là các mặt phẳng chứa một

cạnh và qua trung điểm cạnh đối diện

Vậy hình tứ diện đều có 6 mặt phẳng đối xứng Chọn B

Câu 17 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu

Câu 18 Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi một khác nhau có bao nhiêu mặt

phẳng đối xứng?

A 4 mặt phẳng B 6 mặt phẳng

Lời giải Hình hộp chữ nhật (không là hình lập phương) có các mặt phẳng đối xứng

là các mặt các mặt phẳng trung trực của các cặp cạnh đối

2 mặt phẳng chứa đường chéo của đáy và vuông góc với đáy

Một mặt phẳng là mặt phẳng trung trực của cạnh bên

Câu 21 Số mặt phẳng đối xứng của hình bát diện đều là:

A 4 mặt phẳng B 9 mặt phẳng

Lời giải Gọi bát diện đều ABCDEF Có 9 mặt

phẳng đối xứng, bao gồm: 3 mặt phẳng (ABCD),

(BEDF), (AECF) và 6 mặt phẳng mà mỗi mặt

phẳng là mặt phẳng trung trực của hai cạnh

Lời giải Có 2 loại mặt phẳng thỏa mãn đề bài là:

Loại 1: Mặt phẳng qua trung điểm của 3 cạnh bên có chung đỉnh Có 4 mặt phẳng

thỏa mãn loại này (vì có 4 đỉnh)

Nhận xét Loại này ta thấy có 1 điểm nằm khác phía với 3 điểm còn lại

Loại 2: Mặt phẳng qua trung điểm của 4 cạnh (4 cạnh này thuộc 2 cặp cạnh, mỗi cặp cạnh là chéo nhau) Có 3 mặt phẳng như thế

Nhận xét Loại này ta thấy có 2 điểm nằm khác phía với 2 điểm còn lại

Chọn C

Câu 23 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Mặt phẳng (AB C′ ′) chia khối lăng trụ

ABC A B C′ ′ ′ thành các khối đa diện nào ?

A Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác

B Hai khối chóp tam giác

C Một khối chóp tam giác và một khối chóp ngũ giác

D Hai khối chóp tứ giác

F

D

C B

A

E

Lời giải Dựa vào hình vẽ, ta thấy mặt phẳng

(AB C′ ′) chia khối lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ thành

khối chóp tam giác A A B C′ ′ ′ và khối chóp tứ giác

B A

Câu 24 Lắp ghép hai khối đa diện (H1) (, H2) để tạo thành khối đa diện ( )H , trong

đó (H1) là khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a , (H2) là khối tứ diện đều

cạnh a sao cho một mặt của (H1) trùng với một mặt của (H2) như hình vẽ Hỏi khối

da diện ( )H có tất cả bao nhiêu mặt?

Lời giải Khối đa diện ( )H có đúng 5 mặt. Chọn A

Sai lầm hay gặp: Khối chóp tứ giác đều có 5 mặt Khối tứ diện đều có 4 mặt

Ghép hai hình lại như hình vẽ ta được khối đa diện ( )H có 8 mặt

Câu 25 Có thể chia một hình lập phương thành bao nhiêu khối tứ diện bằng nhau?

Lời giải Lần lượt dùng mặt phẳng (BDD B′ ′) ta

chia thành hai khối lập phương thành hai khối

lăng trụ ABD A B D ′ ′ ′ và BCD B C D ′ ′ ′

Với khối ABD A B D ′ ′ ′ ta lần lượt dùng các mặt

phẳng (AB D′ ′) và (AB D′ ) chia thành ba khối tứ

diện bằng nhau

Tương tự với khối BCD B C D ′ ′ ′

Vậy có tất cả 6 khối tứ diện bằng nhau Chọn C

B' A'

B A

Bài 02

KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU

Khối đa diện ( )H được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của ( )H luơn thuộc ( )H Khi đĩ đa diện giới hạn ( )H được gọi là đa diện lồi

Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nĩ luơn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng đi qua một mặt của nĩ

Định nghĩa

Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi cĩ hai tính chất sau đây:

Các mặt là những đa giác đều n cạnh

Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng p cạnh

Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại {n p, }

Định lí

Chỉ cĩ năm khối đa diện đều Đĩ là:

Loại {3;3}: khối tứ diện đều

Loại {4;3}: khối lập phương

Loại {3; 4}: khối bát diện đều

Loại {5;3}: khối 12 mặt đều

Loại {3;5}: khối 20 mặt đều

Khối tứ diện đều Khối lập phương Bát diện đều Hình 12 mặt đều Hình 20 mặt đều

Chú ý Gọi Đ là tổng số đỉnh, C là tổng số cạnh và M là tổng các mặt của khối

đa diện đều loại {n p; } Ta có

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Cho các hình khối sau:

Lời giải Cĩ hai khối đa diện lồi là: Hình 1 & Hình 4 Chọn B

Câu 3 Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của hình nào trong

các hình sau đây?

A Bát diện đều B Tứ diện đều C Lục bát đều D Ngũ giác đều Lời giải Chọn A

Câu 4 Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của một hình lập phương

B Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều

C Tâm tất cả các mặt của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình lập phương

D Tâm tất cả các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của một hình tứ diện đều Lời giải Chọn B

Câu 5 Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều tạo thành

A các đỉnh của một hình tứ diện đều

B các đỉnh của một hình bát diện đều

C các đỉnh của một hình mười hai mặt đều

D các đỉnh của một hình hai mươi mặt đều

Lời giải Chọn B

Câu 6 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A Tồn tại khối tứ diện là khối đa diện đều

B Tồn tại khối lặng trụ đều là khối đa diện đều

C Tồn tại khối hộp là khối đa diện đều

D Tồn tại khối chóp tứ giác đều là khối đa diện đều

Lời giải Trong 5 loại khối đa diện đều không tồn tại khối chóp có đáy là tứ giác Chọn D

Câu 7 Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều như hình vẽ

Khối tứ diện đều Khối lập phương Bát diện đều Hình 12 mặt đều Hình 20 mặt đều Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Mọi khối đa diện đều có số mặt là những số chia hết cho 4

B Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh

C Khối tứ diện đều và khối bát diện đều có 1 tâm đối xứng

D Khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều có cùng số đỉnh

Lời giải Khối lập phương có 6 mặt Do đó A sai

Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh là 12 Chọn B

Khối tứ diện đều không có tâm đối xứng Do đó C sai

Khối 12 mặt đều có 20 đỉnh Khối 20 mặt đều có 12 đỉnh Do đó D sai

Câu 8 Các khối đa diện đều mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của ba mặt thì số

đỉnh Đ và số cạnh C của các khối đa diện đó luôn thỏa mãn:

A Đ= −C 2 B Đ≥C C 3Đ=2C D 3C = Đ 2

Lời giải Tổng số cạnh của hình đa diện là 2 C Do mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng

ba mặt nên suy ra các cạnh của hình đa diện là 3 Đ Vậy ta có 3Đ=2 C Chọn C Câu 9 Tổng các góc của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại {4;3} là:

Lời giải Tứ diện đều có tất cả 6 cạnh nên có tổng độ dài các cạnh là 6a Chọn B

Câu 12 Tổng độ dài ℓ của tất cả các cạnh của khối mười hai mặt đều cạnh bằng 2

Câu 13 Cho hình đa diện đều loại {4;3} cạnh a Gọi S là tổng diện tích tất cả các

mặt của hình đa diện đó Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Lời giải Đa diện đều loại {4;3} là khối lập phương nên có 6 mặt là các hình vuông

cạnh a Vậy hình lập phương có tổng diện tích tất cả các mặt là S=6a2 Chọn B Câu 14 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hình bát diện đều cạnh a. Gọi S là

tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đó Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A S=4 3a2 B S= 3a2 C S=2 3a2 D S=8a2

Lời giải Hình bát diện đều là hình có tám mặt bằng nhau và mỗi mặt là một tam

giác đều Gọi S0 là diện tích tam giác đều cạnh 0 2 3

4

a

a →S =Vậy diện tích S cần tính là 2 2

Lời giải Hình 20 đều là hình có 20 mặt bằng nhau và mỗi mặt là một tam giác đều

Gọi S0 là diện tích tam giác đều cạnh bằng 2 0 2 32 3

4

S

Vậy diện tích S cần tính là S=20.S0 =20 3 Chọn B

Định nghĩa Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều

Tính chất Các mặt bên của hình lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau và

vuông góc với mặt đáy

Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành

1 Hình hộp đứng

Định nghĩa Hình hộp đứng là hình hộp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy

Tính chất Hình hộp đứng có 2 đáy là hình bình hành, 4 mặt xung quanh là 4

Tính chất Hình lập phương có 6 mặt đều là hình vuông

Hình chóp là hình có đáy là một đa giác và các mặt bên là các tam giác có chung một đỉnh

I – THEÅ TÍCH

1 Công thức tính thể tích khối chóp

1 3

V = S h

Trong đó: S là diện tích đáy, h là chiều cao khối chóp

2 Cơng thức tính thể tích khối lăng trụ

S A B C

S ABC

V = SA SB SC Phương pháp này được áp dụng khi khối chĩp

khơng xác đinh được chiều cao một cách dễ dàng

hoặc khối chĩp cần tính là một phần nhỏ trong khối

chĩp lớn và cần chú ý đến một số điều kiện sau

• Hai khối chĩp phải cùng chung đỉnh

• Đáy hai khối chĩp phải là tam giác

• Các điểm tương ứng nằm trên các cạnh tương ứng

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Vấn đề 1 THỂ TÍCH KHỐI CHĨP

Câu 1 Cho hình chĩp S ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a , cạnh bên SA

vuơng gĩc với mặt phẳng đáy và SA=a 2 Tính thể tích V của khối chĩp S ABCD

ABCD

S =a Chiều cao khối chĩp là SA=a 2

Câu 2 Cho hình chĩp S ABC cĩ tam giác SBC là tam giác vuơng cân tại S, SB=2a

và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 3 a Tính theo a thể tích V của khối chĩp S ABC

Lời giải Ta chọn (SBC) làm mặt đáy → chiều cao khối chĩp là d A SBC ,( ) = 3 a

Tam giác SBC vuơng cân tại S nên 1 2 2

2 2

SBC

S∆ = SB = a

D A

C

B A

Câu 3 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho khối chóp S ABC có SA vuông góc với

đáy, SA=4,AB=6,BC=10 và CA = Tính thể tích V của khối chóp 8 S ABC

góc với (ABCD), suy ra SA⊥(ABCD) Do đó chiều cao

Câu 5 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Cạnh bên SA

vuông góc với đáy (ABCD) và SC=a 5 Tính theo a thể tích V khối chóp S ABCD

Xét tam giác SAC , ta có 2 2

3

SA= SC −AC =a Chiều cao khối chóp là SA=a 3

Diện tích hình vuông ABCD là 2

Lời giải Diện tích tam giác vuông 1 2.

ABC

a

S∆ = BA BC=Chiều cao khối chóp là SA=2a

Lời giải Gọi H là trung điểm của AB , suy ra SH ⊥AB

Do (SAB) (⊥ ABC) theo giao tuyến AB nên SH ⊥(ABC)

Tam giác SAB là đều cạnh AB=a nên 3

ABC

a

S∆ = AB AC= Vậy . 1 3 6

Lời giải Gọi I là trung điểm của AB Tam giác SAB cân tại S và có I là trung

điểm AB nên SI ⊥AB Do (SAB) (⊥ ABCD) theo giao tuyến AB nên SI⊥(ABCD)

C

B A

S

D

C A S

B

H

C B

A S

Tam giác vuông SIA , có

Câu 10 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho khối chóp tam giác đều S ABC có

cạnh đáy bằng a , cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy Tính theo a thể tích V của khối

C

B A

I M

C

B A

S

Câu 12 (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a và thể tích bằng 3

a Tính chiều cao h của hình chóp đã cho

Câu 13 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB= a

Cạnh bên SA=a 2, hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC Tính theo a thể tích V của khối chóp S ABC

Lời giải Gọi M là trung điểm AC Theo giả thiết, ta có SM ⊥(ABC)⇒SM ⊥AC

Tam giác vuông ABC , có AC =AB 2=a 2

Tam giác vuông SMA , có

ABC= ° Cạnh bên SD= 2. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD)

là điểm H thuộc đoạn BD thỏa HD=3HB. Tính thể tích V của khối chóp S ABCD

Lời giải Trong tam giác vuông SAB , ta có

Hơn nữa, theo giả thiết 0

Câu 17 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AC=2a,

AB=SA = Tam giác SAC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy a

(ABC) Tính theo a thể tích V của khối chóp S ABC

Lời giải Kẻ SH ⊥AC Do (SAC) (⊥ ABC) theo giao tuyến AC nên SH ⊥(ABC)

Trong tam giác vuông SAC , ta có

Câu 18 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông Cạnh bên SA a= và

vuông góc với đáy; diện tích tam giác SBC bằng 2 2

Lời giải Ta có BC⊥AB (do ABCD là hình vuông) ( )1

Lại có BC⊥SA (do SA vuông góc với đáy (ABCD)) ( )2

H B

D

C A

S

B

D

C A S

A

B

C S

H

Từ ( )1 và ( )2 , suy ra BC⊥(SAB)⇒BC⊥SB Do đó tam giác SBC vuông tại B

Câu 19 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C , cạnh huyền

AB bằng 3 Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt đáy trùng với trọng tâm của tam giác ABC và 14

Lời giải Gọi M N, lần lượt là trung điểm AB AC, . Suy ra G CM BN= ∩ là trọng

tâm tam giác ABC Theo giả thiết, ta có SG⊥(ABC)

Tam giác ABC vuông cân tại C , suy ra 3

Suy ra OB là hình chiếu của SB trên (ABCD)

D

C B

A S

Câu 21 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, 5

AC = a Đường thẳng SA vuông góc với mặt đáy, cạnh bên SB tạo với mặt đáy một góc 0

60 Tính theo a thể tích V của khối chóp S ABCD

( )0

60 =SB ABC, =SB AB, =SBA

Tam giác vuông SAB, có SA=AB tanSBA=a 3

Diện tích tam giác đều SAB là 2 3

Diện tích hình thoi

23

30 Tính thể tích V của khối chóp S ABCD

C

B A

30 =SC ABCD, =SC HC, =SCH Tam giác vuông BCH, có 2 2 5

.2

HC= BC +BH =

Tam giác vuông SHC, có tan 15

6

SH=HC SCH=Diện tích hình vuông ABCD là S ABCD=1

S ABCD ABCD

Câu 25 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AC=2 , a BC= a

Đỉnh S cách đều các điểm , , .A B C Biết góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng

(ABCD) bằng 60 o Tính theo a thể tích V của khối chóp S ABCD

ABC. Theo giả thiết đỉnh S cách đều các điểm , , A B C nên hình chiếu của S xuống đáy là điểm O→SO⊥(ABCD)→hình chiếu vuông góc của SB trên mặt đáy

60 =SB ABCD, =SB OB, =SBO Tam giác vuông SOB, có SO=OB tanSBO=a 3

Tam giác vuông ABC, có 2 2

3

AB= AC −BC =a Diện tích hình chữ nhật 2

Câu 26 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A,

AB=AC=a Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABC) Gọi I là trung điểm của BC ,

SI tạo với mặt phẳng (ABC) góc 0

60 Tính theo a thể tích V của khối chóp S ABC

S A C B AB C

a S

I

C

B A S

Câu 27 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu

vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của cạnh BC Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 0

60 Tính theo a thể tích V của khối chóp S ABC

60 =SB ABC, =SB BH, =SBH Tam giác vuông SHB, có

S

A

B

C H

Tam giác vuông SHD, có

.2

Câu 30 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a Tam giác ABC

đều, hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABC Đường thẳng SD hợp với mặt phẳng (ABCD) góc 0

Theo giả thiết SH ⊥(ABCD) nên hình chiếu vuông góc của SD trên mặt đáy (ABCD)

là HD Do đó 0 ( )

30 =SD ABCD, =SD HD, =SDH.Tam giác ABC và ADC đều cạnh a , suy ra

3

2

.3

a OD

a

HD OD OH a

S

A

C D

Câu 31 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với cạnh đáy AD và

;

AD= a AB=BC=CD=a BAD= Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng

(ABCD) và SD tạo với mặt phẳng (ABCD) góc 0

45 Tính theo a thể tích V của khối chóp S ABCD

Trong hình thang ABCD, kẻ BH ⊥AD (H∈AD)

Do ABCD là hình thang cân nên

30 Tính theo a thể tích V của khối chóp S ABCD

2

AN= SD.Gọi M là trung điểm AD, suy ra MN SA nên MN ⊥(ABCD)

C B A S

H

S

B A

Câu 34 (ĐỀ THAM KHẢO 2016 – 2017) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là

hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt đáy, SD tạo với mặt phẳng (SAB) một góc bằng 0

30 Tính theo a thể tích V của khối chóp S ABCD

Câu 35 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 3, tam giác

SBC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, đường thẳng SD tạo với mặt phẳng (SBC) một góc 0

60 Tính thể tích V của khối chóp S ABCD

N

M S

D

C B

A

A

D S

Câu 36 Cho hình chóp đều S ABC có cạnh đáy bằng a , góc giữa mặt bên với mặt

Do S ABC là hình chóp đều nên SO⊥(ABC)

S ABC ABC

a

Câu 37 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Đường thẳng

SA vuông góc đáy và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc bằng 0

Tam giác vuông SAD, có SA=AD tanSDA=a 3

Diện tích hình vuông ABCD là 2 2

ABCD

S =AB =a Vậy thể tích khối chóp . 1 3 3

60 Tính thể tích V của khối chóp S ABCD

O

E F

D

S

A