Một số lớp phương trình tích phân dạng chập

Một số lớp phương trình tích phân dạng chập Một số lớp phương trình tích phân dạng chập Một số lớp phương trình tích phân dạng chập luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN DẠNG CHẬP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2015

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN DẠNG CHẬP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH : TOÁN GIẢI TÍCH

Mục lục

1 Biến đổi Fourier và bài toán biên Riemann 3

1.1 Một số kiến thức bổ trợ 3

1.1.1 Không gian Lp 3

1.1.2 Các bất đẳng thức và các định lý về tích phân 4

1.1.3 Tích chập 5

1.1.4 Biến phân bị chặn 7

1.2 Biến đổi Fourier trong L1(R) 8

1.2.1 Định nghĩa biến đổi Fourier trong L1(R) 8

1.2.2 Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier 9

1.2.3 Công thức ngược trong L1(R) 12

1.3 Biến đổi Fourier trong L2(R) 14

1.4 Tích phân Cauchy và tích phân Fourier 15

1.4.1 Lớp hàm Holder C0,α 15

1.4.2 Các lớp hàm {0} và {{0}} 15

1.4.3 Giá trị chính của tích phân Cauchy 15

1.4.4 Hàm đều 16

1.4.5 Tích phân Cauchy 18

1.4.6 Tích phân Fourier 18

1.5 Bài toán biên Riemann đối với nửa mặt phẳng 19

1.5.1 Chỉ số 19

1.5.2 Phát biểu bài toán 20

1.5.3 Bài toán bước nhảy 20

1.5.4 Bài toán thuần nhất Hàm chính tắc 21

1.5.5 Bài toán không thuần nhất 22

2 Một số lớp phương trình tích phân dạng chập trên trục thực 24

2.1 Phương trình tích chập lọai một 24

2.2 Phương trình tích chập loại hai 26

2.3 Phương trình tích chập trên nửa trục (Wiener- Hopf) 30

3 Phương trình cặp tích phân dạng chập và ứng dụng 33 3.1 Phương trình cặp tích phân với nhân phụ thuộc vào hiệu các biến số 33

3.2 Phương trình cặp tích phân với nhân phụ thuộc vào hiệu và tổng các biến số 35

3.3 Bài toán biên hỗn hợp đối với phương trình đa điều hòa trong nửa mặt phẳng 38

3.3.1 Phương trình đa điều hòa 38

3.3.2 Bài toán 1 39

3.3.3 Bài toán 2 40

Mở đầu

Phương trình tích phân kỳ dị và phương trình tích phân dạng chập đã đượcxây dựng và phát triển rất mạnh mẽ trong vòng nửa thế kỷ, từ năm 1920 đếnnăm 1970 Các kết quả này gắn liền với tên tuổi nhiều nhà toán học nổi tiếngnhư Noether, Muskhelishvili, Gakhov,Vekua, Cùng song hành và tiếp ngaysau đó là sự ra đời của hàng loạt các lý thuyết toán tử kỳ dị trừu tượng trongkhông gian tuyến tính tổng quát gắn với lý thuyết các phương trình tích phân

kỳ dị với dịch chuyển và liên hợp phức cũng như nhiều dạng bài toán biên khác

Tại Việt Nam, từ những năm 1980, đã có rất nhiều người quan tâm đếnlĩnh vực các bài toán biên Riemann, các phương trình tích phân kỳ dị Cauchy,phương trình tích phân dạng chập và đã thu được một số kết quả nhất định Từ

đó, lý thuyết toán tử và phương trình tích phân kỳ dị đã trở thành một mảnglớn khá hấp dẫn trong toán học hiện đại ở Việt Nam Tuy nhiên, cho đến naytài liệu nghiên cứu sâu về lĩnh vực này vẫn còn rất ít, nhất là là các phương trìnhtích phân dạng chập đặc biệt, như phương trình Wiener-Hopf, phương trình cặptích phân, v.v Ngoài ra, việc nghiên cứu còn cho ta thấy được sự phong phúcủa nhiều loại phương trình tích phân nói chung và phương trình tích phân dạngchập nói riêng về lý thuyết cũng như ứng dụng

Xuất phát từ những lý do nêu trên, tôi đã chọn đề tài "Một số lớp phươngtrình tích phân dạng chập " làm luận văn cao học với hy vọng sẽ tìm hiểu sâuhơn lý thuyết và ứng dụng của các phương trình tích phân dạng chập

Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo

và 3 chương

Chương 1 trình bày một số kiến thức bổ trợ, như tích chập, biến đổi Fouriertrong L1(R) và L2(R), tích phân Cauchy, tích phân Fourier và bài toán biênRiemann đối với nửa mặt phẳng

Chương 2 trình bày một số lớp phương trình tích phân dạng chập trên trục

thực: phương trình tích chập loại một, loại hai và phương trình tích chập trênnửa trục (phương trình Wiener-Hopf) Đối với mỗi lớp phương trình đã đưa ra

ví dụ minh họa

Chương 3 trình bày về phương trình cặp tích phân dạng chập và ứng dụng

Đã xét phương trình cặp tích phân với nhân phụ thuộc vào hiệu các biến số, phụthuộc vào hiệu và tổng các biến số Trình bày ứng dụng của các phương trìnhcặp nói trên giải bài toán biến hỗn hợp của phương trình đa điều hòa trong nửamặt phẳng

Bản luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn VănNgọc Tôi bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy đã dành nhiều công sức và thờigian để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ tôi trong việc hoàn thành bản luận vănnày

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến lãnh đạo và các thầy, cô trong khoa Toán Cơ Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội về các kiến thức

-và những điều tốt đẹp mang lại cho tôi trong thời gian học tập tại trường Tôixin cảm ơn tới Phòng Sau Đại học về những điều kiện thuận lợi đã dành cho tôitrong việc hoàn thành thủ tục học tập và bảo vệ luận văn

Cuối cùng tôi bày tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân là chỗ dựa về tinhthần và vật chất cho tôi trong cuộc sống và trong học tập

Hà Nội, tháng 11 năm 2015

Nguyễn Thị Hoàn

Số kf kp được gọi là chuẩn của hàm f (x).

Lp(Ω) là một không gian Banach Đặc biệt, L2(Ω) là một không gian Hilbertvới tích vô hướng

(f, g) =

Z

Ω

f (x)g(x)dx,

trong đó g(x) là liên hợp phức của g(x)

Hàm xác định trên Ωđược gọi là chủ yếu bị chặn trên Ω, nếu tồn tại hằng sốdương C, sao cho |f (x)| 6 C hầu khắp nơi trên Ω Cận dưới lớn nhất của f (x)

được ký hiệu là ess supx∈Ω|f (x)|.

Ta ký hiệu L∞(Ω) là không gian của tất cả các hàm chủ yếu bị chặn trên Ω

Chuẩn trong L∞(Ω) được xác định theo công thức

kf k∞= esssupx∈Ω|f (x)|

, trong đó sup lấy trên tất cả các phân hoạch đơn vị của [a, b]

Dưới đây là mệnh đề quan trọng về sự trù mật trong Lp

T −lớp các đa thức lượng giác trù mật khắp nơi trong Lp(−π, π)

(ii)Lớp Sc của tất cả các hàm bậc thang trù mật trong Lp(−∞, ∞), (p>1).

Định lý 1.4 (Định lý Lebesgue) Giả sử trên Ω cho dãy các hàm khả tổng

{fk(x)}∞1 hội tụ hầu khắp nơi đến hàm f (x) Nếu tồn tại hàm thực F (x) >

Rõ ràng α + β + γ = 1, |φψX| = |f g| Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Định lý 1.9 (Bất đẳng thức Young về tích chập) Giả sử f và g thỏa mãn cácđiều kiện của Định lý 1.7 Khi đó

||f ∗ g||1/1−λ−µ≤ ||f ||1/(1−λ)||g||1/(1−µ). (1.5)Chứng minh: Theo bất đẳng thức Young về tích phân ta có

1.1.4 Biến phân bị chặn

Định nghĩa 1.1 Cho f là hàm số ( thực hoặc phức ) xác định trên đoạn

[a, b] Giả sử p = {x0, x1, , xn} là một phân hoạch của đoạn [a, b], nghĩa là

a = x 0 < x 1 < < x n = b Hàm số f (x) được gọi là có biến phân bị chặn trênđoạn [a, b], nếu

1) Hàm nhận giá trị phức biến thực f (x) có biến phân bị chặn trên [a, b], khi

và chỉ khi phần thực và phần ảo của nó có biến phân bị chặn trên [a, b].2) Nếu f (x) có biến phân bị chặn thì f (x) bị chặn: |f (x)| ≤ |f (a)| + V b

a (f ).3) Giả sử f (x) là hàm số thực Hàm f (x) có biến phân bị chặn trên [a, b] khi

và chỉ khi nó là hiệu hàm đơn điệu tăng và bị chặn trên [a, b]:

f (x) = g(x) − h(x).

1.2.1 Định nghĩa biến đổi Fourier trong L1(R)

Định nghĩa 1.2 Với f ∈ L1(R) ta định nghĩa biến đổi Fourier của hàm f là:

Nhận xét rằng vì f ∈ L1(R)và |e±iξ| = 1, nên các tích phân (1.7) và (1.8) hội

tụ ∀ξ ∈R Ngoài ra, giữa biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược có quan hệ

Ví dụ 1.2 (Hạch Poisson) Xét biến đổi Fourier của hàm số e−t|x|, t > 0 Ta có:

I = √12π

t 2 + x 2 , t > 0 được gọi là hạch Poisson

1.2.2 Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier

Sau đây là một số tính chất cơ bản của biến đổi Fourier

1) Biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược là hàm bị chặn trong R Thậtvậy, theo (1.7) ta có:

3) Toán tử F liên tục theo nghĩa sau đây: Nếu {fk} ∈ L 1 (R), fk → f ∈

trong đó χIj(x) là hàm đặc trưng của khoảng dạng (αi, βj) : Ij ∩ Ij = ∅ với

i 6= j Với mỗi ε > 0, ta chọn hàm bậc thang s(x), sao cho

1

√ 2π

nên theo định lý Fubini, ta có

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

6) Biến đổi Fourier của dịch chuyển:

f (t)ei(t+a)ξdt = eiaξF [f ](ξ).

7) Biến đổi Fourier của tích chập Giả sử f, g là các hàm được xác định trong

R Hàm số (f ∗ g)(x) được xác định bởi công thức

f (y)g(x − y) dy}eixξdx.

Áp dụng định lý Fubini, sau đó đổi biến x − y = t, ta có

8) Biến đổi Fourier của đạo hàm Chof (x) ∈ L1(R) với Dαf ∈ L1(R) và f liêntục tuyệt đối trong mọi khoảng hữu hạn Khi đó:

Hơn nữa, vì f0 ∈ L1(R), nên vế phải của đẳng thức trên có giới hạn khi

|x| → ∞ Ngoài ra giới hạn đó bằng 0 vì f ∈ L1(R) Vậy

f (x)(ix)αeixξdx = F [(ix)αf (x)](ξ).

1.2.3 Công thức ngược trong L1(R)

2[f (x + 0) + f (x − 0)], nếu x là điểm gián đoạn loại 1 của f (x).

Xét một số trường hợp riêng thường gặp sau đây:

1) Nhận xét rằng nếu f (x) thỏa mãn điều kiện Holder với bậc α, 0 < α 6 1

thì điều kiện Dini được thỏa mãn Thật vậy, từ điều kiện

|f (x ± y) − f (x)| 6Lyα, 0 < α61, 0 < y < δ,

suy ra tích phân ở vế phải của (1.6) hội tụ

2) Trường hợp riêng khi α = 1, điều kiện Dini được thỏa mãn nếu tồn tại đạohàm hữu hạn f0(x) hoặc là tồn tại đạo hàm một phía tại x

Định lý 1.11 (Định lý Dirichlet-Jordan) Giả sử f (x) là hàm thực và f (x) ∈

L1(R) có biến phân hữu hạn trên đoạn [x − δ, x + δ] Khi đó tích phân Fouriercủa f (x) (biến đổi Fourier ngược) hội tụ đến f (x) ( theo nghĩa rộng: f (x) = 1

2[f (x + 0) + f (x − 0)])

Định lý 1.12 (Định lý Dirichlet) Nếu hàm f (x) ∈ L1(R) đơn điệu từng khúctrên R có không quá số hữu hạn các điểm cực trị và có không quá số hữu hạncác điểm gián đoạn loại1 Khi đó tích phân Fourier của f (x) hội tụ đến f (x) tạicác điểm liên tục và hội tụ đến 1

2[f (x + 0) + f (x − 0)] tại những điểm gián đoạn

1.3 Biến đổi Fourier trong L2(R)

Đối với f ∈ L1(R), nghĩa là

Định nghĩa 1.3 Giả sử f ∈ L2(R). Xấp xỉ hàm f bởi dãy hàm {fk}, sao cho

Biến đổi Fourier ngược được định nghĩa hoàn toàn tương tự

Một số tính chất của biến đổi Fourier trong L2

• Biến đổi Fourier của đạo hàm

\

∂αk

x k u(ξ) = (−iξk)αk u(ξ) ˆ

• Biến đổi Fourier của tích chập

1.4 Tích phân Cauchy và tích phân Fourier

1.4.1 Lớp hàm Holder C0,α

Định nghĩa 1.4 Ta nói hàm F(x) thuộc lớp Holder với chỉ số α > 0, trênkhoảng (a, b), nếu

|F (x 1 ) − F (x 2 )| ≤ L|x 1 − x 2 |α, ∀x 1 , x 2 ∈ (a, b). (1.13)Nếu α > 1thì từ (1.13) suy ra hàm F (x) chỉ có thể là hằng số Do đó, chúng

ta giả thiết 0 < α ≤ 1. Khi α = 1 điều kiện (1.13) trở thành điều kiện Lipshit.Hàm số khả vi liên tục trên (a, b) thì thỏa mãn điều kiện Lipshit trên khoảngđó

Nếu hàm F(x) được cho trên toàn bộ trục số R = (−∞, ∞), thì điều kiệnHolder được mô tả dưới dạng

|F (x1) − F (x2)| ≤ L|x1− x2|α, ∀x1, x2 ∈R, (1.14)

|F (x1) − F (x2)| ≤ L

1

x1 − 1

x2

Dễ thấy rằng, nếu f (t) ∈ L2(R), tf (t) ∈ L1(R) thì f (t) ∈ {0}. Thật vậy, vì

f (t) ∈ L2(R),nênF (x) = F [f (t)](x) ∈ L2(R).Dotf (t) ∈ L1(R),nênF (x) = F [f ](x)

là hàm khả vi và giảm dần về không ở vô cùng, do đó F (x) thuộc lớp Holdertrên R.

1.4.3 Giá trị chính của tích phân Cauchy

• Tích phân sau đây được gọi là tích phân Cauchy

Z b a

dt

t − x, x ∈R.

Khi x ∈ (a, b) tích phân trên đây không tồn tại theo nghĩa thông thường, nhưngtồn tại theo nghĩa sau đây được gọi là nghĩa chính Cauchy

lim

ε→+0

Z x−ε a

dt

t − x +

Z b x+ε

P V

Z b a

F (t)

t − xdt =

Z b a

F (t) − F (x)

t − x dt + F (x)P V

Z b a

dt

t − x.

Tích phân đầu tiên ở vế phải tồn tại, cho dù là tích phân suy rộng, và tích phânthứ hai ở vế phải chỉ tồn tại theo nghĩa giá trị chính Cauchy Do đó, theo côngthức (1.17) ta có

P V

Z b a

F (t)

t − xdt =

Z b a

f (z) = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y).

Để hàm f(z) khả vi tại z= x+i y, điều kiện cần và đủ là các hàm u(x, y), v (x,y) thỏa mãn hệ Cauchy Riemann

(holomor-z Hàm f(z) được gọi là đều (chỉnh hình) trong miền D, nếu nó là đều tại mọiđiểm của miền D.

• Hàm biến phức W=f(z)( đơn trị hay đa trị)được gọi là giải tích trong miền

D, nếu nó là đều tại mọi điểm của miền D, trừ ra có thể một số hữu hạn củamiền D, tại đó hàm số mất tính đều

• Một tính chất quan trọng của hàm đều là: nếu hàm f(z) là đều trong miền

D thì nó khả vi vô hạn trong miền D Cao hơn, tất cả các đạo hàm của f(z) lànhững hàm đều trong miền D Nếu f(z) là hàm đều trong miền D chứa điểm zo

thì trong lân cận của zo nó có thể phân tích vào chuỗi Taylor

• Khai triển Loren

Định lý 1.14 Hàm f(z) đều trong vành r < |z − zo| < R khai triển được vàochuỗi Loren hội tụ trong vành

trong đó C là đường cong kín bất kỳ trong vành nói trên

• Thặng dư Thặng dư của hàm f(z) tại điểm zo được gọi là số phức bằng c1

trong khai triển Loren của hàm đó và được ký hiệu là Res[f (zo)]. Vậy, ta có

Thặng dư của f(z) tại cực điểm được xác định theo công thức

−eizτ, Imz < 0. (1.19)

• Giả sử F (x) ∈ {{0}}. Xét tích phân dạng Cauchy:

1 2πi

• Công thức Sokhoski Nếu F (x) ∈ {{0}} thì tồn tại giá trị giới hạn biên F±(x)

xác định theo công thức

F+(x) = 1

2F (x) +

1 2πi

Z

R

F (τ )

τ − xdτ. (1.22)Các công thức trên đây được gọi là công thức Sokhoski

• Xét mối quan hệ giữa tích phân dạng Cauchy và tích phân Fourier Giả sử

f (t) ∈ {0} và F (x) = F [f ](x). Ta có công thức

1 2πi

Z

R ±

f (t)eiztdt, ±Imz > 0, (1.24)

trong đó ký hiệu R± = {x : ±x > 0}. Công thức trên đây nhận được bằng cách

χ = IndG(t) = 1

2π[argG(t)]R. (1.28)Chỉ số của hàm G(t) có thể tính được thông qua độ biến thiên logarit của

nó, vì

ln G(t) = ln |G(t)| + iargG(t).

3 Ind(t2+ 1) = Ind(t − i)(t + i) = 1 − 0 = 1

1.5.2 Phát biểu bài toán

Trên trục thực R, trong lớp {0} cho hàm D(x)- hệ số và H(x)-số hạng tự do,ngoài ra D(x) 6= 0, ∀x ∈R, D(±∞) = 1. Tìm hai hàm F±(z)- giải tích tương ứngtrong các nửa mặt phẳng trên, dưới(một hàm giải tích từng mảnh) có giới hạnbiên F±(x) tương ứng thuộc các lớp {{R±}} và thỏa mãn điều kiện

F+(x) = D(x)F−(x) + H(x). (1.30)

1.5.3 Bài toán bước nhảy

Bài toán bước nhảy là trường hợp riêng của bài toán biên Riemann khi

D(x) ≡ 1 : Xác định các hàm F±(z) thỏa mãn điều kiện biên

F+(x) − F−(x) = H(x). (1.31)

Lời giải của bài toán này như sau Giả sử h(t) = F−1[h(x)](t). Ta có h(t) ∈ {0},

các hàm F±(z) tương ứng được xác định bởi các tích phân Fourier một phía

F±(z) = √1

2π

Z

R ±

eitzh(t)dt, z = x + iy, ±y > 0. (1.32)

1.5.4 Bài toán thuần nhất Hàm chính tắc

Định nghĩa 1.7 Nếu trong lân cận điểm zo của giải tích F(z) có biểu diễn

F (z) = (z − zo)mF1(zo), (1.33)trong đó F1(z) là hàm giải tích và F1(zo) 6= 0, thì số nguyên không âm m đượcgọi là cấp của F (z) tại điểm zo.

Xét bài toán biên Riemann thuần nhất

F+(x) = D(x)F−(x). (1.34)Tìm nghiệm đặc biệt X±(z) của bài toán (1.34) khác không trên trục thực vàthỏa mãn điều kiện X(∞) = 1. Ký hiệu N+, N− tương ứng là số không điểm củacác hàmX±(z)tương ứng trong các mặt phẳng trên, dưới Lấy chỉ số hai vế của(1.34), ta được

N++ N− = Ind D = χ. (1.35)Chỉ số χ của hệ số D(x) sẽ được gọi là chỉ số của bài toán Riemann

• Trường hợp χ = 0 Trong trường hợp này ta có

X±(z) = eΓ±(z), (1.36)trong đó

Γ±(z) = ±1

√ 2π

Ở đây đối với ln D(x) chọn nhánh thỏa mãn điều kiện ln D(∞) = 0.

Định nghĩa 1.8 Ta gọi nghiệm X(z) của bài toán thuần nhất (1.34) khi

IndD(x) = 0 là các hàm chính tắc

Trong trường hợp này ta có công thức

• Trường hợp χ < 0. Do các hàm giải tích F±(z) không thể có cực điểm, nên từ

hệ thức (1.35) ta thấy trong trường hợp này bài toán không có nghiệm

• Trường hợp χ > 0. Trong trường hợp này các hàm chính tắc được xác địnhtheo công thức

F±(z) = X±(z)Pχ−1(z)

(z + i)χ, (1.44)trong đó P χ−1 (z) là đa thức tùy ý bậc χ − 1.

1.5.5 Bài toán không thuần nhất

Trong phương trình (1.31) biểu diến D(x) ở dạng (1.39) và chia hai vế cho

1.4.3 Giá trị tích phân Cauchy

• Tích phân sau gọi tích phân Cauchy

Z b a...

dt

t − x.

Tích phân vế phải tồn tại, cho dù tích phân suy rộng, tích phânthứ hai vế phải tồn theo nghĩa giá trị Cauchy Do đó, theo cơngthức... 23

• Xét mối quan hệ tích phân dạng Cauchy tích phân Fourier Giả sử

f (t) ∈ {0} F (x) = F [f ](x).