Một số công thức giải nhanh phần thể tích khối chóp

Nối tâm của các mặt bên ta được khối lập phương có thể tích bằng V. Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD.[r]

MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH PHẦN THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

CT 1 Cho hình chóp SABC với

các mặt phẳng SAB, SBC

SAC vuông góc với nhau từng

đôi một, diện tích các tam giác

, ,

SAB SBC SAC lần lượt là

1,S ,S2 3

1 2 3

2 S S 3

S ABC

S

CT 2 Cho hình chóp S.ABC có

SA vuông góc với ABC, hai

mặt phẳng SAB và SBC

vuông góc với nhau, BSC,



ASB 

3

.sin 2 tan 12

S ABC

SB

CT 3 Cho hình chóp đều

S.ABC có đáy ABC là tam giác

đều cạnh bằng a, cạnh bên

bằng b

.

3 12

S ABC

Khi a b được tứ diện đều

3

2 12

S ABC

a

CT 4 Cho hình chóp tam giác

đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và

mặt bên tạo với mặt phẳng đáy

góc 

3

tan 24

S ABC

a

CT 5 Cho hình chóp tam giác

đều S.ABC có các cạnh bên bằng

b và cạnh bên tạo với mặt phẳng

đáy góc 

.

3 sin cos 4

S ABC

b



CT 6 Cho hình chóp tam giác

đều S.ABC có các cạnh đáy bằng

a, cạnh bên tạo với mặt phẳng

đáy góc 

3

.tan 12

S ABC

a

C S

A

B

B

C A

S

B

S

M G

CT 7 Cho hình chóp tứ giác

đều S.ABCD có đáy ABCD là

hình vuông cạnh bằng a, và

SA SB SC SD b   

.

4 2 6

S ABC

a b a

 Khi chóp tứ giác có tất cả

các cạnh bằng a thì

3

2 6

S ABC

a

CT 8 Cho hình chóp tứ giác

đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a,

góc tạo bởi mặt bên và mặt

6

S ABCD

a

CT 9 Cho hình chóp tứ giác đều

S.ABCD có cạnh đáy bằng a,

SAB, với ;

4 2

 

  

6

S ABCD

a



CT 10 Cho hình chóp tứ giác

đều S.ABCD có các cạnh bên

bằng a, góc tạo bởi mặt bên và

mặt đáy là  với    

 

3

2

4 tan

3 2 tan

S ABCD

a







CT 11 Cho hình chóp tam giác

đều S.ABC có cạnh đáy bằng a

Gọi  P là mặt phẳng đi qua A

song song với BC và vuông góc

với SBC , góc giữa   P với mặt

phẳng đáy là 

3

cot 24

S ABCD

a

O B

D A

S

C M

x

N

C A

S

B

F

M G E

CT 12 Khối tám mặt đều có

đỉnh là tâm các mặt của hình lập

6

a

V 

CT 13 Cho khối tám mặt

đều cạnh a Nối tâm của các mặt

bên ta được khối lập

phương

3 3

  

 

LỜI GIẢI CHI TIẾT

CT 1 Cho hình chóp SABC với các mặt phẳng SAB , SBC , SACvuông góc với

nhau từng đôi một, diện tích các tam giác SAB SBC SAC lần lượt là , , S1,S ,S2 3 Thể tích khối chóp SABC

là: . 2 S S1 2 3

3

S ABC

S

Lời giải



V SABC  S SBC SA SA SB SC

6 SA SB SC 6 SA SB SB SC SA SC

1 2 3

1 2 3

2 1

2 2 2

S S S

Áp dụng: Cho hình chóp SABC với các mặt phẳng SAB , SBC , SACvuông góc với

nhau từng đôi một, diện tích các tam giác SAB SBC SAC lần lượt là , , 15cm2,20cm2,18cm Thể tích khối 2

chóp SABC là

A a3 20 B

3 20 3

a

C

3 20 2

a

D

3 20 6

a

1 2 3 3

2

20 3

ABCD

S S S

V  a Chọn đáp án A

O1

O3

O

O'

C D

B'

C' D'

A'

B

D A

S

C

S'

N G2

M G1

C S

A

B

CT 2 Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC, hai mặt phẳng

SABvà SBCvuông góc với nhau, BSC ,ASB Thể tích khối chóp SABC là

3

.

.sin 2 tan

12

S ABC

SB

Lời giải

+SAB vuông tại A có : AB SB sin, SA SB cos

+SBC vuông tại B có :

.tan



.sin tan



2

.sin tan cos

S ABC ABC

V  S SA SB  SB 

3.sin 2 tan

12



Áp dụng: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC, hai mặt phẳng SABvà

SBCvuông góc với nhau, SB a 3, 45o

ASB Thể tích khối chóp SABC là

A

3

3

8

a

B

3 6 8

a

C

3 2 2

a

D

3 3 6

a

.

.sin 2 tan 3

S ABC

Chọn đáp án A

CT 3 Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên

bằng b Thể tích khối chóp S.ABC là

3 12

a b a

Lời giải

Gọi G là trọng tâm ABC SGABC

ABC

2

a AM

3

a AG

SGA

 vuông tại G có:

Vậy

SABC ABC

Khi a b 3 2

12

SABC

a V

B

C A

S

C A

S

B

M G

Áp dụng: Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên

bằng a Thể tích khối chóp S.ABC là

A

3 3

24

a

B

3 2 12

a

C

3 2 24

a

D

3 3 12

a

 Chọn đáp án B

CT 4 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với

mặt phẳng đáy góc  Thể tích khối chóp S.ABC là

3 tan 24

a 

A

3

3 48

a

B

3 24

a

C

3 3 24

a

D

3 12

a

Lời giải

+ ABC đều SABC  a2 3

4

+ Gọi G là trọng tâm ABC SGABC

   

 SBC , ABC  SMG 

Xét SGM vuông tại G có :

.tan tan

a

Vậy

SABC ABC



Áp dụng: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với

mặt phẳng đáy góc 600 Thể tích khối chóp S.ABC là

A

3 3

48

a

B

3 24

a

C

3 3 24

a

D

3 12

a

24 24

SABC

 Chọn đáp án C

CT 5 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh bên bằng b và tạo với mặt phẳng

đáy góc  Thể tích khối chóp S.ABC là

3 sin cos 4

C A

S

B

M G

Lời giải

+ Gọi G là trọng tâm ABC SGABC

Xét SGA vuông tại G có:

.sin sin

SG SA  b 

.cos

b

+ ABC đều 3

2

AM AB

2

3 cos 3

2 3 2 3 3 3 cos2 2

3 cos

ABC



Vậy

1 3 sin cos

SABC ABC

b



CT 6 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với

mặt phẳng đáy góc  Thể tích khối chóp S.ABC là

3 tan 12

Lời giải

+ Gọi G là trọng tâm ABC SGABC

Xét SGA vuông tại G có :

2 tan tan

3

+ ABC đều 3

2

AM AB

.tan

a

Vậy

SABC ABC



Áp dụng: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với

mặt phẳng đáy góc 30 Thể tích khối chóp S.ABC là 0

A

3

48

a

3 24

a

C

3 3 24

a

D

3 3 36

a

3tan 3 3

12 36

SABC

   Chọn đáp án D

B

S

M G

B

S

M G

CT 7 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a,

và SA SB SC SD b    Thể tích khối chóp S.ABCD là

4 2 6

a b  a

Lời giải

ACBD O SO ABCD

Gọi M là trung điểm AB

2

4

a

SM SA AM b

SOM

 vuông tại O có:

Vậy

SABCD ABCD

a b a

Khi SA SB SC SD a    3 2

6

SABCD

a V

Áp dụng: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a,

và SA SB SC SD a    Thể tích khối chóp S.ABCD là

A

3

6 6

a

B

3 2 2

a

C

3 2 6

a

D

3 3 3

a

 Chọn đáp án C

CT 8 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi mặt

bên và mặt phẳng đáy là  Thể tích khối chóp S.ABCD là

3.tan

6

Lời giải

ACBD O SO ABCD

Gọi M là trung điểm CD

   

 SCD ABCD  SMO 

+ Tam giác SOM vuông tại O có:

a

SO OM tanSMO tan

2

SABCD ABCD

V  S SO a   3 

2

.tan

Áp dụng: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt phẳng

đáy là 45 Thể tích khối chóp S.ABCD là 0

O

B

S

C

M

O

C

S

B

M

A

3

12

a

B

3 3 6

a

C

3 6 2

a

D

3 6

a

3tan 3

SABCD

   Chọn đáp án D

CT 9 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, SAB, với

;

4 2

 

  

  Thể tích khối chóp S.ABCD là

tan 1

6

a 

Lời giải

ACBD O SO ABCD

Gọi M là trung điểm AB

SMA

 vuông tại M có:

.tan tan

2

a

SOM

 vuông tại O có:

SO SM OM     

2

2

tan 1

SABCD ABCD

Áp dụng: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, SAB600 Thể tích khối chóp

S.ABCD là

A

3

2 12

a

B

3 2 6

a

C

3 6 2

a

D

3 6

a

SABCD

   Chọn đáp án B

O C

A D

S

B M

CT 10 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên bằng a, góc tạo bởi mặt

bên và mặt đáy là  với   

 

0;2 Thể tích khối chóp S.ABCD là  

3

3 2

4 tan

3 2 tan





Lời giải

ACBD O SO ABCD

Gọi M là trung điểm CD

   

 SCD ABCD  SMO

Gọi độ dài một cạnh hình vuông là x

+ Tam giác SMC vuông tại M có:

x

SM SC2CM2  a2 2

4

+ Tam giác SOM vuông tại O có:

x

OM SM SMO 1 a2 2

a







2

2

2

1

4

1

1

1 tan

a x



 

 2

2

2 tan ABCD

a S





2 2

4

2 tan

Ta có: SO OM SMO x  a 



 2

.tan tan tan

SABCD ABCD

2

3 2 tan

CT 11 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a Gọi  P là mặt phẳng đi qua A song

song với BC và vuông góc với SBC , góc giữa   P với mặt phẳng đáy là  Thể tích khối chóp S.ABC

là

3

cot

24

a 

O

C

S

B

M

Lời giải

+ ABC đều SABC  a2 3

4

+ Gọi G là trọng tâm ABC SGABC

+ Gọi   P  SBCEFEF/ /BC

   vớiAx/ /EF/ /BC

+ Gọi M là trung điểm của BC, SMEFN

Ta có: AMBC SG, BC

Mà AMBC BC, / /AxAMAx

   

 P ABC  NAM 

Ta có: GSM NAM  (cùng phụ với SMA )

Xét SGM vuông tại G có :

SG GM cotGSM1.AMcot

3

  1 3.cot  3.cot

Vậy V SABC S ABC SG a a  a 



 1  1 2 3 3.cot  3cot

Áp dụng: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a Gọi  P là mặt phẳng đi qua A song song với BC và vuông góc với SBC , góc giữa   P với mặt phẳng đáy là 30 Thể tích khối chóp 0

S.ABC là:

A a

3 3

a3 3

a3 8

D a

3 3

8

Áp dụng bài này: V SABC a3cot 300 a3 3

24 24  Chọn đáp án A

x

N

C A

S

B

F

M G

E

CT 12 Khối tám mặt đều có đỉnh là tâm các mặt của hình lập phương cạnh a có thể

tích là

A

3

12

a

B

3 3 4

a

C

3 6

a

D

3 3 2

a

Lời giải

BD a

O O   1 2 3 4   2

2

2 3

2

O O O O

a

Chiều cao khối chóp O O O O1 2 3 4 là '

2 2

OO a

h 

1 2 3 4 1 2 3 4

'

1

3 2 2 12

OO O O O O OO O O O

a a a

 

 Chọn đáp án C.

CT 13 Cho khối tám mặt đều cạnh a Nối tâm của các mặt bên ta được khối lập phương có thể tích bằng V Tỷ số

3

a

V gần nhất giá trị nào trong các giá trị sau?

A 9,5 B 7,8 C 15,6 D 22,6.

Lời giải

+ 1 2 2 1 2

a

G G  MN BD

+

3 3

  

 

3

27 2

9, 5 4

a

V

    Chọn đáp án A

MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH PHẦN TỈ LỆ THỂ TÍCH

Câu 1 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCDcó đáy là hình vuông ABCD cạnh a, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy là  Mặt phẳng  P qua AC và vuông góc với mặt phẳng SADchia khối chóp

S ABCD thành hai khối đa diện Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện là 1 2

2 cos



V

O1

O3

O

O'

C D

B'

C' D'

A'

B

D A

S

C

S'

N G2

M G1

Lời giải:

Ta có:

2

1 cos

SNO

2 2

1

2 cos 2.cos





2 2

1

1 cos cos 1

2.cos





a

a

CM

a SD









2

.cos

1 cos 1 cos

2 2

2 2

.cos

1 cos 2.cos

MACD MACD

SABCD SACD

a

a



















1

V

O B

D A

S

C N M