Một phân loại và xây dựng bất đẳng thức trong tam giác

Một phân loại và xây dựng bất đẳng thức trong tam giác Một phân loại và xây dựng bất đẳng thức trong tam giác Một phân loại và xây dựng bất đẳng thức trong tam giác luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TS NGUYỄN MINH TUẤN

Hà Nội - 2013

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâusắc tới PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn, người đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoànthành luận văn này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô của trườngĐại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã chỉ bảo em và các học viênkhác trong suốt quá trình học tập nghiên cứu tại trường; các cán bộ công nhân viên

đã tạo điều kiện cho chúng em có môi trường học tập tốt nhất

Nhân dịp này em xin được gửi lời tri ân tới gia đình, bạn bè đã luôn bên cạnh,

cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốtnghiệp

Hà Nội, ngày 18 tháng 11 năm 2013

Học viên

Nguyễn Thị Thoan

Mục lục

Chương 1 Áp dụng tính chất của tam thức bậc hai chứng minh và xây dựng

một số bất đẳng thức trong tam giác 6

1.1.Một số kiến thức cơ bản 6

1.1.1 Định lý về dấu của tam thức bậc hai 6

1.1.2 Một số công thức lượng giác và các cung liên quan đặc biệt 7

1.2.Áp dụng tính chất của tam thức bâc hai chứng minh một số bất đẳng thức trong tam giác 9

1.3.Áp dụng tính chất của tam thức bậc hai xây dựng một số bất đẳng thức trong tam giác 20

Chương 2 Áp dụng tính lồi lõm của hàm số chứng minh và xây dựng một số bất đẳng thức trong tam giác 29

2.1.Một số kiến thức cơ bản về hàm số lồi, lõm 29

2.2.Phương pháp áp dụng Định lý biểu diễn hàm lồi, lõm 34

2.2.1 Áp dụng Định lý biểu diễn hàm lồi, lõm chứng minh một số bất đẳng thức trong tam giác 34

2.2.2 Áp dụng Định lý biểu diễn hàm lồi, lõm xây dựng một số bất đẳng thức trong tam giác 37

2.3.Phương pháp áp dụng bất đẳng thức Karamata 40

2.3.1 Áp dụng bất đẳng thức Karamata chứng minh một số bất đẳng thức trong tam giác 40

2.3.2 Áp dụng bất đẳng thức Karamata xây dựng một số bất đẳng thức trong tam giác 43

2.4.Phương pháp áp dụng bất đẳng thức Jensen 45

2.4.1 Áp dụng bất đẳng thức Jensen chứng minh một số bất đẳng thức trong tamgiác 452.4.2 Áp dụng bất đẳng thức Jensen xây dựng một số bất đẳng thức trong tam giác49

Chương 3 Áp dụng các bất đẳng thức đại số cổ điển chứng minh và xây dựng

một số bất đẳng thức trong tam giác 533.1.Phương pháp áp dụng bất đẳng thức Cauchy 53

3.1.1 Bất đẳng thức Cauchy 533.1.2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy chứng minh một số bất đẳng thức trong tamgiác 543.1.3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy xây dựng một số bất đẳng thức trong tam giác66

3.2.Phương pháp áp dụng bất đẳng thức

Bunhiacopxki 74

3.2.1 Bất đẳng thức Bunhiacopxki 743.2.2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki chứng minh một số bất đẳng thức trongtam giác 753.2.3 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki xây dựng các bất đẳng thức trong tamgiác 78

MỞ ĐẦU

Bất đẳng thức là một đề tài rất trừu tượng đối với học sinh, đặc biệt là các bấtđẳng thức trong tam giác Chưa kể đến việc sáng tạo các bất đẳng thức mới, chỉ nóiđến việc chứng minh các bất đẳng thức cơ bản thôi cũng đã là quá phức tạp rồi Mặc

dù mấy năm trở lại đây, bất đẳng thức trong tam giác không được đề cập nhiều trongchương trình toán phổ thông nhưng nó luôn là vấn đề thu hút với những ai ham mêToán học, đặc biệt là những học sinh chuyên toán Bởi vì, bất đẳng thức trong tamgiác là sự kết hợp của các yếu tố: Đại số, Giải tích và Hình học nên nó mang vẻ đẹpriêng Đối với bất đẳng thức nói chung và bất đẳng thức trong tam giác nói riêng,học sinh luôn băn khoăn: làm thế nào để phân loại và nhận diện đúng các dạng bàitoán Đồng thời, tương ứng với từng dạng cụ thể thì việc áp dụng phương pháp chứngminh nào là hiệu quả nhất Mặt khác, như chúng ta đã biết, một người học sinh đượcđánh giá là giỏi toán thì không những phải biết nắm vững các phương pháp hay, giảiquyết được nhiều bài toán khó mà còn phải biết tự mình tìm tòi và sáng tạo ra cácbài toán mới Do đó, song song với nguyện vọng giúp học sinh phân loại các bất đẳngthức trong tam giác, tác giả còn muốn kích thích sự sáng tạo của các em bằng những ýtưởng xây dựng các bất đẳng thức nằm ngoài những tài liệu sẵn có Việc chứng minh

và xây dựng các bất đẳng thức là hai quá trình bổ trợ đắc lực cho nhau Bởi vì khi đãnắm vững được phương pháp chứng minh, học sinh có thể tự sáng tạo bất đẳng thứcmới Cùng với đó, việc sáng tạo bất đẳng thức mới cũng giúp học sinh củng cố đượcphương pháp chứng minh Các em sẽ chủ động tiếp thu kiến thức chứ không thụ độnggiải quyết các bài toán có trong sách vở Tất cả những điều đó đã thôi thúc tác giảtìm hiểu, nghiên cứu đề tài Một phân loại và xây dựng bất đẳng thức trong tam giác

Do khuôn khổ hạn chế của luận văn nên tác giả chỉ tập trung khai thác các bất đẳngthức có liên quan đến các đại lượng góc trong tam giác Ngoài ra các dạng bất đẳngthức khác, tác giả xin dành cho những chuyên đề sau

Luận văn bao gồm ba chương:

• Chương 1 Áp dụng tính chất của tam thức bậc hai chứng minh và xây dựng một

số bất đẳng thức trong tam giác

Tác giả trình bày Định lý về dấu của tam thức bậc hai và một số biến đổi lượnggiác cơ bản Từ đó nêu các phương pháp chứng minh và xây dựng các bất đẳngthức trong tam giác Nội dung của phương pháp này là biến đổi biểu thức cầnchứng minh về dạng tam thức bậc hai theo một biến nào đó Sau đó, áp dụngđịnh lý về dấu của tam thức bậc hai để suy ra điều phải chứng minh.

• Chương 2 Áp dụng tính lồi, lõm của hàm số để chứng minh và xây dựng các bấtđẳng thức trong tam giác

Thông qua việc xét tính lồi, lõm của các hàm số lượng giác, sử dụng một sốđịnh lý cơ bản trong Giải tích lồi: Định lý biểu diễn hàm lồi, lõm; Bất đẳng thứcKaramata; Định lý Jensen để chứng minh và xây dựng các bất đẳng thức tươngđối phức tạp

• Chương 3 Áp dụng các bất đẳng thức đại số cổ điển để chứng minh và xây dựngmột số bất đẳng thức trong tam giác

Trong toàn bộ chương này, tác giả trình bày phương pháp áp dụng bất đẳng thứcCauchy và bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh một lớp các bất đẳng thứctrong tam giác; đồng thời nêu ý tưởng kết hợp giữa các bất đẳng thức đại số cổđiển với các bất đẳng thức cơ bản để xây dựng các bất đẳng thức mới trong tamgiác

Mặc dù bất đẳng thức trong tam giác là một nội dung tương đối rộng, có nhiềucách phân loại cũng như có nhiều phương pháp chứng minh Tuy nhiên tác giả chỉ xintrình bày ba nội dung phân loại này bởi phạm vi của bài luận văn khá hạn hẹp Cácphương pháp chứng minh có thể chưa bao quát hết toàn bộ các bất đẳng thức trongtam giác nhưng cũng phần nào giải quyết được một lớp khá lớn những bất đẳng thứctương đối phức tạp Chắc chắn rằng bên cạnh những thành công vẫn còn khá nhiềuthiếu sót nên tác giải rất mong nhận được sự quan tâm góp ý của các thầy cô và cácanh chị đồng nghiệp để nội dung của bài luận văn được hoàn thiện hơn

Hà Nội, ngày 18 tháng 11 năm 2013

Học viênNguyễn Thị Thoan

1.1.1 Định lý về dấu của tam thức bậc hai

Định lý 1.1.1 Cho tam thức bậc hai f (x) = ax2+ bx + c, (a 6= 0)

Đặt ∆ = b2− 4ac

- Nếu ∆ < 0 thì f (x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ R

- Nếu ∆ = 0 thì f (x) cùng dấu với hệ số a với mọi x 6= − b

2a.

- Nếu ∆ > 0 thì f (x) có hai nghiệm phân biệt x1, x2, giả sử x1 < x2 Khi đó f (x)cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ (−∞, x1) ∪ (x2, +∞) và trái dấu với hệ số avới mọi x ∈ (x1, x2)

Cách giải của phương trình bậc hai

Cho phương trình bậc hai có dạng

ax2+ bx + c = 0, (a 6= 0)

Đặt ∆ = b2− 4ac

- Nếu ∆ < 0 thì phương trình trên vô nghiệm

- Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép là x1 = x2 = − b

1 Công thức lượng giác cơ bản

2 Công thức giữa các góc liên quan đặc biệt

∗ Hai góc đối nhau: (x và −x)

• cos (x + y) = cos x cos y − sin x sin y

• cos (x − y) = cos x cos y + sin x sin y

• sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y

• sin (x − y) = sin x cos y − cos x sin y

• tan (x + y) = tan x + tan y

1 − tan x tan y.

• tan (x − y) = tan x − tan y

1 + tan x tan y.

4 Công thức nhân đôi

• sin 2x = 2 sin x cos x

• cos 2x = cos2x − sin2x = 2cos2x − 1 = 1 − sin2x

2[sin (x − y) + sin (x + y)].

minh một số bất đẳng thức trong tam giác

Đối với một số dạng bất đẳng thức trong tam giác, việc áp dụng tính chất của tamthức bậc hai để chứng minh thực sự là vô cùng hiệu quả, đem lại cho chúng ta cáchgiải ngắn gọn và chặt chẽ hơn so với các phương pháp thông thường

Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức trong tam giác ABC có dạng sau.

Sau đây, tác giả sẽ minh họa các phương pháp này bằng những ví dụ cụ thể

Ví dụ 1.2.1 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có

Phân tích Bất đẳng thức trên có dạng đối xứng thành phần cos2B và cos2C Ápdụng biến đổi lượng giác cơ bản ta có

cos2B + cos2C = 1 + cos 2B

1 + cos 2C2

= cos (B + C) cos (B − C) + 1 = − cos A cos (B − C) + 1

hay tam giác ABC cân tại A và A = π

4.

Ví dụ 1.2.2 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có

√2

Lời giải Đặt P =

√2

Ví dụ 1.2.3 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có

sin A + sin B −√

3 cos C ≤ 7

√3

Đây là tam thức bậc hai theo biến số cosC

2.Lời giải Đặt P = sin A + sin B −√

Để phương trình (1.2.3) có nghiệm thì điều kiện cần là

∆0 ≥ 0 ⇔ cos2A − B

√3P ≥ 0

Từ cos2A − B

√3

hay tam giác ABC cân tại C và cosC

1

2√

3.

Ví dụ 1.2.4 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có

sin A sin B cos C ≥ −1

8.Lời giải Đặt P = sin A sin B cos C Khi đó ta có

sin A sin B cos C − P = 0

Đây là phương trình bậc hai theo biến cos C Ta có

Lời giải Đặt P = cosA



A − B2

sinC

A − B2

Ví dụ 1.2.6 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có

cos (A − B) + cos 2B − cos C ≤ 3

2.Phân tích Bất đẳng thức trên có dạng không đối xứng Trong đó

cos (A − B) + cos 2B = 2 cosA + B

Đây là tam thức bậc hai theo biến sinC

2.Lời giải Đặt P = cos (A − B) + cos 2B − cos C Khi đó ta có

cos (A − B) + cos 2B − cos C − P = 0

Ví dụ 1.2.7 (Lượng giác - cực trị và các bài toán trong tam giác).

Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có

sin2A + sin2B + sin2C ≤ 2 + cos

2(A − B) + cos2(B − C) + cos2(C − A)

Lời giải Đặt P = sin2A + sin2B + sin2C Khi đó ta có

sin2A + sin2B + sin2C − P = 0

⇔ sin2A + 1 − cos (B + C) cos (B − C) − P = 0

⇔ −cos2A + cos A cos (B − C) + 2 − P = 0

Xét phương trình

Đây là phương trình bậc hai theo cos A Ta có

sin2A + sin2B + sin2C − P = 0

⇔ sin2B + 1 − cos (A + C) cos (A − C) − P = 0

⇔ −cos2B + cos B cos (A − C) + 2 − P = 0

Xét phương trình bậc hai theo cos B

hay tam giác ABC là tam giác đều.

Ví dụ 1.2.8 (Chuyên đề chọn lọc lượng giác và áp dụng)

ta đều có

x2+ y2+ z2 ≥ 2(−1)n+1(yz cos nA + xz cos nB + xy cos nC)

Phân tích Bất đẳng thức trên nói chung là không đối xứng Bởi vậy, việc áp dụngcác biến đổi lượng giác để làm xuất hiện tam thức bậc hai theo một biến là đại lượnggóc bất kì sẽ vô cùng khó khăn Tuy nhiên, ta có thể liên tưởng đến một tam thức bậchai theo biến x hoặc y hoăc z.

Lời giải Bất đẳng thức trên tương đương với

x2+ y2+ z2+ 2(−1)n(yz cos nA + xz cos nB + xy cos nC) ≥ 0

⇔ x2+ 2x(−1)n(z cos nB + y cos nC) + y2+ z2+ 2(−1)nyz cos nA ≥ 0 (1.2.9)Đây là bất phương trình bậc hai theo ẩn x Việc chứng minh bất đẳng thức trên cũngtương đương với việc chứng minh bất phương trình (1.2.9) nghiệm đúng với mọi x.Điều này có nghĩa là

∆0 = (z cos nB + y cos nC)2− y2− z2− 2(−1)nyz cos nA ≤ 0

⇔ y2+ z2+ 2(−1)nyz cos nA − z2cos2nB − y2cos2nC − 2yz cos nB cos nC ≥ 0

⇔ y2sin2nC + z2sin2nB + 2yz [(−1)ncos nA − cos nB cos nC] ≥ 0 (∗)

cos nA = cos (nB + nC) = cos nB cos nC − sin nB sin nC

Khi đó bất đẳng thức (∗) trở thành

y2sin2nC + z2sin2nB − 2yz sin nB sin nC ≥ 0

zsin nC.

• Nếu n = 2k + 1 với k ∈ N thì nA + nB + nC = (2k + 1) π Vì vậy

cos nA = − cos (nB + nC) = − cos nB cos nC + sin nB sin nC

Khi đó bất đẳng thức (∗) trở thành

y2sin2nC + z2sin2nB − 2yz sin nB sin nC ≥ 0

zsin nC.

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

xsin nA =

y

zsin nC.

Nhận xét 1.2.1 Bất đẳng thức trên có dạng tổng quát Ta có thể chứng minh một

số bất đẳng thức tương đương như sau:

• (−1)n+1(yz cos nA + xz cos nB + xy cos nC) ≤ x



• (−1)n+1(X cos nA + Y cos nB + Z cos nC) ≤ 1



Trên đây, tác giả đã trình bày một số ví dụ rất điển hình, minh họa cho việc áp dụngtính chất của tam thức bâc hai để chứng minh các bất đẳng thức trong tam giác Các

ví dụ được sắp xếp từ đơn giản đến phức tạp nên rất dễ cho việc theo dõi và tiếp thucủa học sinh Các bất đẳng thức tương đối phong phú và đa dạng song lại được giảitheo một phương pháp chung nhất là áp dụng tính chất của tam thức bậc hai Cáchgiải này có thể được đánh giá là một trong những phương pháp rất hay, ngắn gọn vàchặt chẽ

dựng một số bất đẳng thức trong tam giác

Không chỉ dừng lại ở việc chứng minh các bất đẳng thức trong tam giác, tác giảcòn muốn trình bày một số phương pháp xây dựng các bất đẳng thức mới Phươngpháp này dựa trên ý tưởng thiết lập các tam thức bậc hai theo một biến là đại lượnggóc trong tam giác Cụ thể như sau

cos 2nA + cos 2nB = 2 cos (nA + nB) cos (nA − nB) = 2 cos (nπ − nC) cos (nA − nB)

Trường hợp 1 Với n = 2k + 1, k ∈ N ta có

2 cos (nπ − nC) cos (nA − nB) = −2 cos nC cos (nA − nB)

Khi đó

cos 2nA + cos 2nB = −2 cos nC cos (nA − nB)

Ta bổ sung thêm đại lượng m cos 2nC với m 6= 0 để biểu thức trên trở thành tam thứcbậc hai theo biến cos nC

Biểu thức mới có dạng

Suy ra

Đây là phương trình bậc hai theo ẩn cos nC Ta có







−1 < 12m < 0

0 < 12m < 1

2 cos (nπ − nC) cos (nA − nB) = 2 cos nC cos (nA − nB)

Suy ra

cos 2nA + cos 2nB = 2 cos nC cos (nA − nB)

Ta bổ sung đại lượng m cos 2nC với m 6= 0 để biểu thức trên trở thành tam thức bậchai theo biến cos nC Khi đó biểu thức mới có dạng

Suy ra

Đây là phương trình bậc hai theo ẩn cos nC Ta có







−1 < 12m < 0

0 < 12m < 1

Từ kết quả trên, ta xây dựng được các bất đẳng thức mới sau đây

Bài toán 1.3.1 Chứng minh rằng trong tam giác ABC, với mọi n ∈ N∗, ta luôn có

1

2.

Bài toán 1.3.2 Chứng minh rằng trong tam giác ABC, với mọi n ∈ N∗, ta luôn có

1

2.

Nhận xét 1.3.1 Bằng các phép biến đổi lượng giác ta có:

Như vậy, ta thu được các bất đẳng thức mới sau đây

Bài toán 1.3.3 Chứng minh rằng trong tam giác ABC, với mọi n ∈ N∗, ta luôn có

cos2nA + cos2nB + mcos2nC ≥ 4m − 1

1

2.

Bài toán 1.3.4 Chứng minh rằng trong tam giác ABC, với mọi n ∈ N∗, ta luôn có

cos2nA + cos2nB + mcos2nC ≤ 4m − 1

1

2.

Bài toán 1.3.5 Chứng minh rằng trong tam giác ABC, với mọi n ∈ N∗, ta luôn có

sin2nA + sin2nB + msin2nC ≤ (2m + 1)

2

1

2.

Bài toán 1.3.6 Chứng minh rằng trong tam giác ABC, với mọi n ∈ N∗, ta luôn có

sin2nA + sin2nB + msin2nC ≥ (2m + 1)

• cos2A + cos2B + cos2C ≥ 3

4,

• sin2A + sin2B + sin2C ≤ 9

4.Kết quả 1.3.2 Trong mọi tam giác ABC, với n ∈ N ta có

cos (2n + 1) A + cos (2n + 1) B

= 2 cos (2n + 1)A + B

A − B2

= 2 cos

(2n + 1)π

2 − (2n + 1) C

2

cos (2n + 1)A − B

P = cos (2n + 1) A + cos (2n + 1) B + m cos (2n + 1) C

Điều kiện đủ để phương trình (1.3.3) có nghiệm là







−1 < 12m < 0

0 < 12m < 1

P = cos (2n + 1) A + cos (2n + 1) B + m cos (2n + 1) C

Để phương trình (1.3.4) có nghiệm, điều kiện cần là

Điều kiện đủ để phương trình (1.3.4) có nghiệm là







−1 < 12m < 0

0 < 12m < 1

Bài toán 1.3.7 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luôn có

cos (2n + 1) A + cos (2n + 1) B + m cos (2n + 1) C ≤ −2m2 − 1

1

2.Bài toán 1.3.8 Chứng minh rằng trong tam giác ABC, với mọi n ∈ N ta luôn có

cos (2n + 1) A + cos (2n + 1) B + m cos (2n + 1) C ≥ −2m2 − 1

1

2.Nhận xét 1.3.2 Bằng phương pháp như trên, ta có thể xây dựng được hàng loạt cácbất đẳng thức trong tam giác có dạng đối xứng, đối xứng thành phần Ngoài ra, tacũng có thể sáng tạo các bất đẳng thức dạng không đối xứng Sau đây là một minhhọa

Kết quả 1.3.3 Trong tam giác ABC, với mọi n ∈ N ta luôn có

Ta sẽ bổ sung thêm các đại lượng có chứa cos2C

thức bậc hai theo biến cosC

2.Nếu bổ sung đại lượng m cos C với m 6= 0 thì biểu thức mới có dạng

P = sin (A − nB) + sin (n + 1) B + m cos C

Điều kiện đủ để phương trình (1.3.5) có nghiệm là

Ta xây dựng được các bất đẳng thức lượng giác mới có dạng như sau:

Bài toán 1.3.9 Chứng minh rằng trong tam giác ABC, với mọi n ∈ N ta luôn có

1

2.

Trên đây, tác giả đã trình bày một số ý tưởng về việc xây dựng các bất đẳng thứctrong tam giác bằng việc áp dụng tính chất của tam thức bậc hai Các kết quả mà tácgiả trình bày là những bất đẳng thức dạng tổng quát Từ đây, ta có thể suy ra vô sốcác bất đẳng thức khác bằng việc thay tham số m, n bằng những số hạng bất kì.

Chương 2

Áp dụng tính lồi lõm của hàm số

chứng minh và xây dựng một số bất đẳng thức trong tam giác

Như chúng ta đã biết, tính lồi lõm của hàm số là một nội dung quan trọng trongGiải tích và nó có rất nhiều ứng dụng trong Toán học Lý do tác giả nghiên cứu chươngnày là bởi vì muốn trình bày một trong những ứng dụng của Lý thuyết hàm lồi Cóthể nói, phương pháp áp dụng tính lồi, lõm của hàm số để chứng minh các bất đẳngthức là một trong những ứng dụng vô cùng thú vị, thể hiện mối quan hệ sâu sắc giữaGiải tích và Đại số

Trong chương này, ta kí hiệu I (a, b) ⊂ R để ngầm định một trong bốn tập sau đây:(a, b) ; [a, b) ; (a, b] ; [a, b] với a < b Trước tiên, ta sẽ nhắc lại một số định nghĩa và định

lý về hàm lồi, lõm

Định nghĩa 2.1.1 (Định nghĩa hàm số lồi, lõm)

Cho hàm số f (x) xác định trên tập I (a, b)

- Hàm f (x) được gọi là hàm lồi trên tập I (a, b) nếu với mọi x1, x2 ∈ I (a, b) và vớimọi cặp số dương α, β có tổng α + β = 1, ta luôn có

f (αx1+ βx2) ≤ αf (x1) + βf (x2).

Nếu dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 thì ta nói hàm số f (x) lồi thực

sự (lồi chặt) trên I (a, b)

- Hàm f (x) được gọi là hàm lõm trên tập I (a, b) nếu với mọi x1, x2 ∈ I (a, b) vàvới mọi cặp số dương α, β có tổng α + β = 1, ta luôn có

f (αx1+ βx2) ≥ αf (x1) + βf (x2)

Nếu dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 thì ta nói hàm số f (x) lõm thực

sự (lõm chặt) trên I (a, b)

Định lý 2.1.1 (Dấu hiệu nhận biết hàm lồi, lõm)

Giả sử hàm số f (x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng I (a, b) Khi đó

(i) Hàm số f (x) lồi (lồi thực sự) trên khoảng I (a, b) khi và chỉ khi f00(x) ≥ 0(f00(x) > 0) với mọi x ∈ I (a, b)

(ii) Hàm số f (x) lõm (lõm thực sự) trên khoảng I (a, b) khi và chỉ khi f00(x) ≤ 0(f00(x) < 0) với mọi x ∈ I (a, b)

Định lý 2.1.2 (Biểu diễn hàm số lồi, lõm)

(i) Nếu hàm f (x) có đạo hàm cấp hai và lồi trên I (a, b) thì với mọi cặp x0, x ∈

I (a, b) ta luôn có

f (x) ≥ f (x0) + f0(x0) (x − x0)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = x0, do đó ta có thể viết

f (x) = min

u∈I(a,b)[f (u) + f0(u) (x − u)]

(ii) Nếu hàm f (x) có đạo hàm cấp hai và lõm trên I (a, b) thì với mọi cặp x0, x ∈

I (a, b) ta luôn có

f (x) ≤ f (x0) + f0(x0) (x − x0)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = x0, do đó ta có thể viết

x1+ x2+ + xn−1 ≥ y1+ y2+ + yn−1

x1+ x2+ + xn≥ y1+ y2+ + yn.Khi đó ta có

(i) Với mọi hàm số f (x) lồi thực sự trên I (a, b) ta đều có

f (x1) + f (x2) + + f (xn) ≥ f (y1) + f (y2) + + f (yn)

(ii) Với mọi hàm số f (x) lõm thực sự trên I (a, b) ta đều có

f (x1) + f (x2) + + f (xn) ≤ f (y1) + f (y2) + + f (yn)

Chứng minh Ta nhắc lại biến đổi Abel

Cho x1, x2, , xn và y1, y2, , yn là các số thực tùy ý Đặt ck = y1 + y2 + + yn với

k = 1, 2, , n Khi đó

x1y1+ x2y2+ + xnyn= (x1− x2) c1+ (x2− x3) c2+ + (xn−1− xn) cn−1+ xncn.(i) Sử dụng biểu diễn đối với hàm lồi ta có

Không mất tính tổng quát ta có thể giải sử bộ số u1, u2, , un ∈ I (a, b) là một bộ sốgiảm, tức là u1 ≥ u2 ≥ ≥ un

Khi đó để chứng minh bất đẳng thức trên thì ta cần phải chứng minh rằng

Vì f00(x) > 0 với mọi x ∈ I (a, b) nên f0 là hàm đồng biến Do đó ta có

f0(uk) ≥ f0(uk+1) với mọi uk ∈ I (a, b) , k = 1, 2, , n

Hơn nữa ta lại có

Sk(x) ≥ Sk(y) với k = 1,2, ,n - 1,

Sn(x) = Sn(y)

Từ đó ta suy ra được điều phải chứng minh

Dấu đẳng thức khi và chỉ khi x1 = y1, x2 = y2, , xn= yn

(ii) Tương tự như cách chứng minh trên

Định lý 2.1.4 (Bất đẳng thức Jensen)

Giả sử f (x) là hàm số xác định trên tập I (a, b)

(i) Nếu hàm số f (x) lồi trên I (a, b) thì với mọi x1, x2, , xn∈ I (a, b) vàvới mọi số dương a1, a2, , an sao cho a1+ a2+ + an = 1 ta luôn có

a1f (x1) + a2f (x2) + + anf (xn) ≥ f (a1x1 + a2x2 + + anxn).(ii) Nếu hàm f (x) lõm trên I (a, b) thì với mọi x1, x2, , xn ∈ I (a, b) và

với mọi số dương a1, a2, , an sao cho a1+ a2+ + an = 1 ta luôn có

a1f (x1) + a2f (x2) + + anf (xn) ≤ f (a1x1 + a2x2 + + anxn).

Chứng minh Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức trên bằng phương pháp quy nạp.(i) Trường hợp f (x) là hàm lồi trên khoảng I (a, b)

- Với n = 2, với mọi x1, x2 ∈ I (a, b) và mọi a1, a2 ∈ [0, 1] sao cho a1+ a2 = 1 Ta có

a1f (x1) + a2f (x2) ≥ f (a1x1+ a2x2) (điều này luôn đúng theo định nghĩa hàm lồi)

- Giả sử bất đẳng thức đúng với n, (n ≥ 2.) Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức cũngđúng với n + 1

Với mọi x1, x2, , xn, xn+ 1 ∈ I (a, b), với mọi a1, a2, , an, an+ 1 ∈ [0, 1] sao cho

≥ f (a1x1+ + anxn+ an+1xn+1)

Vậy bất đẳng thức đúng với n + 1

Bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = = xn(ii) Tương tự cách chứng minh trên

Tính lồi, lõm của một số hàm lượng giác cơ bản

Áp dụng định lý về dấu hiệu nhận biết hàm lồi, lõm, ta sẽ chứng minh tính lồi, lõmcủa một số hàm lượng giác sau đây

1) Hàm số f (x) = sin x là hàm lõm thực sự trên khoảng (0, π)

f0(x) = − sin x;

f00(x) = − cos x < 0 với ∀x ∈



0,π2



3) Hàm số f (x) = tan x lồi thực sự trên khoảng 0,π

2

.Thật vậy ta có

4) Hàm số f (x) = cot x là hàm lồi thực sự trên khoảng 0,π

2

.Thật vậy ta có

lồi, lõm

2.2.1 Áp dụng Định lý biểu diễn hàm lồi, lõm chứng minh

một số bất đẳng thức trong tam giác

Định lý biểu diễn hàm lồi, lõm là định lý rất quan trọng trong Giải tích, có vai trògiống như công cụ để chứng minh các định lý khác có liên quan Đối với học sinh phổthông, việc tìm hiểu và ứng dụng định lý này để giải các bài toán bất đẳng thức khôngphải quá khó Tuy nhiên, điều đặc biệt quan trọng chính là việc phát hiện và khảo sáttính lồi, lõm của các hàm số tương ứng, cụ thể là các hàm số lượng giác

Ví dụ 2.2.1 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC không tù ta luôn có

cos B

√32

12

√3

Nhận thấy

1 = sinπ

2;

√3

Áp dụng Định lý biểu diễn hàm lõm với mọi A ∈



0,π2

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Lời giải Theo chứng minh trên, hàm số f (x) = sin x lõm trên khoảng 0,π

Áp dụng Định lý biểu diễn hàm lõm với mọi A ∈0,π

√22

12

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

nếu bất đẳng thức có "điểm rơi” là những góc đặc biệt thì việc xác định trở nên đơngiản Từ đó việc chứng minh sẽ vô cùng đơn giản Tuy nhiên nếu "điểm rơi" là các góckhông đặc biệt thì việc xác định sẽ rất phức tạp Điều đó có nghĩa là việc chứng minh

sẽ vô cùng khó khăn

2.2.2 Áp dụng Định lý biểu diễn hàm lồi, lõm xây dựng một

số bất đẳng thức trong tam giác

Từ việc giải quyết các ví dụ trên, tác giả đã nảy sinh ý tưởng xây dựng các bấtđẳng thức trong tam giác có dạng tổng quát Tương ứng với mỗi "điểm rơi" khác nhau,

Áp dụng định lý biểu diễn hàm lõm với A, A0 ∈0,π

sin Bcos B0 +

sin Ccos C0 ≤ tan A0+ tan B0+ tan C0.Mà

tan A0+ tan B0+ tan C0 = tan A0tan B0tan C0

Suy ra

sin Acos A0 +

sin Bcos B0 +

sin Ccos C0 ≤ tan A0tan B0tan C0.Như vậy, ta xây dựng được bất đẳng thức mới như sau

Bài toán 2.2.1 Cho tam giác nhọn ABC Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọnABC ta luôn có

sin Acos A0

cos Bsin B0 +

cos Csin C0 ≤ cot A0+ cot B0 + cot C0.Bài toán 2.2.3 Cho tam giác nhọn ABC Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọnABC ta luôn có

lý đó với hai hay nhiều hàm lượng giác để hình thành một bất đẳng thức hay không?Câu trả lời sẽ ở ngay kết quả dưới đây

Kết quả 2.2.2 Hàm số f (x) = sin x và f (x) = cos x đều là hàm lõm trên khoảng