NGHIÊN CỨU TÍNH TỔNG QUÁT CỦA NGUYÊN LÝ HAMILTON

NGHIÊN CỨU TÍNH TỔNG QUÁT CỦA NGUYÊN LÝ HAMILTON

Giáo viên hướng dẫn: Sinh viên thực hiện:

Lớp: Lý – tin K31 MSSV: 1050305

CẦN THƠ, 2009

LỜI CẢM ƠN

Trước hết, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Xuân Tư, giáo viên hướng dẫn đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi thực hiện đề tài

Tôi xin cảm ơn Bộ môn Vật lý, Trung tâm học liệu, Khoa

sư phạm đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành đề tài luận văn này

Tôi xin cảm ơn các anh chị và các bạn cùng chuyên ngành đã đóng góp ý kiến trong quá trình tôi làm đề tài

Mặc dù tôi đã rất cố gắng và nỗ lực trong việc thực hiện

đề tài, nhưng do còn thiếu kinh nghiệm và điều kiện còn hạn chế nên đề tài sẽ không tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tôi rất mong được sự đóng góp của quý thầy cô và các bạn để luận văn cuả tôi được hoàn thiện hơn

Cuối cùng, tôi xin một lần nữa gửi lời cảm ơn đến tất cả các quý thầy cô và các bạn đã giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Sinh viên thực hiện Dương Kim Nhật

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

Q q

k k

P

H q

q

H P

¶

¶ -

Fr = r

Phương trình chuyển động của vật rắn

ï

ï î

ïï í ì

=

=

c c

M dt

L d

F P dt d

r r

r r

Các định luật bảo toàn

T + i =

PHẦN I

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình đào tạo giáo viên Vật lý – Tin học, cơ học lý thuyết là một

trong những môn học thú vị và bổ ích Môn học này mang lại cho người học hệ thống kiến thức sâu, rộng về cơ học Ngoài ra, khi học cơ học lý thuyết, chúng ta hiểu sâu hơn các môn như: Cơ học đại cương, Toán cho vật lý,… Bên cạnh đó, nó còn giúp ta

tự bồi dưỡng nâng cao nghiệp vụ

Trong quá trình học môn cơ học lý thuyết, lớp chúng tôi đã được thầy Nguyễn

Xuân Tư nhấn mạnh rằng: “Nguyên lý Hamilton là một nguyên lý tổng quát, các em hãy tìm hiểu thêm về nguyên lý này” Vậy, tính tổng quát ở đây là như thế nào? Sau quá trình tìm đọc tài liệu có liên quan tôi quyết định chọn đề tài: “Nghiên cứu tính tổng quát của nguyên lý Hamilton”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu tính tổng quát của nguyên lý Hamilton, từ nguyên lý Hamilton suy ra được các phương trình và các định luật cơ bản của cơ học

3 Phạm vi nghiên cứu

Đề tài này chỉ trình bày những vấn đề cơ bản trong lĩnh vực cơ học mà từ nguyên

lý Hamilton suy ra được và đối tượng là các hệ hôlônôm

4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý thuyết

- Viết nội dung hoàn chỉnh

- Bảo vệ luận văn

6 Các thuật ngữ quan trọng trong đề tài

- Liên kết lý tưởng là liên kết hình học không phụ thuộc thời gian

- Hệ hôlônôm là hệ trong đó các liên kết áp đặt lên hệ là những liên kết hình học

và động học khả tích

- Biến phân: là di chuyển ảo, nó là một phép tính tương tự như vi phân nhưng phép tính biến phân không phụ thuộc thời gian

PHẦN II

NỘI DUNG

Chương I

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC GIẢI TÍCH

I.1 Các liên kết và phản lực liên kết

I.1.1 Các liên kết

I.1.1.1 Định nghĩa các liên kết

Liên kết là những điều kiện hạn chế về vị trí và vận tốc của các chất điểm của cơ

hệ trong không gian

I.1.1.2 Phương trình liên kết

Xét cơ hệ gồm 2 chất điểm M1, M2 cách nhau một khoảng không đổi r12 Để xác định vị trí của cơ hệ này ta cần 6 tọa độ ( x1, y1, z1, x2, y2, z2 ) Nhưng 6 tọa độ này phải thỏa mãn điều kiện:

(x2 -x1) (2 + y2 -y1) (2 + z2 -z1)2 -r122 = 0 (1.1)

Nếu hệ cơ gồm 3 chất điểm M1, M2, M3 không cùng nằm trên một đường thẳng và cách nhau những khoảng không đổi r12, r13, r23 Để xác định vị trí của cơ hệ này ta cần 9 tọa độ Descarter ( xi, yi, zi ) với ( i=1, 2, 3 ) Các tọa độ này phải thỏa mãn 3 điều kiện: (x2 -x1) (2 + y2 - y1) (2 + z2 -z1)2 -r122 = 0

định bởi vectơ bán kính rri và vectơ vận tốc

I.1.1.3 Phân loại các liên kết

Khi các phương trình liên kết (1.3) không phụ thuộc vào vận tốc r&ri thì liên kết đặt

lên cơ hệ lúc này được gọi là liên kết hình học Phương trình liên kết có dạng:

Trong thực tế ta thường gặp những liên kết đặt lên cơ hệ được biễu diễn bởi n

phương trình liên kết hình học (1.4) và m phương trình liên kết động học có dạng:

1

=+

++

Hay ( , , ) 0

1

= +

=å

b r r t dbr g f

N

i i i

0

1

= +

å

=

dt g r d d

r

t r f

rr

f r d r

f t

r

i N

i i

b b

Phương trình (1.8) chính là phương trình biểu diễn liên kết hình học đặt lên cơ hệ

Chú ý: Không phải mọi liên kết động học đều là những liên kết động học khả tích

Chúng chỉ khả tích khi vế trái của nó có thể biễu diễn vi phân toàn phần của một hàm số nào đó của các biến số rri và t

I.1.1.4 Thí dụ về liên kết và phương trình liên kết

Chất điểm chuyển động trên đường thẳng thuộc một mặt phẳng Oxy cho trước có

2 liên kết và phương trình liên kết là:

î í

ì

= + +

=

0

0

c by ax z

Vật nặng được buộc vào dây có chiều dài l và treo vào điểm O cố định như hình 1 thì phương trình liên kết của nó là: 2 2 2 2

l z y

x + + = Đó là liên kết dừng

Nếu dây được quấn vào trụ như hình 2 và bị tuột thì liên kết đặt lên cơ hệ bây giờ

là liên kết không dừng và phương trình liên kết có dạng:

( )

ïî

ïíì

const R

x

0

I.1.2 Các phản lực liên kết

Xét cơ hệ gồm N chất điểm có các khối lượng m1, m2, …,mn Mỗi chất điểm chịu tác dụng của một lực chủ động tương ứng là Fr Fr Frn

, ,, 2

1 và các gia tốc tương ứng chúng thu được là wr ,wr , ,wrn

1 1 1 1 1

=

¶

¶+

××

×+

¶

¶+

¶

¶+

¶

¶

dt

dz z

f dt

dz z

f dt

dy y

f dt

dx x

n

a a

a a

Hay ta có thể viết gọn lại là:

è

æ

¶

¶+

¶

¶+

i i

i

dz z

f dt

dy y

f dt

dx x

f i x

f

i i

i i

=

¶

¶+

¶

¶+

Hình 2

Ta cũng biết rằng:

i i i i

v k dt

dz j dt

dy i dt

dx r+ r+ r = r là vận tốc của điểm thứ i Do đó (1.11) được viết lại:

i

i f v grad r

a (1.12)

Đẳng thức (1.12) cho biết vận tốc của cơ hệ có liên quan chặt chẽ với các liên kết

áp đặt lên hệ và (1.12) được gọi là các liên kết động học khả tích (dẫn về liên kết hình học được)

Tiếp tục đạo hàm (1.12) theo thời gian ta được:

0

1

=

÷ ø

ö ç

ö ç

i

dt

v d f grad v

dt

df grad

rr

a a

Đặt a v Da

dt

df grad

å

D dt

v d f grad i n

áp đặt lên hệ cơ

Về quan điểm động lực học thì tác dụng của các liên kết hoàn toàn tương đương với tác dụng của các lực chủ động Ta gọi các tác dụng đó là các phản lực liên kết và kí hiệu là Rri

( phản lực liên kết đặt lên chất điểm thứ i )

Như vậy các phương trình mô tả chuyển động của cơ hệ có liên kết phải được viết:

r r

dr=dr

2

rrd

Ta lưu ý rằng khái niệm di chuyển có thể rộng hơn khái niệm di chuyển thực, di chuyển thực cũng chỉ là một di chuyển có thể mà thôi Di chuyển có thể còn được gọi là

di chuyển khả dĩ

Ví dụ về di chuyển có thể và di chuyển thực:

Xét viên bi m coi như chất điểm có

trọng lượng P chuyển động trên mặt phẳng

nghiêng của lăng trụ tam giác A cố định

Viên bi m có liên kết là mặt cố định của vật

A Tại một vị trí bất kì của m, nó có vô số di

chuyển có thể drrk( k = 1, 2, 3, …) là các

vectơ di chuyển vô cùng bé, nằm trong mặt

phẳng nghiêng Mxy Vì liên kết là vật A cố

định, không phụ thuộc vào thời gian, do đó dưới tác dụng của trọng lực, viên bi chuyển động theo đường dốc chính My Vậy di chuyển thực vô cùng bé của viên bi, ký hiệu là

r

drcũng nằm trong mặt nghiêng Mxy, do đó di chuyển thực của M cũng là một di chuyển

có thể

I.2.3 Di chuyển ảo

Xét hệ chuyển động từ vị trí A đến vị trí B theo hai quỹ đạo so sánh S và S’ khác nhau Sau cùng khoảng thời gian Dt, ở thời điểm t, trên quỹ đạo S phần tử thứ i thực hiện được di chuyển Drri Phần tử thứ i cũng thực hiện được di chuyển

i

r ¢

Dr trên quỹ đạo S’

hiệu hai di chuyển này được thiết lập như sau:

Drri -Drri¢=drri

Đại lượng drrinhư trên được gọi là di

chuyển ảo của phần tử thứ i ở thời điểm t Di

chuyển ảo drricòn được gọi là biến phân tọa độ

Ta hãy tìm điều kiện mà di chuyển ảo phải

thõa mãn

Trên quỹ đạo so sánh S ta có di chuyển có

thể Drri nên ta có:

0 1

= D

i

grad dr

a (1.17)

Nghĩa là các di chuyển ảo phải thỏa mãn (1.17)

So sánh (1.17), (1.16), (1.17) ta thấy chúng có dạng giống nhau Sở dĩ có được

điều đó là vì các liên kết mà ta xét ở đây là các liên kết dừng Vậy nếu các liên kết là

dừng thì di chuyển ảo cũng là một di chuyển có thể

Bản chất của di chuyển ảo:

Ta có sau thời gian Dt, trên quỹ đạo so sánh S và S’ ( hình 4 ) phần tử thứ i thực

hiện được các di chuyển Drri và

i

r ¢

Dr và tọa độ của chúng ở cuối khoảng thời gian Dt là rri

và r¢ i được mô tả bởi phương trình:

I.3 Biến phân tọa độ Liên kết lý tưởng

I.3.1 Biến phân tọa độ

Như đã nói ở trên, biến phân tọa độ có được là do sự biến thiên của vectơ bán kính nhưng sự biến thiên này không phụ thuộc vào thời gian mà chỉ phụ thuộc vào sự đổi dạng của hàm vectơ bán kính mà thôi

Khái niệm biến phân khác với khái niệm vi phân Trong khái niệm biến phân, ta

có hai hàm, nhưng chỉ lấy tại một giá trị của biến số t, còn trong khái niệm vi phân,

chúng ta chỉ có một hàm nhưng lấy hai giá trị khác nhau của biến số t

Nghĩa là tại một thời điểm, cũng có thể tồn tại biến phân Các phép tính biến phân cũng được thực hiện tương tự như phép tính vi phân Chẳng hạn hãy tính vi phân và biến phân của vectơ rr

z

r y y

r x x

r

r d d dd

¶

¶ +

¶

¶ +

r dx x

r r d

¶

¶ +

¶

¶ +

rr = 2x ir+yrj

Do đó biến phân tọa độ ở thời điểm này là:

i x j y i x j y i x r r

rr =r¢-r = r+ r- r- r= r

2d

I.3.2 Liên kết lý tưởng

Liên kết được gọi là lý tưởng nếu tổng công nguyên tố của các phản lực liên kết trên bất kỳ di chuyển ảo nào cũng bằng không

Nghĩa là phải thỏa mãn hệ thức: 0

Ûån ( + + )= 0

i

i iz i iy i

R d d d (1.18)

Trong 3n đại lượng vô hướng dx i,dy i,dz i của hệ thức (1.18) thì có (3n – a) đại

lượng độc lập tương ứng với số bậc tự do và có a đại lượng phụ thuộc tương ứng với số

liên kết Do đó khi chuyển các đại lượng phụ thuộc qua các đại lượng độc lập thì trong

(1.18) còn có (3n-a) số hạng độc lập và khi cho các hệ số bằng 0 thì ta thiết lập được

(3n-a) phương trình cho các tọa độ và các phản lực liên kết Như vậy bài toán hệ cơ có

liên kết có số phương trình là (3n+a) + (3n-a) = 6n

Vậy số phương trình đã bằng số ẩn Þ bài toán sẽ giải được

Một số ví dụ về liên kết lý tưởng:

Một chất điểm chuyển động trên một mặt nhẵn ( không ma sát ) thì phản lực liên

kết vuông góc với dịch chuyển ảo nên Rrdrr=0( hình 6 ) Mặt nhẵn chính là liên kết lý

tưởng

Hai chất điểm M1, M2, nối với nhau bằng một thanh có độ dài không đổi và khối

lượng của thanh bỏ qua Thanh là liên kết đặt lên hai chất điểm, và khoảng cách M1, M2

không đổi chính là liên kết lý tưởng ( hình 7 )

Gọi Rr1

, Rr2

là phản lực liên kết do thanh tác dụng lên chất điểm thứ nhất và thứ hai

Theo định luật III Niuton chất điểm M1, M2 sẽ tác dụng lên thanh bằng những

Vì khối lượng của thanh có thể bỏ qua nên Fr1+ Fr2 = 0

và do đóFr1 Fr2 Rr1 Rr2

-= Þ -

Tổng công ảo của những phản lực liên kết đối với mọi di chuyển ảo bằng:

1 2

1 r +R r =

Rrdr r dr Vậy khoảng cách M1, M2 không đổi chính là liên kết lý tưởng

Chương II

NGUYÊN LÝ D’ALEMBERT LAGRANGE CÁC PHƯƠNG TRÌNH

LAGRANGE

II.1 Nguyên lý D’alembert Lagrange

Xét cơ gồm n chất điểm có các liên kết lý tưởng Phương trình mô tả chuyển động của hệ là n phương trình:

=

å

=

i n

R d d dRút Rri m i Wri Fri

m r r dr (2.3) Phương trình (2.3) là phương trình tổng quát của động lực học cơ hệ, mang nội dung của nguyên lý D’alembert Lagrange, là một trong những nguyên lý quan trọng nhất của động lực học

Trường hợp riêng, khi hệ ở trạng thái dừng thì vri = 0, =0

F d d d (2.5)

Các phương trình (2.4) và (2.5) mang nội dung của nguyên lý dịch chuyển ảo

II.2 Các phương trình Lagrange

II.2.1 Phương trình Lagrange loại II tổng quát

Xét cơ hệ gồm n chất điểm có a liên kết lý tưởng Phương trình mô tả chuyển động của hệ theo nguyên lý Dalembert-Lagrange là:

( ) 0

1

= -

å

=

i n

i

i i

m r r drBây giờ ta đi tìm biến phân tọa độ drriđể đưa vào phương trình trên

Tọa độ của các chất điểm của hệ đều được biểu diễn qua tọa độ suy rộng nên ta có:

( q q q t )

r

r r =i ri 1, 2, , s,Trong đó s là số bậc tự do của hệ

Thực hiện phép tính biến phân ta được:

t t

r q q

r q

r q q

r

s s

i i

¶

¶++

¶

¶+

i

i i

q

r F w

m r r r d

1 1

=úû

ùê

ë

é

¶

¶-

i i i

q

r F w

m r r r d

Lưu ý rằng, các biến phân tọa độ là độc lập và khác không (dq k ¹ 0), nên đẳng thức trên chỉ được thực hiên khi từng hệ số của các số hạng bằng không

å

i n

i

i i i

q

r F w m

rrr

k i n

i

n

i i k

i i i

q

r F q

r w m

k k i n

i i

q

r w

i i

q

r dt

r d q

r w

i k

i i

q

r r q

r r dt

d q

r w

¶

¶-

÷÷

ø

öçç

r q

q

r q q

r

s s

i i

i

¶+

¶

¶++

¶

¶+

k i k

i

q

r q

öçè

æ

¶

¶-

÷ø

öçè

÷

÷ø

öç

çè

k k

i i

k i k

i k

i i

v q

v q dt

d q

r w

q

r q

r dt

d q

r w

2 2

2 2

2

12

12

12

1

&

rr

&r

&

&rr

ë

é

÷ø

öç

è

æ

¶

¶-

÷÷

ø

öçç

è

æ

÷ø

öç

i i k

n

i i

q v

m q dt

d q

r w m

1

2 2

12

è

æ

¶

¶ -

÷ ø

ö ç

i

i i k

v m q

v m q

dt

2

1 2

i i i

q

T q

T dt

d q

r w m

¶

¶-

rr1

(2.9)

Thế (2.9) vào (2.6) ta được:

k

k k

Q q

T q

T dt

d

=

¶

¶ -

¶

¶

& ( k = 1 ÷ s )

Phương trình trên được gọi là các phương trình Lagrange loại II của cơ hệ có liên kết Để giải bài toán của cơ hệ có liên kết, ta có thể sử dụng các phương trình Lagrange loại II rất hiệu quả

II.2.2 Lực suy rộng và các phương pháp tính lực suy rộng

II.2.2.1 Lực suy rộng Q K

Xét tổng công nguyên tố của các lực chủ động trên các di chuyển ảo ta được:

k s

i n

i i i

rrr

1 1

d

rr

k

s

k k i

1 1

II.2.2.2.Các phương pháp tính lực suy rộng

II.2.2.2.1 Phương pháp tính trực tiếp

Ta đã có biểu thức của Q k:

i iy k

i ix k

n

i

i k

q

z F q

y F q

x F q

r F Q

1 1

rr

Nghĩa là ta phải biểu diễn các tọa độ x i, y i, z i sang các tọa độ suy rộng q k để đưa vào các phép tính trên và thực hiên các phép tính ta được biểu thức của lực suy rộng

II.2.2.2.2 Phương pháp biến phân tọa độ

Từ (2.10) ta thấy nếu chỉ cho tọa độ q kbiến thiên một lượng dq k, còn các tọa độ suy rộng khác được giữ nguyên ( dqi = 0 với i ≠ k ) thì vế phải chỉ là: Qk.dqk

Còn vế trái vẫn là tổng công nguyên tố của các lực chủ động trên các di chuyển

q

A Q

Fri =- iVới U là thế năng của hệ và gradiU là gradient theo hướng rri của chất điểm thứ i

của thế năng U nên:

i i

i n

k

q

U q

r r

U Q

¶

¶-

=

rr1

Thí dụ về cách tính lực suy rộng:

Vật A có khối lượng m được buộc vào đầu một sợi dây không giãn , có khối lượng

không đáng kể, quấn vào một hình trụ đồng chất có khối lượng M Trong khi A tụt xuống thì B quay quanh trục cố định nằm ngang trùng với trục của trụ như hình Hãy tìm lực suy rộng tác dụng lên hệ vật trên

y x

x mg

¶

¶ +

¶

¶ +

¶

¶

ü Cách tính bằng biến phân tọa độ:

Cho x biến thiên dx :

Công của lực chủ động trên dx là:

x mg x g m

A

Q x = = =

d

dd

Q x=

II.2.3 Phương trình Lagrange cho hệ bảo toàn

Đối với hệ bảo toàn thì lực chủ động là lực thế nên lực suy rộng có biểu thức:

k k

q

U Q

¶

¶ -

=

Do đó phương trình Lagrange tổng quát được viết:

k k

U q

T q

T dt

d

¶

¶ -

=

¶

¶ -

U q

L q

T

¶

¶ +

k

U q

U q

L q

L dt

d

¶

¶ -

=

¶

¶ -

¶

¶ -

L dt

d

& (2.13) Phương trình (2.13) gọi là phương trình Lagrange cho hệ bảo toàn

Đối với hệ bảo toàn thì ta có thể dùng phương trình trên để giải bài toán cho cơ hệ thì đơn giản và thuận tiên hơn vì ta chỉ cần tìm hàm L =T – U mà không cần tìm các lực suy rộng Q k

Chương III

NGUYÊN LÝ HAMILTON

III.1 Biến phân tọa độ suy rộng và các tính chất của nó:

Ta khảo sát một cơ hệ hôlônôm có n chất điểm với s bậc tự do Vị trí khả dĩ của cơ

hệ phù hợp với liên kết đặt lên nó được xác định bởi s tọa độ suy rộngq k( )t,a (k = 1, 2, 3,…, s) trong đó t là biến số còn a là thông số thực Khi thay a bằng a +da thì hàm

( )t,a

q k sẽ thay đổi dạng và chuyển thành hàm q k(t,a +da) Đại lượng

aada

ad

¶

¶

= -

+

k k

k

q t

q t

q

Giả sử ứng với giá trị a = 0 các hàm q k( )t, 0 =q k( )t diễn tả chuyển động thực của

cơ hệ trong khoảng thời gian từ t1 đến t2 Khi đó chuyển động khả dĩ phù hợp với liên kết đặt lên cơ hệ rất gần với chuyển động thực trong khoảng thời gian đó Chuyển động này được diễn tả bởi các hàm q k( )t,a với a là số thực có giá trị khá nhỏ Ta chỉ hạn chế khảo sát trường hợp chuyển động khả dĩ và chuyển động thực của hệ có chung điểm đầu q1( )t

và điểm cuối q2( )t Hình 9 biểu diễn sự phụ thuộc của q k vào thời gian t Đường liền nét ứng với a = 0 diễn tả chuyển động thực của cơ hệ

gọi là đường cong thực Các đường đứt nét ứng với

các giá trị khác nhau của a khá nhỏ và khác không

biểu diễn các chuyển động khả dĩ của cơ hệ Tại thời

điểm t1 và t2 các hàm q ktrùng nhau nên ta có:

dq k( )t1 =dq k( )t2 = 0

Tương tự ta cũng có biễu thức định nghĩa biến

phân vận tốc suy rộng

dq&k =q&k t, +d -q&k t,

Phép tính biến phân và các phép tính đạo hàm, vi phân có thể hoán vị được, tức là ta có:

( ) ÷

ø

ö ç è

æ

=

dt

dq q

t

1 2

1

dd

III.2 Nguyên lý Hamilton

Ở phần trước ta đã đưa ra hàm Lagrange: L = T - U

Vì T chỉ phụ thuộc q&k, t và U phụ thuộc q k, t Do đó L là một hàm của q&k,q kvà t Tức là L=L(q&k,q k,t) với ( k = 1, 2,…, s )

Ta thấy hàm Lagrange là hàm đặc trưng cho cơ hệ chuyển động Nếu ta lấy tích phân hàm L từ vị trí A ứng với thời điểm t1 đến vị trí B ứng với thời điểm t2 trong không gian s chiều tương ứng với các tọa độ suy rộng thì ta được:

S dt L Ldt

t

t B

Chuyển động thực của hệ giữa hai vị trí A và B ứng với hai thời điểm t 1 và t 2 là chuyển động sao cho biến phân của hàm tác dụng Hamilton bằng không

L q q

L dq

q

L dL

s

k

k k

¶

¶+

k

T q

i

P r m r

T r

=å 2 2 1

k k

k

P q

L P

q

¶

¶ Þ

Phương trình Lagrange đối với hệ bảo toàn cho ta:

k k k

P q

T dt

d q

L q P dq

P dL

s

k

k k s

k

k

¶ + +

L q dP q

P d dq P dL

s

k

k k s

k k k s

k

k k

¶

¶ + -

P dP q L

q P d

s

k k k k s

k

¶ - -

=

÷ ø

ö ç

è

æå & - å & &