Các dạng toán phương trình đường thẳng oxyz

caùc ví duï minh hoïa Ví dụ 1... caùc ví duï minh hoïa Ví dụ 1..[r]

c Chứng  minh rằng  họ  đường  thẳng  (dm)  luôn  thuộc  một  mặt  phẳng  (P)  cố    định,  tìm  phương  trình  mặt  phẳng (P). 

Bước 1 Biến đổi phương trình của họ (Pm) về dạng:f(x, y, z) + mg(x, y, z) = 0. 

Bước 2 Vậy, họ (Pm) luôn đi qua một đường thẳng (d) cố định có phương trình: 

(d):  f (x, y, z) 0g(x, y,z) 0

Bước 1. Viết phương trình mặt phẳng (P1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0. 

Bước 2. Viết phương trình mặt phẳng (P2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0. 

b Lập phương trình đường thẳng đi qua M vuông góc với (d) và cắt (d). 

Ví dụ 5 Lập  phương  trình  đường  thẳng  đi  qua  A(4;  1;  1)  cắt  ()  và  tạo  với  ()  một  góc  bằng  450,  biết:

x 0( ) : y 1 t , t

Phương pháp 

Để xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) (hoặc xác định điều kiện về vị trí tương đối giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P)), ta thường lựa chọn một trong hai cách sau: 

 (d) có vtcp u

(a; b; c) và đi qua M0(x0; y0; z0). 

  0  Aa + Bb + Cc  0. 

. 

5 Viết phương trình mặt cầu có bán kính R tiếp xúc với (d) tại điểm M và cắt (P) theo thiết diện là đường tròn có bán kính bằng r. 





 . 

Với yêu cầu ʺViết phương trình mặt cầu (S) có bán kính R tiếp xúc với (d) và (P) tại điểm Mʺ thì bài toán được  chuyển về dạng ʺViết phương trình mặt cầu có bán kính R tiếp xúc với (P) tại điểm Mʺ, đây là dạng toán mà 

chúng ta đã biết cách thực hiện. 

Với yêu cầu ʺViết phương trình mặt cầu (S) có bán kính R tiếp xúc với (d) tại điểm M và cắt (P) theo thiết diện là  đường tròn lớnʺ, chúng ta có thể lựa chọn một trong các cách: 

Bước 1 Giả sử I(x; y; z) là tâm mặt cầu (S), khi đó:

2 2

MI (d)

MI Rd(I, (P)) R r

e Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính R 3 tiếp xúc với (d) tại điểm N(1; 3; 1) và cắt (P) theo  thiết diện là đường tròn có diện tích bằng 2

9

. 

Bước 1 Lấy điểm A  (d), từ đó xác định toạ độ điểm HA là hình chiếu vuông góc của A lên 

Bước 2 Gọi nQ là một vtpt của mặt phẳng (Q), ta lần lượt có: Q

 Nếu u 1

, u 2 không cùng phương, thực hiện bước 3. 

Bước 3 Xác định [u 1

,u 2].M M 1 2

, khi đó: 

 Nếu [u 1

, u 2].M M 1 2

 = 0 thì kết luận  (d1) và (d2) cắt nhau. 

 Nếu [u 1

,u 2].M M 1 2

6 Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với cả (d1), (d2) và có tâm thuộc đường thẳng (). 

Với yêu cầu ʺTính khoảng cách giữa (d1) và (d2)ʺ, chúng ta có ngay: d((d1), (d2)) = d(M1, (d2)) =  1 2 2

2

M M , uu





Qua M vtpt n u , M M

Bước 3 Vì ba điểm A, M1, M2  (P)  Phương trình của (P). 

Với  yêu  cầu ʺViết  phương trình  đường  thẳng  (d)  thuộc  mặt  phẳng  chứa  (d1),  (d2) và  song  song, cách  đều  (d1), (d2)ʺ, chúng ta thực hiện theo các bước: 

Bước 1 Gọi u1 là vtcp của (d1) và lấy M1(d1) và M2(d2).Suy ra tọa độ trung điểm M của M1M2. 

Bước 2 Đường thẳng (d) được cho bởi:(d): 

1

Qua M vtcp u

Bước 1 Gọi F là hình chiếu vuông góc của E trên (d2) thì mặt cầu (S) cần dựng chính là mặt cầu đường 

kính EF. 

9

Bước 1 Xác định tọa độ giao điểm M của (d1) và (d2). Lấy điểm A  (d1), với A  M. 

Bước 2 Lấy điểm B  (d2) thoả mãn AI = BI, Từ đó, nhận được toạ độ hai điểm B1, B2. 



 = IA

IB  Toạ độ K1. Khi đó, phương trình đường phân giác ngoài được xác định bởi:(IK1): 

1

qua Ivtcp IK



 = ‐IA

IB  Toạ độ K2. Khi đó, phương trình đường phân giác trong được xác định bởi:(IK2): 

2

qua Ivtcp IK





 . 

Với yêu cầu ʺViết phương trình mặt cầu có bán kính R tiếp xúc với (d1), (d2) tại điểm Mʺ, chúng ta thấy ngay đó  chính là ʺMặt cầu có bán kính R tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại điểm Mʺ và đây là dạng toán chúng ta đã biết cách 

4 Viết phương trình các mặt phẳng (Q1), (Q2) theo thứ tự chứa (d1), (d2) và song song với nhau. 

Bước 3 Giả sử (d)(d2) = {B} suy ra (P1)(d2) = {B}  toạ độ B. 

Bước 4 Khi đó phương trình đường thẳng (d) được cho bởi:(d):  qua B

IA.u 0IB.u 0

I  (d) 

H 

I 

H  (d) 

 Nếu (1) có nghiệm kép t0  (S) tiếp xúc với (d) tại điểm   H(x(t0); y(t0); z(t0)).  

 Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt t1, t2  (d)  (S) = {A, B} với A(x(t1); y(t1); z(t1)) và B(x(t2); 

5 Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là một đường tròn lớn của (S). 

6 Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là một đường tròn nhận AB làm đường kính. 

7 Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là một đường tròn (C) có bán kính bằng r (hoặc biết chu vi đường tròn hoặc biết diện tích hình tròn đó). 





 . Với yêu cầu (7), chúng ta thực hiện theo các bước: 

a Chứng minh rằng đường thẳng (d) cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A, B. Tính độ dài AB. 

b Viết phương trình đường thẳng () song song với (d) và cắt mặt cầu (S) tại hai điểm E, F sao cho EF có độ  dài lớn nhất. 

c Viết phương trình các mặt phẳng (PA), (PB) tiếp xúc với (S) theo thứ tự tại các điểm A, B. Tính cosin góc giữa  hai mặt phẳng (PA), (PB). 

f Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là một đường tròn nhận 

AB làm đường kính. 

g Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là một đường tròn  (C) có bán kính bằng r 54 / 5. 

4 Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và tiếp xúc với (S). 

5 Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là một đường tròn lớn của (S). 

6 Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là một đường tròn (C) có bán kính bằng r (hoặc biết chu vi đường tròn hoặc biết diện tích hình tròn đó). 

7 Viết phương trình đường thẳng qua A và cắt mặt cầu (S) tại điểm B sao cho AB có độ dài lớn nhất. 

8 Viết phương trình đường thẳng qua A tiếp xúc với (S) và vuông góc với đường thẳng (d). 

9 Viết phương trình đường thẳng qua A tiếp xúc với (S) và tạo với đường thẳng (d) một góc . Với yêu các cầu (1), (2), (3), (6), chúng ta thực hiện theo đúng phương pháp đã biết trong phần chú ý về trường hợp đường thẳng cắt mặt cầu. 

Bước 2 Khi đó, phương trình đường thẳng (d’) được cho bởi:(d’):  Qua A

vtcp u '





 . Với yêu các cầu (9), chúng ta thực hiện theo các bước: 

Bước 1 Giả sử đường thẳng () cần dựng có vtcp u (a; b; c), ta có: 

2 Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là một đường tròn lớn của (S). 

3 Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là một đường tròn (C) có bán kính bằng r (hoặc biết chu vi đường tròn hoặc biết diện tích hình tròn đó). 

4 Viết phương trình các mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S). Giả sử các tiếp điểm là T1, T2, hãy viết phương trình đường thẳng (T1T2). 

Với các yêu cầu (1), (2), (3), chúng ta thực hiện tương tự như trong các trường hợp đường thẳng cắt hoặc tiếp xúc với mặt cầu. 

Với các yêu cầu (4), chúng ta thực hiện theo các bước lớn sau: 

Bước 1 Lập phương trình các mặt phẳng (P1), (P2) chứa (d) và tiếp xúc với (S). 

Bước 2 Tìm toạ độ các tiếp điểm T1, T2 với cách hiểu chúng chính là hình chiếu vuông góc của I trên các 

-ïï =íï

ïï = ïî

Trong  các  phương  trình  trên  phương  trình  nào  là 

phương  trình  của  đường  thẳng  qua  M(2;0; 3- )  và  nhận 

( )III  Phương trình tham số của 

2: 8 7

ïï =- +íï

ïï = - +ïî

Trong các khẳng đinh trên, khẳng định nào đúng? 

A.( )I    B.( )II    C.( )III    D.  Cả  ( )I , ( )II  và ( )III  

Câu 5.  Trong  không  gian với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,  cho  đường 

thẳng 

2: 1

ì = ïï

-ïï = +íï

ïï =ïî

.  Phương  trình  nào  sau  đây  là 

Câu  6.  Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,  giao  điểm 

của  hai  đường  thẳng 

ïï =- +íï

ïï = +ïî

  và 

5 '' : 1 4 '

ïï = íï

ïï = ïî

- có tọa độ là: 

A.(- -3; 2;6)  B.(3;7;18)   C.(5; 1;20- )  D.(3; 2;1- ) 

Câu  7.  Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,  cho  đường 

thẳng  D  đi  qua  điểm  M(2;0; 1- )  và  có  vectơ  chỉ phương a = (4; 6;2- ). Phương trình tham số của D là: 

A.

2 46

ïï íï

=-ïï = +ïî

2 231

ì = - +ïï

ïï íï

=-ïï = +ïî

19

ì = +ïï

ïï = íï

-ïï = +ïî

Câu  8.  Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,  cho  d   là 

đường  thẳng  đi  qua  hai  điểm A(2; 1;3- )  và B(0;2;1). 

ïï =- +íï

ïï = +ïî

ïï = +íï

ïï =ïî

-ïï = +íï

ïï = ïî

-  

Câu  11.  Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,  cho  d   là 

đường  thẳng  đi  qua  điểm  A(1;2;3)  và  vuông  góc  với 

ïï = +íï

ïï = ïî

ïï = íï

ïï = ïî

ïï =- +íï

ïï = ïî

ìïï = ïïïïï

í = ïï

-ïï

ï =ïïî

1 531433

ìïï = +ïïïïï

í = ïï

-ïï

ï =ïïî

C.

1 531433

ìïï = +ïïïïï

í =- +ïï

ïï

ï =ïïî

1 531433

ìïï = ïïïïï

í = ïï

-ïï

ï = ïïî

D íï =

ïï = ïî

ïï =íï

ïï = ïî

13

x

ì =ïï

ïï íï

=ïï = ïî

x

ì =ïï

ïï íï

=-ïï =ïî

ïï = íï

-ïï = +ïî

Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz , cho đường 

thẳng 

95

7 35

ìïï = ïï

-ïïï =íïïï

ï = +ïïïî

  và  mặt  phẳng 

( )P : 3x-2y+3z- =1 0. 

Gọi  'd  là hình chiếu của  d  trên mặt phẳng ( )P  Trong 

các  vectơ  sau,  vectơ  nào  không  phải  là  vectơ  chỉ  phương 

ïï íï

=-ïï = - +ïî

  C. 3

1 2: 2 2

ïï = íï

-ïï = +ïî

ïï =íï

ïï = - +ïî

 và  2

0: 4 2 '

ïï = íï

-ïï = +ïî

ì = ïï

-ïï =íï

ïï = - +ïî

M  là trung điểm của AB có phương trình: 

A. 

211

x

z

ì =ïï

ïï = +íï

ïï =ïî

211

x

z

ì = ïï

-ïï = +íï

ïï = ïî

-  

C. 

211

x

z

ì =ïï

ïï =- +íï

ïï =ïî

211

x

z

ì =ïï

ïï = +íï

ïï = ïî

ì = ïï

-ïï = +íï

ïï = - +ïî

ïï =íï

ïï = ïî

Câu  22.  Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,  cho  mặt 

phẳng ( )P x: +2y=0.  Phương  trình  nào  sau  đây  là phương  trình  đường  thẳng  qua  A -( 1;3; 4- )  cắt  trục 

Ox và song song với mặt phẳng ( )P : 

21

ì = - +ïï

ïï = +íï

ïï ïî

ïï = íï

-ïï =ïî

ïï = íï

-ïï =ïî

ïï = íï

-ïï =ïî

Câu  32.  Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,  biết  rằng 

mặt  phẳng ( )P : 2x-2y z- - =3 0  cắt  mặt  cầu ( )S   có 

tâm  I(3, 1, 4- - )  theo  giao  tuyến  là  một  đường  tròn. 

Tâm  H  của  đường  tròn  giao  tuyến  là  điểm  nào  sau 

D íï = +

ïï = +ïî

ì = ïï

ïï = íï

-ïï =ïî

ì = - +ïï

ïï = íï

-ïï =ïî

Câu  38.  Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,  để  tính 

khoảng cách từ điểm  A  đến đường thẳng  d  cho trước, 

một  học  sinh  đã  trình  bày  bài  giải  theo  thứ  tự  các  bước như sau: 

Bước  1.  Viết  phương  trình  mặt  phẳng ( )a   chứa A  và 

vuông góc với  d   Bước 2. Tìm tọa độ giao điểm  H của ( )a  và  d  

Bước 3. Tính toán và kết luận  d A d[ , ]=AH   

Bài giải trên sai ở bước nào? 

A. Bước 1.   B. Bước 2.   C. Bước 3.  D. Không sai 

Câu 39. Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz , cho đường 

D íï = - +

ïï = ïî

5  

Câu  43.  Trong  không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz ,  cho  hai 

đường thẳng 

1:

ì = ïï

-ïï =íï

ïï = ïî

- và 

2' : 1

ì =ïï

ïï =- +íï

ïï =ïî

m m

é = ê

-ê =

ë .  C. 

42

m m

é =ê

ê =

ë .  D. 

42

m m

é = ê

ïï =íï

ïï = ïî

ïï íï

=ïï = ïî

ïï íï

=ïï = ïî

ïï =íï

ïï = +ïî

. 

  Vị trí tương đối của d  và 1 d  là: 2

A. Song song.   B. Trùng nhau.    

ïï = íï

-ïï =ïî

ïï =- +íï

ïï = ïî

ïï = +íï

ïï = +ïî

ïï = íï

-ïï = +ïî

3: 15

ì =ïï

ïï = +íï

ïï =ïî

ïï =íï

ïï = +ïî

ì = ïï

-ïï =íï

ïï = ïî

ïï =íï

ïï = +ïî

ïï =- +íï

ïï = ïî

ïï = íï

-ïï = +ïî

. 

  Với giá trị nào của m n,  thì hai đường thẳng đó trùng nhau? 

ïï =íï

ïï = - +ïî

  và 

25

Câu  62.  (ĐỀ  MINH  HỌA  QUỐC  GIA  NĂM  2017)  Trong 

không  gian  với  hệ  tọa  độ  Oxyz   cho  đường  thẳng ,

ïï = +íï

ïï = ïî

-.  Với  giá  trị  nào  của  m n,   thì  d   nằm 

, 62

ï = - +íï

ïï = + ïî

-.  Với  giá  trị  nào  của  m n,   thì  d  

song song ( )P ? 

A. 

1.27

m n

ìïï ïí

=-ïï =ïî

  B. 

1.27

m n

ìïï ïí

¹-ïï =ïî

  C. 

1.27

m n

ìïï ïí

=-ïï ¹ïî

 D. 

1.27

m n

ìïï ïí

¹-ïï ¹ïî

ïï =íï

ïï =ïî

ïï íï

=ïï = ïî

-ïï =- +íï

ïï =ïî

D íï =

ïï = ïî

- và 

1 4' : 2

-D íï = +

ïï = - +ïî

ïï = íï

-ïï = +ïî

ïï = +íï

ïï = +ïî

ïï = +íï

ïï =ïî

và mặt phẳng ( )a  có số đo là: 

27