Hướng dẫn giải một số bài tập tọa độ trong không gian nâng cao

Từ bảng biến thiến ta có thể dễ nhận thấy:... Mà hai vtpt của hai mặt phẳng này chính là IA IB IA IB ,..[r]

Câu 1: Tìm m để góc giữa hai vectơ: u u 1;log 5;log 2 , 1;log 5;log 2 1;log 5;log 2 1;log 5;log 2 3 m  v 3;log 3;4 5 là góc nhọn Chọn

đi tìm điều kiện để tử số dương

™ Mặt khác 3 log 5.log 3 4log 2 0 3 5  m ! œ4log 2m ! 4 œlog 2m !  œ1 log 2 logm ! m 1

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x 3y 2z 37 0 các

điểm A4;1;5, B3;0;1, C 1;2;0 Điểm M a b c ; ;  thuộc (P) sao cho biểu thức

™ Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x  y 2 0 và

m

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, một mặt phẳng đi qua điểm M1;3;9và

cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A a ;0;0, B0; ;0b , C0;0;c với a, b, c là các số thực

dương Tìm giá trị của biểu thức P  a b c để thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ

™ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

MA MB nhỏ nhất, khi đó giá trị của biểu thức P a b c   là:

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' có

A trùng với gốc của hệ tọa độ Cho B a ;0;0, D0; ;0a , A' 0;0; b với a b, ! 0 Gọi M là

trung điểm của cạnh CC’ Xác định tỉ số a

phẳng (P): 2x y 2z 1 0 Mặt phẳng (Q) chứa ' và tạo với (P) một góc D nhỏ nhất,

khi đó góc D gần với giá trị nào nhất sau đây?

« 

«¬

Từ bảng biến thiến ta có thể dễ nhận thấy:

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A0;1;1, B1;0; 3  , C   1; 2; 3

và mặt cầu (S): x2y2z2 2x 2z 2 0 Điểm D a b c ; ; trên mặt cầu (S) sao cho tứ diện

V d D ABD S khi đó V ABCD max khi và chỉ khi d D ABC ;  max

™ Gọi D D1 2 là đường kính của (S) vuông góc với (ABC) Ta thấy với D là điểm bất

kỳ thuộc (S) thì d D ABC ; dmax d D^ 1 ;ABC ,d D 2 ;ABC `

™ Dấu “=” xảy ra khi D trùng với D1 hoặc D2

d cắt S tại hai điểm phân biệt A B, sao cho các mặt phẳng tiếp diện của S tại A và

tại B vuông góc với nhau

A. m  hoặc 1 m 4 B. m hoặc 0 m 4

C. m  hoặc 1 m 0 D Cả A, B, C đều sai

¾ Giải:

¾ Bình luận: Ta có nếu hai mặt phẳng tiếp diện của S tại A và B vuông góc với

nhau thì hai vtpt của hai mặt phẳng này cũng vuông góc với nhau Mà hai vtpt của hai mặt phẳng này chính là IA IB, Với I1; 0; 2   là tâm của mặt cầu S

_

HчԒng dӢn giӚi mԐt sԈ bài tӤp tԄa ¶Ԑ trong không gian nâng cao

Vậy ta có hai điều kiện sau:

1 d cắt S tại hai điểm phân biệt

™ Do 2AD2  3BD2  4DC2 không đổi nên P nhỏ nhất khi MD nhỏ nhất Mà M thuộc

' nên MD nhỏ nhất khi M là hình chiếu của D lên '

™ Phương trình đường thẳng KI:

1 22 16

23; 16; 12 21;16;10

K K

« 

«¬

™ Vì KK1!KK2 nên MK lớn nhất khi và chỉ khi M K{ 123; 16; 12    Vậy

23; 16; 12

Câu 13: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A1;1; 1 ,  B  3; 5; 5 Điểm M a b c ; ;  thuộc

mặt phẳng D : 2x y  2z 8 0 sao cho biểu thức P MA MB đạt giá trị nhỏ nhất

™ Vì I là trung điểm AA’ nên A' 5; 1; 3   và A’, B nằm khác phía so với D Khi đó

với mọi điểm M thuộc D ta luôn có:

MA MB A M MB A B  t Đẳng thức xảy ra khi M A B' ˆ D

Câu 14: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A1;1; 1 ,  C 7; 4; 4   Điểm M a b c ; ;  thuộc

mặt phẳng D : 2x y  2z 8 0 sao cho biểu thức P MA MC đạt giá trị lớn nhất

™ Ta có f A f C  0 nên A và C nằm về hai phía so với D

™ Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua D

™ Phương trình đường thẳng AA’:

1 2 1

HчԒng dӢn giӚi mԐt sԈ bài tӤp tԄa ¶Ԑ trong không gian nâng cao

™ Gọi H là hình chiếu của O lên (P), ta có: d O P ;  OH OKd 1 Đẳng thức xảy ra

khi H K{ Do đó (P) cách O một khoảng lớn nhất khi và chỉ khi (P) đi qua K vàvuông góc với OK Từ đó ta suy ra phương trình của (P) là:

™ A1;1;0' Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với D ,

, chọn C2; 1; 2  d C, zA Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của

C lên Q và ', khi đó M ACH vàsin sinACH AH AK

AC không đổi nên suy ra M nhỏ nhất œH K{ hay Q là mặt phẳng đi qua' và vuông góc với mặt phẳng ACK

™ Mặt phẳng ACK đi qua ' và vuông góc với D nên: n nACK ¬ ªªn n D ,n n'º ¼º

™ Do Q đi qua ' và vuông góc với mặt phẳng ACK nên:

¾ Công thức giải nhanh: n n E « ª¬ªª¬n n n n n n n NM,n n n n n n n'º¼,n n n NMº »¼ººº

™ Chứng mình tương tự câu 15: n n E 1;10; 22 suy ra

™ Dấu “=” xảy ra khi: a  11;b 25;c Ÿ   1 a b c 15

Câu 18: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A1; 2; 3 , B  1;0; 3 ,  C 2; 3; 1    Điểm

™ P lớn nhất khi EM nhỏ nhất Mặt cầu (S) có tâm

¼ ,

1

u

Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng P :x2y2z 1 0,

Q :x y 2z và điểm 1 0 I1;1 2   Mặt cầu S tâm I, tiếp xúc với P và mặt

phẳng D :ax by cz   vuông góc với m 0 P , Q sao cho khoảng cách từ I đến (α)

bằng 29 Biết rằng tổng hệ số a b c m   dương

Cho các mệnh đề sau đây:

(1) Điểm A1;1;0 và B1;1; 2 thuộc mặt cầu S

(2) Đúng: Thay tọa độ điêm vào mặt phẳng (3) Sai: Thực chất ta tưởng lầm rằng mặt phẳng phẳng (α) song song (d) nhưng

thực chất là (d) thuộc phẳng phẳng (α), các em kiểm tra bằng cách tính khoảngcách 2 điểm bất kỳ đến (α) đều bằng 0

(4) Đúng (5) Sai: Do khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng lớn hơn bán kính mặt cầu

nên hai mặt không giao nhau

Câu 23: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A2; 3; 0 , B0;  2; 0 và đường thẳng d

có phương trình 0

2

x t y

b a c

B 23

34

di động trên (P) sao cho độ dài đoạn thẳng MN là ngắn nhất, khi đó

™ Trong trường hợp này, M ở vị trí M0 và N ở vị trí N0 Dễ thấy N0 là hình chiếu

vuông góc của I lên mặt phẳng (P) và M0 là giao điểm của đoạn thẳng IN0 với mặt cầu (S) Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P) thì N0 ˆd P ,khi đó

2 2 2

3

4; 5; 0 4

Câu 28: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu 2 2 2

S x y z  x y m và đườngthẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng P : 2x2y z  1 0, Q x: 2y2z 4 0

Tìm m để mặt cầu (S) cắt đường thẳng d tại hai điểm M, N sao cho MN 8

Câu 29: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm E2;1; 5, F4; 3;9 Gọi ' là giao tuyến

của hai mặt phẳng P : 2x y z   , 1 0 Q x y:  2z Điểm 7 0 I a b c ; ;  thuộc '

sao cho biểu thức P IE IF lớn nhất Tính a b c  ?

™ Trong mặt phẳng '; EF mọi điểm I thuộc ' ta có IE IF dEF

™ Dấu “=” xảy ra khi I, E, F thẳng hàng, suy ra I{A1; 0; 3

Câu 30: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A   1; 1; 2, B   2; 2;1 và mặt phẳng

P :x3y z  Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB, 2 0 ' là giao tuyến của

(P) và (Q) Điểm M a b c ; ;  thuộc ' sao cho độ dài đoạn thẳng OM là nhỏ nhất, khi đó

?

a b c 

14

™ Dấu “=” xảy ra khi t Ÿ1 M1; 0; 2

Câu 34: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A1; 1; 2  , B3; 4; 2  và đường thẳng



¾ Giải:

™ AB 2; 3; 4  Ÿ AB/ /d Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua d

Vì AB//d nên I là trung điểm của A’B

™ Gọi H là hình chiếu của A lên d suy ra 36 33 15; ;

™ AB có độ dài nhỏ nhỏ nhất khi AB là đoạn vuông góc chung của d và d’ hay:

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D '' '' '' '' có

A trùng với gốc hệ tọa độ Cho B a... class="text_page_counter">Trang 2

™ Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x ... y 2 0 và

m

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng qua điểm M1;3;9và