[r]
Trang 1PHÒNG GD&ĐT HUYỆN NĂM CĂN
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG HUYỆN
NĂM HỌC 2014-2015
MÔN: TOÁN
Câu 1 (4 điểm)
)
2 4 2 3 2 4 2 3
( 3 1) ( 3 1) 2(2 3 1) 2(2 ( 3 1))
a A
( 3 1) ( 3 1)
2 3( 3 1) 2 3( 3 1)
3 1 3 1
1
2 3
B
- Rút gọn
2 2
B
- Tính giá trị của biểu thức B khi y 4 12
2
3 1
4 12 4 2 3
B
y
0,5 0,5 0,5 0,5
0,5
0,5
1,0
Câu 2 (5 điểm)
a Cho đa thức: f x 2x3 3ax2 2xb Xác định a, b để f(x) chia
hết cho x-1 và x+2
Khi f(x) chia hết cho x-1 nên ta có f(1) = 0
4 3
0 2
3
a b a b (I)
Khi f(x) chia hết cho x+2 nên ta có f(-2) = 0
20
a b (II)
0,5 0,5
Trang 2Từ (I) và (II) ta tính được ; 12
3
8
a
b) Chứng minh rằng : n46n311n26nM24 với mọi nZ
Ta có:
2
2
n n n n n n n n
n n n n n n
n n n n n n
n n n n
n n n n
Mà 24 = 2 3 3
Vậy tích 4 số nguyên liên tiếp chia hết cho 3 và chia hết cho 8 nên tích
n(n+1)(n+2)(n+3) chia hết cho 24
Vậy n46n311n26nM24 với mọi n Z
1,0
1,5 0,5
Câu 3 (2 điểm)
CMR: Nếu x2 3 x4y2 y2 3 x2y4 a thì 3 x2 + 3 y2 = 3 a2
Đặt 3 x2 = b; và 3 y2 = c (b, c0) Khi đó x2 = b3 và y2 = c3
Thay vào (1) ta được:
b3 3 b6c3 c3 3 b3c6 a
b3 b2c c3 bc2 a
b b c c c b a
(bc)( bc) (bc)3 a
b c 3 a2 3 x2 3 y2 3 a2
0,5
1,5
Câu 4 (3 điểm)
Gọi x là thời gian máy thứ nhất bơm một minh đầy ao (x>0)
Gọi y là thời gian máy thứ hai bơm một mình đầy ao (y>0)
Ta có phương trình
1,0
1,0 1,0
Trang 3Giải ra được 18
12
x y
Câu 5 (2 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường cao AH, BK
Chứng minh rằng: 12 12 1 2
4
BK BC AH
HS vẽ hình đúng mới chấm điểm bài làm
A
D
K
H
Dựng đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt AC tại D
AH//BD, HB = HC (gt) AD = AC
AH là đường trung bình tam giác BDC
1
2
Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông BDC tại B ta có:
4
BK BC BD BC AH
0,5
1,0
0,5 Câu 6 (4 điểm) HS vẽ hình đúng mới chấm điểm bài làm
a
A
D
K
H
Gọi H là trung điểm AC Từ giả thiết suy ra ADC cân tại D 0,5
Trang 4Do đó DHAC và AH = 1
2AC
Kẻ AKBC Vì AKC vuông tại K và ·ACK 300nên AK =1
2AC = AH
Mà ·BAK DAH· 500 nên AKB = AHD (g-c-g)
Vậy AB = AD, hayABD cân (đpcm)
0,5
0,5
0,5
b Vẽ hình đúng mới chấm điểm bài làm
O E
C
B
A D
H
Xét ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R)
Sắp xếp µ µ µA B C Ta có µ µA B 450 (Vì giả sử µB450 và µA<90 0 thì dẫn đến
µ 450
C trái với sắp xếp trên
Kẻ đường kính COD cắt AB tại E
Kẻ AHCD ADH vuông tại H có
B ADH AH > DH AE > AH còn AC > HC
Từ đó AE + AC > DH + HC = DC = 2R
Tương tự BE + BC > 2R
Vậy AB + BC + CA > 4R
0,5
1,0 0.5
Lưu ý: Nếu học sinh có cách giải khác vẫn cho điểm tối đa
- Hết -