Cần xây dựng một kho hàng tại vị trí điểm D trên đoạn thẳng AB.. Vị trí điểm D cần cách điểm A bao nhiêu để chi.[r]
Trang 1
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP KỸ SƯ TÀI
N ĂNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
N ĂM HỌC 2020 -2021
Th ời gian 180 phút, không tính thời gian phát đề
ĐỀ BÀI
Câu 1: Biết 3 địa điểm A B C, , lập thành tam giác vuông tại B, khoảng cách từ Cđến B là 5km và
từ B đến A là 6km Cần xây dựng một kho hàng tại vị trí điểm D trên đoạn thẳng AB Giả
sử chi phí vận chuyển cho một đơn vị hàng đi thẳng từ A đến D là 400 nghìn VNĐ/km, và thẳng từ D đến Clà 600 nghìn VNĐ/km Vị trí điểm D cần cách điểmA bao nhiêu để chi phí vận chuyển một đơn vị hàng (thẳng từ A đến D rồi thẳng đến C) là nhỏ nhất
Câu 2: Trong không gian cho tam giác vuông tại Tìm điểm thỏa mãn MA2+MC2 ≤MB2
Câu 3: Cho một đa giác đều gồm 2n đỉnh (n∈N n, >1) Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh trong 2n đỉnh của
đa giác đều đã cho Biết rằng xác suất ba đỉnh được chọn lập thành một tam giác vuông là
3
4039 Tìm n
Câu 4: Chứng minh rằng nếu a>1 thì hàm số ( )= x−1
a
f x
x đồng biến trên từng khoảng xác định của
nó
Câu 5: Tìm giá trị của tham số m bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x∈
3x+5x+7x ≥ +3
mx
Câu 6: Cho dãy số ( )u n được xác định bởi công thức
n
Hãy tính giới hạn của ( )u n
Câu 7: Biết rằng x∈ là nghiệm của phương trình 2
2
1 7
x
5 1
S x
x là một
số nguyên
Câu 8: Cho hàm số y= f x liên t( ) ục trên đoạn [ ]0;1 và thỏa mãn xf y( )+yf x( )≤ ∀ ∈1, x [ ]0;1
0
4
π
≤
∫ f x x
Câu 9: Giải hệ phương trình ( )( ) ( )
( )
2
Câu 10: Chứng minh rằng nếu với mọi x∈ ta có
λ x+λ x+λ x+λ x− +π λ x− π λ+ x− π = ,
thì λ λ1= 2 =λ3 =λ4 =λ5 =λ6 = 0
……… H ẾT………
Trang 2H ƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: (Đề tuyển sinh hệ kĩ sư tài năng 2020 ĐHBK HN) Biết 3 địa điểm A B C, , lập thành tam giác
vuông tại B, khoảng cách từ Cđến B là 5km và từ B đến A là 6km Cần xây dựng một kho hàng tại vị trí điểm D trên đoạn thẳng AB Giả sử chi phí vận chuyển cho một đơn vị hàng đi thẳng từ A đến D là 400 nghìn VNĐ/km, và thẳng từ D đến Clà 600 nghìn VNĐ/km Vị trí điểm D cần cách điểmA bao nhiêu để chi phí vận chuyển một đơn vị hàng (thẳng từ A đến D rồi thẳng đến C) là nhỏ nhất
Lời giải
Đặt BD=x, (0≤ ≤x 6)
Chi phí vận chuyển một đơn vị hàng đi thẳng từ A đến D là 400.000 6( − x )
Chi phí vận chuyển một đơn vị hàng đi thẳng từ D đến C là 600.000 5+ x 2
Tổng chi phí vận chuyển một đơn vị hàng (thẳng từ A đến D rồi thẳng đến C) là
400.000 6− +600.000 5+ =100.000 4 6 − +6 5+ =100.000
Với ( ) ( ) 2 [ ]
2 3 2 5 2
4 6
x
f x
Ta có f ( )0 =24 6 5+ 37, 42; f ( )2 =34; f ( )6 =6 4138, 42
Do đó
[ ]0;6 ( ) ( )
Chi phí vận chuyển ít nhất là 100.000.f x( )=100.000 34× =3.400.000VNĐ, đạt được khi
2
=
Câu 2: Trong không gian cho tam giác vuông tại Tìm điểm thỏa mãn
Lời giải
Trang 3
Gọi là điểm đối xứng với qua trung điểm của Khi đó là hình chữ nhật
Do đó
Suy ra
Vậy
Câu 3: Cho một đa giác đều gồm 2n đỉnh (n∈N n, >1) Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh trong 2n đỉnh của
đa giác đều đã cho Biết rằng xác suất ba đỉnh được chọn lập thành một tam giác vuông là
3
4039 Tìm n
Lời giải
Số tam giác có thể có là 3
2n
C
Số hình chữ nhật có thể bằng số cách chọn 2 đường chéo xuyên tâm và bằng 2
n
C
Mỗi hình chữ nhật cho 4 tam giác vuông Do đó số tam giác vuông bằng 2
4.C n
Do xác suất chọn được tam giác vuông bằng 3
4039 nên 2
3
2
2020
4039
n n
C
n C
Câu 4: Chứng minh rằng nếu a>1 thì hàm số ( ) −1
=a x
f x
x đồng biến trên từng khoảng xác định của
nó
Lời giải
= a x
f x
x
Tập xác định D= −∞( ; 0) (∪ 0;+∞)
′ = a x a x a x
f x
Xét hàm số ( )= x.ln − x+1
Trang 4( ) 2
.ln
Bảng biến thiên
Suy ra g x( )>0 với mọi x∈D ⇒ ′f ( )x >0 với mọi x∈D
⇒ hàm số f x ( ) đồng biến trên trên từng khoảng (−∞; 0) và (0;+∞ )
Câu 5: Tìm giá trị của tham số m bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x∈
3x+5x+7x ≥ +3
mx
Lời giải
Xét hàm số ( )=3x+5x+7x− −3
Điều kiện cần
Do ta cần có ( )
0,
=
x
f x
Ta có ′( )=3 ln 3 5 ln 5 7 ln 7x + x + x −
Vì hàm số đạt cực tiểu tại x= ⇒0 f′( )0 = ⇔ =0 m ln 3 ln 5 ln 7+ + =ln105
Điều kiện đủ
Với m=ln105
Ta có:
Suy ra f′( )x đồng biến trên
Vì f′( )0 =0 và ( )
( )
lim
→+∞
→−∞
′
<
x
x
f x
Trang 5
Do đó m=ln105 là giá trị cần tìm
Câu 6: Cho dãy số ( )u n được xác định bởi công thức
n
Hãy tính giới hạn của ( )u n
Lời giải
Ta có
1
Suy ra:
1
1
k
Vì
1
→+∞ n =
Câu 7: Biết rằng x∈ là nghiệm của phương trình 2
2
1 7
x
5
1
S x
x là một
số nguyên
Lời giải
Ta có
2 2
2
1 3
1 3
+ =
x x
x x
Đặt a=x b; = 1
x, ta có ab=1 và
(a b+ ) =a +b +5(ab +a b) 10(+ a b +a b )=a +b +5ab b( +a ) 10+ a b a b ( + ) Suy ra
(a b+ ) =a +b +5(b +a ) 10(+ a b + )
Vì (a b+ ∈ ⇒) (a b+ )5∈ Do đó để chứng minh S =a5+b5 là một số nguyên thì ta cần chứng minh a3+b3 là một số nguyên
Ta có a3+b3 =(a b+ )3−3ab a b( + )=(a b+ )3−3(a b+ ∈)
Suy ra điều phải chứng minh
2
1 7
x
5
1
= +
S x
x là một số nguyên
L ời giải
Cách 1 Có
2 2
2
+ = ⇔ + =
1
= + = ± ∈
x
Trang 65 4 2
2
1
2
42
= + + − + = ∈
Cách 2 Có
2 2
2
+ = ⇔ + =
1
= + = ± ∈
x
x và
1 ,
a x b
x ta được: a b+ =S a b1, =1 Suy ra a b là nghiệm của phương trình 2
1 1 0
Cộng (1) và (2) ta được: S n+2 −S S1 n+1+S n =0 với mọi n≥0 Vì S S1, 2∈, nên bằng quy nạp
dễ dàng suy ra ∈S n với mọi n≥0 Thay n=5 ta được điều phải chứng minh
Phát triển bài toán:
1 Cho hai số a b, thỏa mãn a b a b+ , ∈ Khi đó = n+ ∈n
n
Kết quả này suy ra trực tiếp từ cách chứng minh số 2
2 Cho x x x là các 1, 2, 3 nghiệm thực (hoặc phức) của phương trình 3 2
0
là các số nguyên thì
= n+ n+ n
n
S x x x là số nguyên với mọi n≥0 (Quy ước S0 =k )
Chứng minh: Theo định lý Viet cho phương trình bậc 3 ta có
1 2 1 2 2 3
1 2 3
x x x x x x b
Từ đó suy ra:
2 = 1 + 2 + 3 =( 1+ 2+ 3) −2( 1 2+ 1 3+ 2 3)∈
Từ giả thiết ta có: 3 2
0
x ax bx c với i=1, 2, 3 Suy ra
0
được
Từ S S S , và 1, 2, 3 a b c, , là các số nguyên nên ta có S n là các số nguyên
3 Tổng quát cho k số bất kì Giả sử x1, ,x k là các nghiệm thực (hoặc phức) của phương trình
1
−
k
1
= n+ + n
Chứng minh tương tự trường hợp 3 số ta được
Trang 7
+ + − + − + + + + =
Vì vậy để chứng minh S n là số nguyên với mọi n ta chỉ cần chỉ ra S i là số nguyên với mọi
1, ,
=
i k Việc này cần áp dụng định lý về sự phân tích đa thức đối xứng trên vành số nguyên ( Mời bạn đọc tự tham khảo ạ)
4 Trong các bài toán trên ta có thể thay S n bởi bất kì một đa thức đối xứng với hệ số nguyên thì kết quả bài toán vẫn đúng
Câu 8: Cho hàm số y= f x liên t( ) ục trên đoạn [ ]0;1 và thỏa mãn xf y( )+yf x( )≤ ∀ ∈1, x [ ]0;1
Chứng minh rằng 1 ( )
0
4
π
≤
∫ f x x
L ời giải
1
Suy ra
2
1
1
−
x
Cách khác: Cho hàm số ( )f x liên tục trên đoạn [ ]0;1 và thỏa mãn
[ ]
( )+ ( ) 1,≤ ∀ , ∈ 0;1
0
4
π
≤
∫ f x x
L ời giải
Đặt x=sint⇒dx=cos dt t
1
4
π
= → =
= → =
Ta có
( )d cos (sin )d
π
=
∫ f x x ∫ tf t t (1) Đặt x=cost⇒dx= −sin dt t
Ta có
4
π
π
Cộng theo từng vế (1) và (2) ta được
4
π
Trang 80
4
π
⇒∫ f x x≤ (đpcm)
Câu 9: Giải hệ phương trình ( )( ) ( )
( )
2
Lời giải
Điều kiện
1 3 4 5
≥ −
≤
x y
Kết hợp phương trình ( )1 ta có
0
Thay vào phương trình ( )2 ta được
2
2
0 1
=
x
3
Vậy phương trình đã cho có các cặp nghiệm ( )x y là ; ( )0; 0 và (1; 1− )
Lời giải 2
( )
2
3 3 3 1 4 5 2
( ) ( 2 )( 2 )( 2 )
2
4
+ −
( )
4
( ) 2 2 2 4
+ +
Trang 9
⇒ Hàm số đồng biến trên (−∞ +∞ ; )
( )1 ⇔ = −y x , thay vào ( )2 ta được:
2
3x − + =x 3 3x+ +1 5x+4 (điều kiện: 1
3
≥ −
2
( ) ( 1) ( 1)
x x
x x
= ⇒ =
⇔ = − ⇒ =
Vậy ( ) ( ) (x y; = 0; 0 , −1;1)
thì λ λ1= 2 =λ3 =λ4 =λ5 =λ6 = 0
Lời giải
λ x+λ x+λ x+λ x− +π λ x− π λ+ x− π = ( )*
Ta có hàm y=sin x a − có đạo hàm tại mọi điểm khác a và không có đạo hàm tại = x a
Từ ( )* ta có λ4sin |x−π| có đạo hàm tại x=π nên λ = 4 0
Tương tự ta có λ5 =λ6 = 0
Vì ( )* đúng với mọi x∈ nên
Thay
2
π
=
Thay
3
π
=
x vào ( )* ta có
2
Thay
4
π
=
Từ ( )1 , ( )2 và ( )3 ta có λ λ1= 2 =λ3 = 0
Trang 10Vậy λ λ1= 2 =λ3 =λ4 =λ5 =λ6 = 0