Ứng dụng phương pháp hàm số giải phương trình mũ và logarit

DẠNG TOÁN: Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình mũ, logarit... Tính tổng bình phương tất cả các phần tử của tập S..[r]

KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1 Định lý: Nếu hàm số y f x  đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên a b;  thì

* u v; a b; :f u  f v uv

* Phương trình f x kkconst có nhiều nhất 1 nghiệm trên khoảng a b; 

2 Định lý: Nếu hàm số y f x  đồng biến (hoặc nghịch biến) và liên tục trên a b; , đồng thời

1.1 So sánh hai logarit cũng cơ số:

Cho số dương a  và các số dương 1 b c,

 Khi a  thì 1 loga bloga cbc

 Khi 0a1 thì loga bloga cbc

log ( )a b b loga b loga b

3 Logarit của một thương:

Cho 3 số dương a b b, 1, 2 với a 1, ta có

4 Logarit của lũy thừa:

Cho a b, 0,a1, với mọi  , ta có

5 Công thức đổi cơ số:

Cho 3 số dương a b c, , với a1,c1, ta có

loglog

log

c a

c

b b

BÀI TẬP MẪU

Có bao nhiêu cặp số nguyên x y;  thỏa mãn 0x2020 và log 33 x3x2y9 ?y

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình mũ, logarit

*Tính y và xét dấu y

*Kết luận tính đơn điệu của hàm số y f t  trên D

B3: Tìm mối liên hệ giữa x y; rồi tìm các cặp số x y;  rồi kết luận

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn D

Bài tập tương tự và phát triển:

Câu 47.1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  2019 ; 2019 để phương trình

50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG : 2019-2020

Mà m  2019 ; 2019 và m  nên có 2017 giá trị m thỏa mãn

Câu 47.2: Có bao nhiêu cặp số nguyên x y;  thỏa mãn 0 y2020 và 3 2 1

x

x

y y

y

t  m tm   (3)Phương trình (3) có nghiệm khi  0 3m212m0 0 m4

Do đó có 5 số nguyên m thỏa mãn

Câu 47.4: Có bao nhiêu số nguyên của m để phương trình   2

log 2xm 2 log xx 4x2m1 có hai nghiệm thực phân biệt ?

Lời giải Chọn C

Phương trình có 2 nghiệm dương khi 4 2m0  2 m0 suy ra có 1 giá trị nguyên

Câu 47.5: Biết x1,x2 là hai nghiệm của phương trình

2

2 7

x x a b với a , b là hai số nguyên dương Tính  a b

A. ab13 B. ab11 C. ab16 D. ab14

Lời giải Chọn D

Điều kiện: 1

0,2

 1 log 25 x12log 23 xlog5x2log3x1 (*)

Xét hàm số f t log5t2 log3t1, với t1

 

0.ln 5 1 ln 3

50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG : 2019-2020

Mà  6sinx 5 cosx 6 nên để phương trình có nghiệm ta phải có 5 6 m  5 6.

Câu 47.9: Số nghiệm thực của phương trình 6x 3log 56 x12x1 là

Lời giải Chọn B

x x

Từ BBT suy ra phương trình h x   0 có nhiều nhất 2 nghiệm thuộc khoảng 1;

Vậy phương trình đã cho có đúng hai nghiệm x0,x 1

Câu 47.10: Tính tổng S tất cả các nghiệm của phương trình 5 3 1

Nên g x '  0 có không quá 1 nghiệm suy ra g x   0 có không quá 2 nghiệm trên

1

;3

 

  Mà g 0 g 1 0 Vậy phương trình có tập nghiệm là 0,1 Do đó S 1

Câu 47.11: Số nghiệm của phương trình

PTln x2802 x280ln 3x12.3x1 (1)

Xét hàm số f t lnt2 ,t  t 0; Ta có: f  t 1 2 0, t 0

t

       Hàm số f t  đồng biếntrên 0; 

f x   f   x    x      x   Xét hàm số   1 2

2.9 ln 3 24.9 ln 3 2

Dựa vào bảng biến thiên ta có g x' 0, x  hàm số g x  đồng biến trên  

phương trình g x   0 có nhiều nhất một nghiệm

Mà g 1 0

Do đó phương trình đã cho có duy nhất 1 nghiệm

Câu 47.12: Cho phương trình 2xmlog2x m  với m là tham số Có bao nhiêu giá trị nguyên của

 18;18

m   để phương trình đã cho có hai nghiệm?

50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG : 2019-2020

A. 20 B.17 C. 9 D. 21.

Lời giải Chọn B

Từ (1) suy ra f x  flog (2 xm) xlog (2 xm) xm2x mx2x

Vậy có 17 giá trị của m

Câu 47.13: Cho phương trình

Suy ra hàm số f t  đồng biến trên 2; .

Do đó phương trình tương đương với 3 2 3 2  

2 logx x 2 4x a log 2 xa 2 Gọi S là tập hợp các giá trị

a thuộc đoạn 0; 2020 và chia hết cho 3 để phương trình có hai nghiệm Hãy tính tổng cácphần tử của S

Lời giải Chọn C

Phương trình tương đương

     , nên f t  đồngbiến 2;   

Xét 2 vị trí nhánh trái và phải của đồ thị hàm số  2 tiếp xúc với  1 khi đó dễ dàng tìm được

Xét hàm số f t 2 log ,t 2t  t 2; Ta có:   2 ln 2 0, 2

ln 2

t t

Phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt nếu xảy ra một trong các trường hợp sau:

* TH1: (2) có hai nghiệm phân biệt và (3) có nghiệm kép khác hai nghiệm của (2):

a a

a a

* TH3: (2) và (3) đều có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm chung:

Điều này xảy ra khi hệ

2 2

Nhận xét  * có 3 nghiệm phân biệt

nh¸nh bªn tr¸i cña (2) tiÕp xóc víi (1) nh¸nh bªn ph¶i cña (2) tiÕp xóc víi (1)(1) vµ (2) cïng trïng cùc trÞ t¹i 1

Vậy có 3 giá trị của a thỏa mãn bài toán

Câu 47.16: Tìm tổng tất cả các giá trị của tham số a để phương trình

Phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt nếu xảy ra một trong các trường hợp sau:

* TH1: (2) có hai nghiệm phân biệt và (3) có nghiệm kép khác hai nghiệm của (2):

a a

a a

* TH3: (2) và (3) đều có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm chung:

Điều này xảy ra khi hệ

2 2

Điều kiện xác định: x2mx x240

2

log x mx x 4  2m9 x 1 1 2 m x 4

Do m nguyên thuộc 20 ; 20 nên số giá trị m là 23

Câu 47.18: Cho x y, là hai số thực dương thỏa mãn 2 2  2 2  2 2 2



C. 1 9 2. D 17

Lời giải Chọn A

Câu 47.19: Cho các số dương x y, thỏa mãn log5 1 3 2 4

Lời giải Chọn D

ĐK:

10

2

4

32

x x

x y

Câu 47.20: Cho hai số thực x y, lớn hơn 1 và thỏa mãn y x.(e x e) y x y.(e y e) x Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức Plogx xylogy x

A. 2

1 2 22



2



Lời giải Chọn C

2'( )

1 0

f t

t ,   0t do đó hàm f t đơn điệu. Vậy  1  1 2xx y 3x y 1  2

ming x 8 Vậy Pmin 8

Câu 47.23: Cho hai số thực ,x y không âm thỏa mãn 2 2 2 1

Tìm giá trị nhỏ nhất ymin của y

A ymin 3 B ymin 2 C ymin 1 D ymin  3

Lời giải Chọn B





 

2 2





   

Loại x   vì điều kiện của 1 t nên f 2  2

Vì f t 5 ln 5t 3 ln 3t      nên hàm số 1 0; x f t  đồng biến trên   2

Từ  1 và  2 ta có x4yxy1 3  Dễ thấy x  không thỏa mãn 4  3

Với x 4,  3 1

4

x y x



 

 kết hợp điều kiện y 0 suy ra x  4

50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG : 2019-2020

Từ bảng biến thiên ta thấy Tmin  3 2 3 tại x 2 3

Câu 47.28: Xét các số thực dương ,x y thỏa mãn log3 3 3 1

1

x y

xy y x xy



 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x 1

log x 1 y 1 y 9 x 1 y 1 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 2y là

x y



89

1

y x

Vậy Pmin   3 6 2 khi      

     Suy ra hàm số đồng biến trên

0;  Suy ra  log 3 13  y3 1 ylog3x3xy  x3xy3 1 yx3xy

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y1

50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG : 2019-2020

    với mọi t 0 nên hàm số f t 

luôn đồng biến và liên tục trên 0; 

Từ (*) suy ra 1 9

1

x y

A. 59

Lời giải Chọn B

Điều kiện: 0

x y

82

x y

x x

y x

y y

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 19

Câu 47.36: Cho x y là các số dương thỏa mãn ,

x y

Nhận thấy t  là nghiệm phương trình 2

Ta chứng minh t 2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Vậy tx22y2

2

22

A. 2

1 2 22



2



Lời giải Chọn C

1 1 2

Chọn B

2 2

1 1 2

4xx  log 14 y2 y1

Ta có

2 2

2 2

1 1

2 1 1

4x x  4 x x   , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 4 x   , 1Mặt khác 14y2 y 1 14 3 y 1  y13

2

30min



30 0;

x y

nhất của P Khi đó giá trị của T 4mM bằng bao nhiêu?

Lời giải Chọn A