Vì AC vuông góc đoạn xiên SA nên AC vuông góc hình chiếu HA.. Suy ra HC song song AB.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TÌNH LỚP 12 THPT
- -
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC
MÔN TOÁN Ngày thi 01/11/2011 (Hướng dẫn chấm này gồm có 03 trang)
Bài 1.1
(2,5 điểm)
Điều kiện : 0≤ ≤ x 4
BPT đã cho tương đương với BPT
x − x+ − x − x+ > − −x x
4
− +
4
− +
Kết hợp với điều kiện, nghiệm của BPT đã cho là 2< ≤x 4.
0,5đ
1,0đ
0,5đ
0,5đ Bài 1.2
(2,5 điểm) Hệ đã cho được viết lại :
2 2
−
Đặt u= +x y v, = − ta được hệ x y
2
2 7
(1) (
7
2)
⇔
2
1
3
v v v
=
= −
Hệ (1) và (2) có 3 cặp nghiệm : (7 ; 1), (5 ; 2), (−5 ; −3)
Hệ đã cho có 3 cặp nghiệm : (4;3), ( ; ), ( 4; 1)7 3
2 2 − −
1,0đ
0,5 đ
0,5đ
0,5đ
Bài 2
(5 điểm) Xét hàm số
2 ( ) sin x
π
Ta có f/( )x cosx 2
π
= − và /
( ) 0
f x = có duy nhất nghiệm 0 (0; )
2
Dựa vào BBT ta có ngay ( ) sin 2 0, (0; )
2
x
π
1,0đ
1,0đ
x / ( )
f x ( )
f x
0 x 0
2 π
0 − +
Trang 2Vì hàm số y=cosx và hàm số
2 2
4
y
π
= − là các hàm số chẵn nên ta chỉ cần chứng
minh
2 2
4 cosx 1 x
π
≤ − đúng với mọi [0; )
2
Theo trên, [0; )
2
∀ ∈ ta có sinx 2x 0
π
≥ ≥ Do đó,
Mặt khác, cos 0, [0; )
2
> ∀ ∈ nên ta được
2 2
4 cosx 1 x
π
≤ − đúng với mọi [0; )
2
1,0đ
1,0đ
1,0đ Bài 3
(5 điểm) ∆ABC vuông tại B nên
5
AC= AB +BC = Gọi H là hình chiếu của S lên mp(ABC)
Vì AC vuông góc đoạn xiên SA nên AC vuông góc hình chiếu HA
Tương tự, BC ⊥ HC Suy ra HC song song AB
Do đó, HCA=CAB Vì vậy, ACH∆ ∼∆BAC
Vì AH AC
4
AH = Suy ra, SH = SA2−AH2 =5
SABC ABC
V = S SH = AB BC SH = cm
S
0,5đ 1,0đ
1,0đ 1,0đ 1,0đ
0,5đ
Bài 4
(5 điểm) ĐK sinx 0 x k
π
≠ ⇔ ≠ Đặt t=cosx, −1 < t < 1
PT đã cho trở thành :
2 2t +(2 3 2)+ t −(4 2−3)t −(2 3 2)+ t+2 2 =0
Vì t = 0 không là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho 2
t ta được
2 2
2 2(t ) (2 3 2)(t ) 3 4 2 0
0,5đ 1,0đ
0,5đ
Trang 3Đặt y t 1
t
2
1
2
t
(1) trở thành 2
3 2
2 2
y
y
= −
= −
2
y = − ta được t = −2 (loại ) và 1 2
π
2
y = − ta được t = − 2 ( loại ) và 2 2
π
3
π
4
π
0,5đ
1,0đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
HẾT