Tuyển tập 44 đề thi HSG lớp 10 có lời giải chi tiết

Đường thẳng AE và BF cắt nhau tại I.. b) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm. Tính tỉ số diện tích của tam giác ABC và tam giác AIC. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông [r]

TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

ĐỀ 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TPHCM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

Câu 5: (4 điểm) Cho hình vuông ABCD, trên cạnh BC lấy điểm E sao cho CE = 2BE Lấy điểm F

trên đường thẳng CD sao cho 1

Câu 1 (2,0 điểm) Cho parabol (P): 2

yx  x a) Khảo sát và vẽ parabol (P)

b) Tìm m để phương trình x24x  5 m 0có đúng một nghiệm thuộc ;0  5;

Câu 2 (4,0 điểm) Giải phương trình và bất phương trình sau:

a) Giải hệ phương trình khi m12

b) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm

Câu 4 (3,0 điểm)

Cho các số thực dương x x x1, 2, , 3 x2018 thỏa x1    x2 x3 x2018  1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 1 x1 1x2  1  x3 1x2018

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có tâm I 1;1 Các điểm M2; 2 , N 2; 2 

lần lượt thuộc cạnh AB CD Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông , ABCD biết đỉnh A có hoành độ

dương

-HẾT -

ĐỀ 3

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TPHCM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

Câu 1 (2,0 điểm) Cho parabol 2

( ) :P yx 4x3 a) Khảo sát và vẽ parabol ( )P

b) Tìm m để phương trình x24x  4 m 0 không có nghiệm thuộc đoạn [ 1, 0]

Câu 2 (4,0 điểm) Giải phương trình và bất phương trình sau:

a) Giải hệ phương trình khi m 3

b) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có hai nghiệm

Câu 4 (3,0 điểm) Cho các số thực dương , ,a b c thỏa a2b2c2 1 Chứng minh rằng:

Câu 5 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R , gọi M là điểm bất

kì trên đường tròn Chứng minh rằng:

a) MA22MB MC 3R2

b) MA2 MB2MC24MB MC

Câu 6 (4,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD, trên đoạn AC lấy điểm M

sao cho AC4AM và N là trung điểm CD Chứng minh tam giác BMN vuông cân

-HẾT -

Câu 1 (4 điểm) Cho hàm số   2  

1 Giải bât phương trình: 3x 2 x 3 x33x1

2 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x :

2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A (1;2) Đường thẳng chứa canh

BC có phương trình: x + y + 1 = 0 Tìm tọa độ B và C, biết AB = 2AC

3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn

Câu 5 (2 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng

3 a2 3 b2 3 c2 1

a b cb c ac a b

ĐỀ 5

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

22( 1) 16

x  m x  m  ( m là tham số) Tìm tất cả giá trị của tham số m để

phương trình có 4 nghiệm phân biệt x x x x1, 2, 3, 4 thỏa mãn x14x24x34x44 52

b) Giải phương trình 2  

4x 12x x 1 27 x1

Câu 3 ( 5,0 điểm)

a) Cho tam giác ABC có BC , a AC , b AB c, độ dài ba đường cao kẻ từ đỉnh , , A B C lần lượt

là h h h Biết rằng a, b, c a sinA b sinB  c sin Ch ah bh c, chứng minh tam giác ABC đều

b) Cho hai tia Ax , By với AB100 cm , xAB450 và

ByAB Chất điểm X chuyển động trên tia Ax bắt đầu từ A

với vận tốc 3 2 cm s/ , cùng lúc đó chất điểm Y chuyển

động trên tia By bắt đầu từ B với vận tốc 4 cm s/  Sau t

(giây) chất điểm X di chuyển được đoạn đường AM , chất

điểm Y di chuyển được đoạn đường BN Tìm giá trị nhỏ nhất

Câu 1 Cho hàm số yx22x2  1

a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị  P của hàm số  1

b) Tìm m để phương trình x2 2x  2 m 0 có hai nghiệm x và 1 x thỏa mãn 2 x1   1 3 x2

Câu 3 Cho tam giácABC Đặt aBC, bAC, cAB Gọi M là điểm tùy ý

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức PMA2MB2MC2 theo a , b , c

b) Giả sử a 6 cm, b2 cm, c 1 3 cm Tính số đo góc nhỏ nhất của tam giác ABC và diện tích tam giác ABC

Câu 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD Gọi H là hình chiếu của A lên BD;

I là trung điểm của BH Biết đỉnhA 2;1 , phương trình đường chéo BD là:x5y190, điểm

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng AH Tìm tọa độ điểm H ?

b) Viết phương trình tổng quát của cạnh AD

Câu 5 Cho ba số dương a , b , c thỏa mãn a2b2c2 1 Chứng minh rằng

2 2 2 2 2 2

3 32

b c c a a b 

-HẾT -

x  m m  có bốn nghiệm phân biệt

2) Giải và biện luận (theo tham số m) bất phương trình:  1 2

12

m x

m x

-HẾT -

Câu I (6 điểm)

1 Cho parabol   2

P y x  x Tìm giá trị của k để đường thẳng :yk6x1cắt parabol

 P tại hai điểm phân biệt M N sao cho trung điểm của đoạn thẳng , MN nằm trên đường thẳng

1 Cho tam giác ABC có AC = b, BA = a, AB = c ( b < a) Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB,

AC Đường phân gisc trong của góc C cắt DE tại P Đường tròn nội tiếp của tam giác ABC tiếp xúc với AB, BC lần lượt tại N, M

a) TínhBM BN BP theo hai vecto, , BA BC và theo a, b, c ,

b) Chứng minh rằng P, M, N thẳng hàng

2 Cho tam giác ABC có AC = b, BA = a, AB = c là độ dài ba cạnh của tam giác; m m m là độ dài a, b, c

ba đường trung tuyến lần lượt xuất phát từ A, B, C Gọi R, S lần lượt là bán kính đường tròn ngoại

tiếp, diện tích của tam giác ABC Chứng minh rằng nếu 1 1 1 3

2

abm bcm cam  RS thì tam giác

Câu 4 (3 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, đường thẳng BC

có phương trình x + 2y – 17 = 0, đường cao CK có phương trình 4x + 3y – 28 = 0, đường cao BH qua

điểm M(1;6) Tìm tọa độ đỉnh A và tính diện tích tam giác ABC

Câu 5 (2 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a2b2c2 12 Chứng minh rằng:

Câu 1 (5,0 điểm)

1 Cho đường thẳng d m:ymx2m1 và parabol (P): yx23x2 (m là tham số thực) Chứng minh d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt với mọi giá trị của tham số m Tìm m để khoảng m

cách từ đỉnh I của parabol (P) đến đường thẳng d đạt giá trị lớn nhất m

2 Cho phương trình x43x3(2m3)x212x160 (m là tham số thực) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm thực

1 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi d là đường thẳng cố định đi qua G và d’ là đường thẳng

bất kỳ song song với d Chứng minh rằng tổng bình phương khoảng cách từ các đỉnh của tam giác ABC đến đường thẳng d không vượt quá tổng bình phương khoảng cách từ các đỉnh của tam giác ABC đến đường thẳng d’

2 Cho tam giác ABC có 3 góc thỏa mãn  2018  2018  2018

sinA  sinB  sinC Chứng minh rằng tam giác ABC có 3 góc nhọn

Câu 4 (3,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thang cân ABCD (cạnh đáy AB), AB = 2CD,

2 , hoành độ của điểm I là 3 và trung điểm của AB có tung độ không âm

Câu 5 (2,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn   

là tham số thực) và hai điểm A 1; 1, B2; 2 Tìm m để đường thẳng  d cắt parabol  P tại hai

điểm phân biệt M N sao cho , A B M N là bốn đỉnh của hình bình hành , , ,

BC CA AB sao cho BM 5,CM 10, AP4 Chứng minh rằng AM PN

2 Cho tam giác ABC có BCa CA, b AB, c và ,R r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp,

nội tiếp tam giác ABC thoả mãn

3 3 3

24

a b c r

Chứng mình tam giác ABC là tam giác đều

3 Cho tứ giác lồi ABCD có ACBD và nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R1 Đặt diện tích tứ giác ABCD bằng S và ABa BC, b CD, c DA, d Tính giá trị biểu thức

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): (x2)2 (y 3)2 9 và điểm (1; 2)A  Đường thẳng  qua A,  cắt (C) tại M và N Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN

h b c (trong đó AB=c; AC=b; đường cao qua A là h ) a

Câu 5 (1 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng:

từ B đến  Tìm tọa độ của A và C biết C nằm trên trục tung

b) Cho tam giác ABC vuông ở A, gọi  là góc giữa hai đường trung tuyến BM và CN của tam giác

BD BC 1AC

4

AE Tìm vị trí của điểm K trên AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng

b) Cho tam giác ABC vuông ở A; BC = a; CA = b; AB = c Xác định điểm I thỏa mãn hệ thức:

Câu I (2,0 điểm):

Cho parabol (P): y – 2 4 x2 x  và các đường thẳng (dm): y  3 x  2 m  1 (m là tham số)

1) Biện luận số giao điểm của (P) và (dm) theo tham số m

2) Khi (dm) cắt (P) tại hai điểm A, B (A và B có thể trùng nhau), tìm tập hợp trung điểm I của AB khi m thay đổi

Câu III (3,0 điểm):

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có phương trình đường thẳng chứa cạnh

AB là: x2y 2 0, phương trình đường thẳng chứa cạnh AC là: 2x y 1  0 Điểm M(1;2) thuộc đoạn thẳng BC Tìm tọa độ điểm D sao cho DB DC có giá trị nhỏ nhất

2) Cho tứ giác ABCD; hai điểm M, N thay đổi sao cho AM k AB; DN k DC (0 k 1) Gọi I

là điểm thỏa mãn 3IM   2IN Tìm tập hợp các điểm I khi M, N thay đổi

Câu IV (2,0 điểm):

1) Tam giác ABC có S b2 (a c)2 với S là diện tích tam giác, Tính tan B

2) Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa a2b2c2 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

ĐỀ 15

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

Câu I(2,0 điểm) Cho parabol (P): y x2 và đường thẳng (d) đi qua điểm (0; 1)I  và có hệ số góc là

k Gọi A và B là các giao điểm của (P) và (d) Giả sử A, B lần lượt có hoành độ là x x 1, 2

1) Tìm k để trung điểm của đoạn thẳng AB nằm trên trục tung

2) Chứng minh rằng x13x23 2 với mọi k

Câu II(3,0 điểm)

Câu III(4 điểm)

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh (2; 6)A , chân đường phân giác trong kẻ

I 

  Viết

phương trình của đường thẳng BC

2) Cho tam giác ABC thỏa 2m a2 m b2m c2 Chứng minh rằng a2 4 cotS A

Câu IV(1 điểm) Cho ; ; a b c là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn 3 3

Câu I (2,0 điểm)

1) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

2 2

x x y

Câu III (3,0 điểm)

1) Cho tam giácABCcóAB6;BC7;CA5.GọiMlà điểm thuộc cạnhABsao cho

2

AM  MB và N là điểm thuộc AC sao cho AN k AC (k ).Tìm k sao cho đường thẳngCM

vuông góc với đường thẳngBN

2) Cho tam giácABC có I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác và p là nửa chu vi tam giác Biết

Chứng minh rằng tam giác ABC đều

3) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng ABlà

x y  Biết phương trình đường thẳng BD là x7y140và đường thẳng ACđi qua điểm (2,1)

M Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật

Câu IV (1,0 điể Một xưởng sản xuất có hai máy, sản xuất ra hai loại sản phẩm I và II Một tấn sản

phẩm loại I lãi 2 triệu đồng, một tấn sản phẩm loại II lãi 1,6 triệu đồng Để sản xuất 1 tấn sản phẩm loại I cần máy thứ nhất làm việc trong 3 giờ và máy thứ hai làm việc trong 1 giờ Để sản xuất 1 tấn sản phẩm loại II cần máy thứ nhất làm việc trong 1 giờ và máy thứ hai làm việc trong 1 giờ Một ngày máy thứ nhất làm việc không quá 6 giờ, máy thứ hai làm việc không quá 4 giờ Hỏi một ngày nên sản

yx   có đồ thị  P Tìm giá trị của tham số m để đường

thẳng  d m :y x m cắt đồ thị  P tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x thỏa mãn 1, 2

1 2

2

x x  2) Cho hàm số y(m1)x22mx m 2 ( m là tham số) Tìm m để hàm số nghịch biến trên

Câu III (3,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC có trọng tâm G và điểm N thỏa mãn NB3NC 0 Gọi

P là giao điểm của AC và GN, tính PA

Câu IV (1,0 điểm) Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I và loại II từ 200kg nguyên liệu và một

máy chuyên dụng Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và máy làm việc trong 3 giờ Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và máy làm việc trong 1,5 giờ Biết một kilôgam sản phẩm loại I lãi 300000 đồng, một kilôgam sản phẩm loại II lãi

400000 đồng và máy chuyên dụng làm việc không quá 120 giờ Hỏi xưởng cần sản xuất bao nhiêu kilôgam sản phẩm mỗi loại để tiền lãi lớn nhất

Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực dương x , y , z thỏa mãn xyyzzx3 Chứng minh rằng:

Câu 1 (4 điểm) Cho hàm số 2

2

yx  x

1 Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho

2 Tìm m để đường thẳng : y x m cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn độ dài đoạn thẳng AB bằng khoảng cách từ O đến ∆

  Chứng minh rằng tam giác ABC vuông

2 Cho tam giác ABC, O là trọng tâm của tam giác M là một điểm nằm trong tam giác M khác O.Gọi

D E F lần lượt là hình chiếu vuông góc của m lên các cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng đường thẳng OM đi qua trọng tâm của tam giác DEF

ĐỀ 19

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

Câu 1 Cho phương trình x 3 6 x 18 3 xx2 m , (1), (với m là tham số)

a) Giải phương trình (1) khi m3

b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm

Câu 2 a) Giải hệ phương trình

4 2 2 3

11

A B thành các phần bằng nhau Các thanh thẳng đứng nối nền cầu với đáy dây truyền

' ' ' ' ' ' '

QQ PP HH CC II JJ KK gọi là các dây cáp treo Tính tổng độ dài của các dây cáp treo ?

Câu 3 Cho tam giác ABC và một điểm M bất kỳ

a) Chứng minh rằng (b2c2) cosAa c( cosC b cos )B

b) Tìm tập hợp các điểm M sao cho MB2MC2 MA2

Câu 4 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho (3;1) A , ( 1; 2)B 

a) Tìm tọa độ điểm N trên trục hoành Ox sao cho khoảng cách AN nhỏ nhất

b) Cho điểm M di động trên đường thẳng d: y x Đường thẳng MA cắt trục hoành tại P và đường thẳng MB cắt trục tung tại Q Chứng minh đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định

Câu 5 Cho các số thực dương x , y , z thỏa x2y2z2 4 xyz Chứng minh x  y z 2 xyz

-HẾT -

2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C):   2 2

x  y  và điểm A (1;-2) Đường

∆ qua A, ∆ cắt (C) tại M và N Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN

Câu 4 (3 điểm)

1 Chứng minh tứ giác lồi ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB2BC2CD2 AC2BD2

2 Tìm tất cả các tam giác ABC thỏa mãn: 12 12 12

ĐỀ 21

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

Câu 1 (2.5 điểm) Cho phương trình :  2  2 

a Giải phương trình (1) với m5

b Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn x26x 7 0

Câu 2 (1.0 điểm) Giải phương trình: x4x2 4 x420x2 4 7x

Câu 3 (1.0 điểm) Giải bất phương trình: 3x22x15 3x22x 8 7

Câu 4 (1.5 điểm) Giải hệ phương trình:

Câu 6 (1.5 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC cân tại A1;3 Gọi D là điểm trên

cạnh AB sao cho AB3AD và H là hình chiếu vuông góc của B trên CD Điểm 1; 3

Câu 1 (4 điểm) Cho hàm số yx22mx2m24m có đồ thị là  P m

1 Tìm m để  P cắt m Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ trái dấu

2 Tìm các giá trị của k để phương trình x24x k có 4 nghiệm phân biệt

Câu 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy

1 Viết phương trình đường cao AD , phân giác trong CE của ABC biết A4; 1 , B 1;5 ,

11 (phần chứa điểm B có diện tích nhỏ hơn diện tích

phần chứa điểm C) Gọi A a b ;  và a0 Tính T a2b2

Bài 5 (2 điểm) Cho các số thực dương 3 32

ĐỀ 23

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10

Câu 3 (2,0 điểm) Cho tam giác ABC thỏa S b2 (a c)2 Tính tan B

Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ABc AC, b và BAC600 Các điểm M N được xác ,

Câu 1: (6 điểm) Cho 2  

f x x  m x m 

a) Tìm điều kiện của m để phương trình: f x( )mx m 21 có hai nghiệm trái dấu

b) Tìm điều kiện của m để f x 0 có tập nghiệm là

  Tìm tọa độ các đỉnh A, B và D của hình thang ABCD

Câu 4: (2 điểm) Cho các số thực ,x y thỏa mãn điều kiện x2y2 1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2

x xy P