Tài liệu tự học nguyên hàm tích phân và ứng dụng - Nguyễn Trọng

Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?.?. Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đâ[r]

Với

 2

u x   k

tancos

_ Bài tập minh họa:

Câu 1 Tất cả nguyên hàm của hàm số   1

Lưu ý: Trong kết quả A và C nếu cho X =

2 thì đều cho kết quả là 0 Vậy khi có trị tuyệt đối thì cho X một giá trị cho biểu thức trong trị tuyệt đối âm

x và f  1 1 Khi đó giá trị của f  5 bằng

A 12

tancos x dx x C

x C x

x

x

2 Thông hiểu: (10 câu)

Câu 11 Tìm nguyên hàm F x  của hàm số f x sinxcosx thoả mãn 2

2

F   

 

A F x cosxsinx3 B F x  cosxsinx3

C F x  cosxsinx1 D F x  cosxsinx1

Câu 12 Tìm nguyên hàm cos 22 2

dsin cos

x x



A F x  cosxsinx C B F x cosxsinx C

C F x cotxtanx C D F x  cotxtanx C

Câu 13 Cho F x  là một nguyên hàm của hàm số f x( )4e2x 2x thỏa mãn F 0 1 Tìm F x 

Câu 14 Cho hàm số yF x  là một nguyên hàm của hàm số yx2 Biểu thức F 25 bằng

Câu 16 Biết F x là một nguyên hàm của hàm số     2 2x

f x  x thoả mãn F 0 0 Ta có F x  bằng

Ta có:   3 1 3 1 4

ln4

Câu 3 Họ nguyên hàm của hàm số   2

Theo bảng nguyên hàm ta chọn câu sai là lnxdx 1 c

C F x( )3exe ln ex xC D F x( )3ex x C

Lời giải Chọn D

x

x

Lời giải Chọn A

Ta có:

2

33

A F x cosxsinx3 B F x  cosxsinx3

C F x  cosxsinx1 D F x  cosxsinx1

Chọn D

Có cos du usinuC; sin du u cosuC

nên  f x dx   sinxcosx dx  cosxsinx C

x x



A F x  cosxsinx C B F x cosxsinx C

C F x cotxtanx C D F x  cotxtanx C

Lời giải Chọn D

Lời giải Chọn B

ln 2

x x

x và f  1 2 Khi đó giá trị của f  2

bằng

A   1

2 ln 3 22

F   B F 2 ln 3 2 C F 2 2 ln 3 2 D   1

2 ln 3 22

Lời giải Chọn D

Vậy F(x) =

2 2

Ta có: F x  f x dx e x1 d xe x x C

Theo bài:   0

F  e        C C C Vậy F x e x x 1

_ Bài tập minh họa:

Câu 1 Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) sin

(ln 1)2

( 1)3

C   3 2 34

( 1)8

( 1)8

_ Bài tập áp dụng: (10 câu NB; 10 câu TH)

2d1

x

x x

x

x

212

Câu 18 Tìm họ nguyên hàm của hàm số:   3sin 2cos

d3cos 2sin

A  f x dxln 3sinx2 cosx C B  f x dx ln 3cos x2 sinx C

C  f x dxln 3cosx2 sinx C D  f x dx ln 3cos x2 sinx C Câu 19 Khi tính nguyên hàm 3

d1

x x x

e

C e

1ln

2

x x

e

C e

e

C e

 

Bảng đáp án

3 C 3

     C 2Vậy F 7   9 2 7

Câu 4 Biết F x( ) là một nguyên hàm của hàm số   2

e x

02

Biến đổi  

10 12

2d1

Sử dụng casio: đạo hàm của đáp án tại 3 trừ hàm dưới dấu tích phân tại 3 bằng 0 thì chọn đáp án

Câu 10 Nguyên hàm F x  của hàm số   2 3

Đặt tsin 2x  dt 2.cos 2 dx x 1d cos 2 d

A  

2

1ln

Câu 14 Nguyên hàm của hàm số   2

1

x x

x

x

212

x

x

Lời giải Chọn B

1

x t

d3cos 2sin

C  f x dxln 3cosx2 sinx C D  f x dx ln 3cos x2 sinx C

Lời giải Chọn B

Ta có:  dx d 3cos 2sin  ln 3cos 2sin 

x x x

e

C e

1ln

2

x x

e

C e

e

C e





Bước 1 Chọn u v, sao cho f x dxu vd (chú ý dvv x' dx)

Sau đó tính vdv và duu'.dx

Bước 2 Thay vào công thức  * và tính v ud

Chú ý : Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân

Nguyên tắc chung để đặt u và dv : Tìm được v dễ dàng và v du tính được

Nhấn mạnh: Thứ tự ưu tiên khi chọn đặt u: “Nhất lô, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” (hàm

lôgarit, hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ)

_ Bài tập minh họa:

Câu 1 Họ nguyên hàm của hàm số f x xcos 2x là:

 

2 2

d1e2

x x

Câu 1 Nguyên hàm của hàm số f x xsinx là:

A – cosx xsinx C B xsinxcosx C .

C xcosxsinx C D xcosxsinx C .

Câu 2 Kết quả của I xe x xd là:

Câu 8 Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số   f x xex Tính F x biết   F 0 1

2 Thông hiểu: (10 câu)

Câu 11 Kết quả của ln dx x là:

Câu 20 Tìm nguyên hàm sin x x d

A sin x xd  2cos x2sin x C B sin x xd  cos x C

C sin x xd cos x C D sin d  1 cos 

Câu 1 Nguyên hàm của hàm số f x xsinx là

A – cosx xsinx C B xsinxcosx C

C xcosxsinx C D xcosxsinx C

Lời giải Chọn A

Vậy xsinxdx  xcosxcosxdx  xcosxsinx C

Câu 2 Kết quả của I xe x xd là

sin 2 d sin 2 ; sin 2.

2 0

Đặt 2 2

1e

d e d

2

x x

Vì    2 e2x

F x  ax bxc là một nguyên hàm của hàm số    2  2

2018 3 1 e x

f x  x  x trên khoảng  ;  nên ta có: F x    f x , với mọi x   ; 

a b c

Lời giải Chọn B

Câu 20 Tìm nguyên hàm sin x xd

A sin x xd  2 cos x2 sin xC B sin x xd  cos xC

C sin x xd cos xC D sin d 1 cos

Chọn A

Đặt t x, ta có sin xdx2 sint tdt

Đặt 2

_Định lí Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ ; ].a b Giả sử hàm số uu x( ) có đạo hàm liên tục

trên đoạn [ ; ]a b và u x( ) Giả sử có thể viết f x( )g u x u x x( ( )) '( ), [ ; ],a b

với g liên tục trên đoạn [ ; ].  Khi đó, ta có

( ) '

 Bước 1 Biến đổi để chọn phép đặt tu x dtu x dx( )

 Bước 2 Thực hiện phép đổi cận:

I   f t dt đơn giản và dễ tính hơn

_Dấu hiệu nhận biết và cách tính tích phân

x t lnx hoặc biểu thức chứa ln x

Có 2cos

dx

Có 2sin

dx

_ Bài tập minh họa:

Câu 1 Tính tích phân

1

2 4 0

 Bước 2 Nhập hàm số f(x)

 Bước 3 Nhập cận

 Bước 4 Ấn phím = Câu 2 Tính tích phân

2 2 1

_Bài tập áp dụng: (10 câu NB; 10 câu TH)

1cot sin

A tcot6x B tsinx C tcotx D tsin2x

2 Thông hiểu: (10 câu)

Câu 11 Tích phân

2 2 0

d3

x x

ln2

a b

 Khi đó a b bằng:

Câu 12 Cho tích phân

1 3 0

d

t t

1 2 0

3t dt D

1 3 0

3t td

Câu 13 Cho

1 2 0

d1

1d

2 t t C

2 2 0

A 2 

2 1

2

1 d

2 1

2

1 d

9 u  u C 2 

2 1

u

u u

2

1

2d3

2 2 1

2d3

9

Bảng đáp án

11.D 12.D 13.A 14.B 15.D 16.B 17.A 18.C 19.B 20.B

Hướng dẫn giải( phần TH)

Câu 11 Tích phân

2 2 0

d3

x x

2

a b

Nên

7

3

1 7ln

dt I t

 

Câu 12 Cho tích phân

1 3 0

d

t t

1 2 0

3t dt D

1 3 0

1d

2 t t C

2 2 0

2

Lời giải Chọn B

Đặt tcosx tdtsin x dx

Đổi cận: x  0 t 1, x    t 1

Khi đó:

1 2 1

23

A 2 

2 1

2

1 d

2 1

2

1 d

9 u  u C 2 

2 1

u

u u



Lời giải Chọn B

2

1

2d3

2 2 1

2d3

9

Lời giải Chọn C

_ Bài tập minh họa:

Câu 1 Tính tích phân sau:

1

2 0

PP nhanh trắc nghiệm

  Bước 1 Sử dụng lệnh để màn hình máy tính cầm tay hiện:

 Bước 2 Nhập hàm số f(x)

 Bước 3 Nhập cận

 Bước 4 Ấn phím = Câu 2 Tính tích phân sau:

1 2

01

dx I

 Bước 2 Nhập hàm số f(x)

 Bước 3 Nhập cận

 Bước 4 Ấn phím = Câu 3 Khi đổi biến x 5 tant thì tích phân

5 2

dx I

x I

d16

x I

d25

x I

d7

x I

d4

x I

3x dx

 chọn cách đổi biến hợp lí nhất:

A t 3 x2 B x 2 cost C x 3 tant D t3tanx

2 Thông hiểu: (10 câu)

Câu 11 Đổi biến số x4sint của tích phân

8

2 0

16x dx

A

4 2 0

1x dx

A

2 2 0

sin t.dx



2 2 0

sin t.dt



2 2 0

cos t.dt



2 2 0

dx I

2 3

5

d925

x x

Câu 18 Tích phân: I =

3

2 0

16x dx

A

4 2 0

1x dx

A

2 2 0

sin t.dx



2 2 0

sin t.dt



2 2 0

cos t.dt



2 2 0

cos t.dt



Lời giải Chọn D

dx I

B I 3: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

_ Dạng 1  

sincos d

e

Lời giải Chọn B

 Đặt 22 1 2

2

x x

_Bài tập áp dụng: (10 câu NB; 10 câu TH)

1

1 cos2 cos2 d2

58



Câu 7 Tính tích phân

4 4 0

32 4

 

B

21

32 4

 

C

23

32 4

 

D

23

1

I (2x 1)e dx



B

349

e



D

349

15

0

2

x x

_Bài tập áp dụng: (10 câu NB; 10 câu TH)

1

e e

1 1

e e

1 1

ln

e e

1 1

e e

ln

ln 3 ln 21

A 3ln 3 B 2 ln 2 C 3ln 3 2 D 2 3ln 3

2 Thông hiểu: (10 câu)

Câu 11 Tích phân

2 2 1

 với a , b , m là các số nguyên dương và là phân số tối giản

Tính giá trị của biểu thức S a b

sincos

2 2

2 2

e I

0 0

e I

0 sin 2

e I





4 25

e I





4 35

e I





4 45

e I

e I

e I

e I

e I

e I





4 15

e I





4 25

e I





4 45

e I

e I





6 18

e I





6 19

e I





6 110

e I





Câu 6 Tính tích phân

6 3 0

e I

B I 4: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

_ Dạng 1 Ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng

_ Dạng 1 Ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng

-Phương pháp:

 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x( ) liên tục trên đoạn  a b; , trục

hoành và hai đường thẳng xa , xb được xác định: ( )

b

a

S  f x dx

 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x( ), yg x( ) liên tục trên đoạn  a b;

và hai đường thẳng xa , xb được xác định: ( ) ( )

- Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

- Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường xg y( ), xh y( ) và hai đường thẳng yc,

y f x

y 0 H

y = - 1

3 x+

4 3

y = x 2

1

4 1

y

O

x

Câu 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 2 x2 và yx

- Khi đó trên màn hình xuất hiện

Câu 2 Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y ln x2

lnd

lnd

2 1

lnd

2 1

lnd

lnd

 trên đoạn [1;e]

Câu 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x , 2 1 4

4 1

  hình (thao tác tương tự câu 1) - Khi đó trên màn hình xuất hiện

2x 2x 4 dx



C 2 

2 1

2 11 d

2 1

C 0 

2 3

2x x 2x 3 dx



2 Thông hiểu: (10 câu)

Câu 11 Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?

C  

1 2

Từ đồ thị hai hàm số y f x( ) và yg x( ) ta có diện tích phần hình phẳng tô đen trong hình vẽ bên dưới được tính là:

x x x

Từ đồ thị ta thấy 2 2

     ,   x  1; 2 Vậy diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ là

Xét phương trình hoành độ giao điểm 2 đường cong:



 không đổi dấu với x 0;1 )

1 0

Câu 8 Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?

2 1

2 11 d

2 1

4 3 d

Lời giải Chọn A

Ta thấy:  x  1;3 :  x2 3x  4 7 x nên

3 2 1

S   x x  x  x 3 

2 1

Ta thấy:   x  3; 0: x 1 x24x1 nên

0

2 3

A 1  

1 2

A  

1 2

Xét phương trình hoành độ giao điểm x5 x3  5 3

Cách 1: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường   2

Từ đồ thị hai hàm số 2

3

y  x và yx22x1 ta có   x2 3 x22x1,   x  1; 2 Diện tích hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ là

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  4 x  x2 và trục Ox

Phương trình hoành độ giao điểm 1 2  7

x x x

Diện tích hình phẳng là 7  

2 4

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường   2





y và xa x, b khi quay quanh trục Ox

* Phương pháp giải: áp dụng công thức: 2

_ Bài tập minh họa:

Câu 1 Cho hàm số y f x( ) liên tục trên đoạn a b;  Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

Câu 2 Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x1 và x3, biết rằng khi cắt vật

thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (1 x 3) thì được thiết diện

Câu 3 Gọi S là diện tích hình phẳng  H giới hạn bởi các đường y  f x , trục hoành và hai đường

thẳng x 1, x2(như hình vẽ bên dưới) Đặt 0  

1d

A S b a B S b a C S   b a D S   b a

Lời giải Chọn A

0

1

1d2

1

5 d 2

Câu 1 Gọi  H là hình phẳng giới hạn bởi các đường:ysinx;Ox;x0;x Quay  H xung

quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là:

Câu 3 Gọi  H là hình phẳng giới hạn bởi các đường y xln ,x trục Ox x, 1,xe Tính thể tích

khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng  H quanh trục Ox

A  2 

14

Câu 8 Cho hình phẳng  H giới hạn bởi các đường yx23, y0, x0, x2 Gọi V là thể

tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay  H xung quanh trục Ox Mệnh đề nào dưới

đây đúng?

2 2 03

2 03

2 2 03

2 03

V  x  dx

Câu 9 Cho hình phẳng  H giới hạn bởi các đường thẳng yx22,y0,x1,x2 Gọi V là thể

tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay  H xung quanh trục Ox Mệnh đề nào dưới

đây đúng?

2 2 1

2 d

2 2 1

2 d

2 1

2 d

2 1

2 d

Câu 10 Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới

hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục Ox và hai đường thẳng xa x, b a b, xung quanh

2 Thông hiểu: (10 câu)

Câu 11 Cho hàm số y f x  liên tục trên đoạn  a b; Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm

số y f x , trục hoành và hai đường thẳng x a , xb ab Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức

Câu 12 Kí hiệu  H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y2(x1) ,e x trục tung và trục hoành

Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình  H xung quanh trục Ox

Câu 14 Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn

Hướng dẫn giải

Câu 1 Gọi  H là hình phẳng giới hạn bởi các đường:ysinx;Ox;x0;x Quay  H xung

quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là

Thể tích khối tròn xoay  H quanh trục Ox là:

Câu 3 Gọi  H là hình phẳng giới hạn bởi các đường y xln ,x trục Ox x, 1,xe Tính thể tích

khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng  H quanh trục Ox

A  2 

14

e

Lời giải Chọn D

1

ln

e Ox

12

1

2

e e Ox

12

Phương trình hoành độ giao điểm của  P và d là x2 2x 0

2

x x





   Thể tích của khối tròn xoay là 2    

Giao của đồ thị hàm số y lnx với trục Ox có hoành độ là nghiệm của phương trình

lnx 0 x 1

Gọi V là thể tích vật thể cần tìm, ta có:

2 1

Thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức:

Ta có phương trình 2 sin x 0 vô nghiệm nên:

Câu 8 Cho hình phẳng  H giới hạn bởi các đường yx23, y0, x0, x2 Gọi V là thể

tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay  H xung quanh trục Ox Mệnh đề nào dưới

đây đúng?

2 2 0

3

2 0

3

2 2 0

3

2 0

3

Lời giải Chọn A

Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay  H xung quanh trục Ox là:

2

2 2 0

3

Câu 9 Cho hình phẳng  H giới hạn bởi các đường thẳng yx22,y0,x1,x2 Gọi V là thể

tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay  H xung quanh trục Ox Mệnh đề nào dưới

đây đúng?

2 2 1

2 d

2 2 1

2 d

2 1

2 d

2 1

2 d

Lời giải Chọn A

Ta có: 2 

2 2 1

2 d

Câu 10 Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới

hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục Ox và hai đường thẳng xa x, b a b, xung quanh

Câu 11 Cho hàm số y f x  liên tục trên đoạn  a b; Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm

số y f x , trục hoành và hai đường thẳng xa , xb ab Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức

Theo công thức tính thể tích vật tròn xoay khi quay hình  H quanh trục hoành ta có

 

2d

b

a

V  f x x

Câu 12 Kí hiệu  H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y2(x1) ,e x trục tung và trục hoành

Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình  H xung quanh trục Ox

A V  4 2e B V 4 2 e C V  e2 5 D  2 

5

V  e  

Lời giải Chọn D

Phương trình hoành độ giao điểm 2x1e x   0 x 1

Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình  H xung quanh trục Ox là:

1

2

x x

e v

1 x

21

2

x x

0

81

10d

Câu 15 Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn

Ta có: x3   0 x 0 Thể tích:

1 6

0

1.7d

Ta có: xy 9 y 9

x

  

Thể tích:

3

2 1

81

54 d