Chuyên đề nguyên hàm tích phân và ứng dụng - Lữ Sĩ Pháp

Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I (2;9) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại [r]

Quý đọc giả, quý thầy cô và các em học sinh thân mến!

Nhằm giúp các em học sinh có tài liệu tự học môn Toán, tôi biên soạn cuốn giải toán trọng tâm của lớp 12

Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn và chương trình nâng cao về môn Toán đã được Bộ Giáo dục

và Đào tạo quy định

NỘI DUNG

1 Lí thuyết cần nắm ở mỗi bài học

2 Bài tập trắc nghiệm

3 Bổ sung đầy đủ các dạng đề thi THPT QG

Cuốn tài liệu được xây dựng sẽ còn có những khiếm

khuyết Rất mong nhận được sự góp ý, đóng góp của quý đồng nghiệp và các em học sinh để lần sau cuốn bài tập hoàn chỉnh hơn

LỜI NÓI ĐẦU

MỤC LỤC

PHẦN TỰ LUẬN NGUYÊN HÀM - 01 – 19 TÍCH PHÂN - 20 – 46 ỨNG DỤNG - 47 – 51

ÔN TẬP CHƯƠNG III - 52 – 75

PHẦN TRẮC NGHIỆM NGUYÊN HÀM - 01 – 15 TÍCH PHÂN - 16 – 30 ỨNG DỤNG - 31 – 38

ÔN TẬP CHƯƠNG III - 39 – 60

ÔN TẬP THI THPT - 61 – 76 ĐÁP ÁN - 77 – 81

Toán 12 GV Lư Sĩ Pháp

CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

G x F x C cũng là một nguyên hàm của ( )f x trên K

Nếu ( )F x là một nguyên hàm của hàm số ( )f x trên K thì mọi nguyên hàm của ( ) f x trên K đều có

3 Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số ( )f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K

Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp

Bảng 1 Nguyên hàm của hàm sơ cấp Nguyên hàm của hàm số hợp (với u u x= ( ))

II Phương pháp tính nguyên hàm

1 Phương pháp biến đổi

Nếu ∫f u u( )d =F u( )+C và u=u x( )là hàm số có đạo hàm liên tục thì

( ( )) '( )d ( ( ))

∫ Lưu ý: Đặt t=u x( )⇒dt=u x x/( )d Khi đó: ∫ f t t( )d =F t( )+C, sau

đó thay ngược lại t=u x( ) ta được kết quả cần tìm

dv e x xd cos dx xhay sin dx x P x x( )d

Lưu ý: Cách đặt u: “Nhất logarit (ln) – Nhì đa – Tam lượng (giác) – Tứ mũ” và phần còn lại là d v

Yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của

nó

Toán 12 GV Lư Sĩ Pháp

B BÀI TẬP

Dạng 1 Tìm nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng các nguyên hàm

Phương pháp: Dùng thành thạo các bảng nguyên hàm

Bài 1 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

f) cos2xdx 1 cos2x dx 1 dx 1 cos2xdx 1x 1sin 2x C

=+

Sau khi tính f t dt∫ ( ) theo t, ta phải thay lại t=ϕ( )x

Bài 4 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) ∫esinx.cosxdx b) ∫ecosx.sinxdx c) ∫esin2x.sin 2xdx

d) ∫ecos2x.sin2xdx e) ∫sin cos2x xdx f) ∫cos sin2x xdx

HD Giải

a) Đặt t=sinx⇒dt=cosxdx Vậy ∫esinx.cosxdx=∫e dt t = + =e t C esinx +C

b) Đặt t=cosx⇒dt= −sinxdx Vậy ∫ecosx.sinxdx= −∫e dt t = − + = −e t C ecosx +C

c) Đặt t=sin2x⇒dt=2sin cosx xdx=sin2xdx Vậy ∫esin2x.sin2xdx=∫e dt t = + =e t C esin2x+C

d) Đặt t=cos2x⇒dt= −2sin cosx xdx= −sin 2xdx

Vậy ∫ecos2x.sin2xdx= −∫e dt t = − + = −e t C ecos2x +C

tan 2

Dạng 3 Tìm nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Phương pháp: Nếu hai hàm số u u x= ( ) và v v x= ( ) có đạo hàm liên tục trên K thì

u x v x dx( ) '( ) =u x v x( ) ( )− u x v x dx'( ) ( )

5 ∫e ax b+ sin(Ax B dx+ ) hoặc ∫e ax b+ cos(Ax B dx+ ) Dùng nguyên hàm từng phần hai lần với u e= ax b+

Bài 10 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

=+

Do đó B1=2 sinx x−2 sin∫ xdx=2 sinx x+2 cosx C+

Vậy: B=∫x2sinxdx= −x2cosx B+ 1= −x2cosx+2 sinx x+2 cosx C+

1ln

11

Bài 12 Tìm nguyên hàm các hàm số sau:

e) Đặt u x dv= 2, =cosxdx khi đó du=2xdx v, =sinx

Do đó: ∫x2cosxdx=x2sinx−2 sin∫x dx=x2sinx−2I, với I=∫xsindx Tính I bằng công thức lấy

nguyên hàm từng phần, đặt u x dv= , =sinxdx khi đó du dx v= , = −cosx

Do vậy I=∫xsindx= −xcosx+sinx C+

Vậy x∫ 2cosxdx=x2sinx+2 cosx x−2sinx−2C

f) Đổi biến u= 3x−9 Ta có du dx hay dx u du

4 3

1ln(2 )

3 2

1ln

23

Dạng 4 Tìm nguyên hàm thỏa mãn điều kiện cho trước

Phươn pháp: Nếu F x/( )= f x( ) thì F x ( ) là một nguyên hàm của f x( ) và ∫f x dx( ) =F x( )+C

Bài 14 Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số:

a) f x x

x

1( )= + biết F e e

2

( )2

x

2

1( ) sin

Dạng 5 Tìm nguyên hàm của các hàm số thường gặp

1 Nguyên hàm của hàm hữu tỉ

Nguyên hàm dạng: I P x dx

Q x

( )( )

=∫ , trong đó P(x), Q(x) là các đa thức

1 Nếu bậc của P(x) ≥ bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức

2 Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích P x

Q x

( )( ) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định) Xét các dạng sau:

hai nghiệm cùa phương trình ax2+bx c+ =0

Nếu ∆ =0 Xác định A, B, C sao cho:

nghiệm kép của phương trình ax2+bx c+ =0

Nếu ∆ <0 Xác định A, B sao cho: P x A B

x

( )( −α)( + + )= −α+ + +

− =

3 Nguyên hàm của hàm lượng giác

Loại 1 Nguyên hàm dạng ∫cos cosax bxdx, ∫sin sinax bxdx, ∫sin cosax bxdx

Dùng công thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân

Loại 2 Nguyên hàm dạng ∫sin cosn x m xdx Xét các trường hợp

Nếu n lẻ: Biến đổi và đặt t=cosx

Nếu m lẻ: Biến đổi và đặt t=sinx

Nếu n, m đều chẵn: Biến đổi và đặt t=tanx

Nếu n, m đều chẵn và dương, ta dùng công thức hạ bậc

Loại 3 Nguyên hàm dạng ∫R(sin ,cosx x dx) , R là hàm số hữu tỉ với sinx và cosx

Trường hợp chung, ta đặt t tanx

t2

21

=+ Trường hợp khác:

Nếu ( sin ,cos )R − x x = −R(sin ,cos )x x thì đặt t = cosx

Nếu (sin , cos )R x − x = −R(sin ,cos )x x thì đặt t = sinx

Nếu ( sin , cos )R − x − x = −R(sin ,cos )x x thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx)

Bài 17 Tính các nguyên hàm sau:

∫

=+

cos sinsin cos

sin 4 sin3tan cot 2

Bài 21 Tính các nguyên hàm sau:

a) A=∫cos4xdx b) B=∫sin cos2x 4xdx c) C x x dx

x

3

sin sincos2

1 sin coscos

3 2

sincos

sin2

§2 TÍCH PHÂN

I Khái niệm về tích phân

Định nghĩa: Cho hàm số ( )f x liên tục trên đoạn a b;  Giả sử ( )F x là một nguyên hàm của ( )f x trên

đoạn ;a b Hiệu số ( )F b −F a( ) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số ( ) f x

a a

III Phương pháp tính tích phân

1 Phương pháp đổi biến số

Định lí 1 Cho hàm số ( )f x liên tục trên đoạn ;a b Giả sử hàm số x=ϕ( )t có đạo hàm liên tục trên

đoạn α β;  sao cho ( )ϕ α =a, ( )ϕ β =b và a≤ϕ( )t ≤b với mọi t∈α β; 

Định lí 2 Cho hàm số ( )f x liên tục trên đoạn ;a b

Nếu hàm số u u x= ( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn ;a b và α≤u x( )≤β với mọi x∈a b;  sao cho

( ) /

( ) ( ) ( ), ( )

f x =g u x u x g u liên tục trên đoạn α β;  thì

( ) ( )

x

4 2

2 2

31

4 2

3 2

1

∞ x

0

0

3 2

1

∞ x

Toán 12 GV Lư Sĩ Pháp

+0

2

π2

2π

0

3π2

( ) /

Bài 4 Tính các tích phân sau:

31

ln 1ln

2 1 2

x=e⇒t=lne=1Vậy

x=e⇒t=lne=1Vậy

= ⇒ = Đổi cận: x=e⇒t=lne=1

x=e2⇒t=lne2 =2Vậy

ln ln 2 ln1 ln 2ln

= ∫ =∫ = = − =

e) Đặt t x dt dx

x

1ln

x

3 6

HD Giải

1ln(ln )

ln

x e= 3⇒t=ln3Vậy

π

2 4 0

= ⇒ =

1cos 3 1 tan3

π

π

6 0

2 11

1+

2 2

3 7

+0

Toán 12 GV Lư Sĩ Pháp

1

2 0

1

1

2 0

4

x

1 2

2 0

11

=+

x

2 3 2

6cos

= ⇒ =

2 1

ln

2 0

ln

=∫ e) E ( )x e dx x

1 0

dv x dx v x

6 5

π

=∫ c) C x xdx

2 2 0

3

−

=∫ + f) F ( x ) xdx

2 1

dv x dx v x

3 2

ln

=∫

2 2 0

sin

π

=∫ e) E x ( )x dx

5 2

3 ln1

sin ln(cos )

π

e e

++

3 0

11

2 0

11

++

++

Dạng 5 Kết hợp giữa phương pháp đổi biến loại I và tích phân từng phần

Phương pháp: Vận dụng linh hoạt và thành thạo ở cả hai phương pháp trên

Bài 18 Tính các tích phân sau:

g)

ln2

0

d2

1 2 1

dv=sin cosx 2xdx⇒v=∫sin cosx 2xdx

Tính ∫sin cosx 2xdx Đặt t=cosx⇒dt= −sinxdx

Tính ∫esin2xsin cosx xdx Đặt t sin2x dt 2sin cosx xdx sin cosx xdx 1dt

x

x x

e

e e

++

1 ln

=∫ c) C x x dx

3 2 0

cos

1 sin

π

=+

2 2 0

2

+

=+ −

x

2 0

1

1 cos

π

=+

2 1

2cos sin

Toán 12 GV Lư Sĩ Pháp

§3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

A KIẾN THỨC CẦN NẮM

1 Diện tích hình phẳng

Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số f x( ), liên tục trên đoạn [ ]a b; , trục hoành và

hai đường thẳng x=a x, =b thì diện tích S của nó được tính theo công thức: =∫b ( ) d

Nếu hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị của hai hàm số y= f x( ), y=g x( ) liên tục trên đoạn

[ ]a b; và hai đường thẳng x=a x, =b thì diện tích S của nó được tính theo công

Giới hạn vật thể V bởi hai mặt phẳng song song, vuông góc với trục hoành, cắt trục hoành tại hai điểm

có hoành độ x=a x, =bvà S x( )là diện tích thiết diện của V vuông góc với Ox tại x∈[ ]a b; Thể tích

của V được cho bởi công thức: =∫bS( )d

Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f x( ), liên tục trên đoạn [ ]a b; , trục hoành và hai đường

thẳng x=a x, =b quay quanh trục Ox, ta được khối tròn xoay Thể tích của khối tròn xoay này được

cho bởi công thức =π∫b 2( )d

Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x= g y( ), trục

hoành và hai đường thẳng y c= , y d= quanh trục Oy:

Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y= f x( ), y=g x( )

và hai đường thẳng x=a , x b= quanh trục Ox: b 2( ) 2( ) d

O

d

x

( ) : ( )( ) :

V = π∫ g y y

( ) : ( )( ) :

V = π∫ f x dx

a

= ( )

y f x y

π π

Bài 8 Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường cong y = x2 + 1, tiếp tuyến với đường thẳng

này tại điểm M ( ) 2;5 và trục tung

a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x2+2x và y= +x 2

b) Tính thể tích của hình phẳng (H) quay quanh trục Ox, biết (H) giới hạn bởi các đường 2

Toán 12 GV Lư Sĩ Pháp

Giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của hệ phương trình

2 3

3

t R

3 1

R

π

πα

Bài 2 Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường cong y = x2 − 2 x + 2, tiếp tuyến với đường

thẳng này tại điểm M ( ) 3;5 và trục tung

ÔN TẬP CHƯƠNG III

Nguyên hàm của các hàm số sơ

cấp thường gặp Nguyên hàm của những hàm số hợp đơn giản hàm số hợp(với Nguyên hàm của những t=t x( ))

a Phương pháp biến đổi

Nếu ∫f u( )du=F u( )+C và u=u x( )là hàm số có đạo hàm liên tục thì

( ( )) '( )d = ( ( ))+

∫ f u x u x x F u x C Lưu ý: Đặt t=u x( )⇒dt=u x dx/( ) Khi đó: ∫ f t( )dt=F t( )+C, sau

đó thay ngược lại t=u x( ) ta được kết quả cần tìm

e x cos dx xhay sin dx x P x x( )d

Yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định

Chú ý:

1 Khi a=b ta định nghĩa ∫b ( )d =∫a ( )d =0

a a

III Phương pháp tính tích phân

3 Phương pháp đổi biến số

Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số ( )f x , liên tục trên đoạn [ ]a b; , trục hoành và

hai đường thẳng x=a x, =b thì diện tích S của nó được tính theo công thức:

( )d

=∫b a

Chú ý: Nếu trên [ ]a b; hàm số ( )f x giữ nguyên một dấu thì: =∫b ( )d = ∫b ( )d

Nếu hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị của hai hàm số y= f x( ), y=g x( ) liên tục trên đoạn

[ ]a b; và hai đường thẳng x=a x, =b thì diện tích S của nó được tính theo công thức:

Giới hạn vật thể V bởi hai mặt phẳng song song, vuông góc với trục hoành, cắt trục hoành tại hai điểm

có hoành độ x=a x, =bvà ( )S x là diện tích thiết diện của V vuông góc với Ox tại x∈[ ]a b; Thể tích

của V được cho bởi công thức: =∫b ( )d

a

V S x x ( ( )S x là hàm số không âm, liên tục trên đoạn [ ]a b; )

3 Thể tích khối tròn xoay

Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số ( )f x , liên tục trên đoạn [ ]a b; , trục hoành và hai

đường thẳng x=a x, =b quay quanh trục Ox, ta được khối tròn xoay Thể tích của khối tròn xoay này

được cho bởi công thức =π∫b 2( )d

a

B BÀI TẬP Bài 1 Tính các tích phân sau:

=+ −

1

1 1

2 1

1 1

2

2 1

2

J=∫x −x dx Đặt: t= 2−x2 ⇒tdt= −xdx Đổi cận: 0 1

x t

1 sincos

x

π+

Toán 12 GV Lư Sĩ Pháp

1 1

Đặt: t=xsinx+cosx⇒dt=xcosxdx Đổi cận:

0

42

3 ln1

1ln 1 1 2ln

e e

dx

x x

++

Đặt: t=sinx⇒dt=cosxdx Đổi cận: 0 2

x t

1ln

3

23

t x

dx tdt x

π

3

2sin

3

t x

Khi đó:

4

4 3 3

π

Khi đó:

4 4

1 1

21

xdx J

2 2

4

x

dv=x dx⇒v=Khi đó:

4

x

dv=x dx⇒v=Khi đó:

3 1

2 1

0 0

2 2 0

4

dt x

Khi đó:

4 4

π

Khi đó:

2 2

1 1

1 3ln

23

t

x

dx tdt x

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số x, 2

a) Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường: y=xln,y=0,x e− Tính thể tích của khối tròn xoay tạo

thành kho quay hình H quanh trục Ox

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol ( ) :P y= − +x2 4x và đường thẳng :d y=x

HD Giải

a) Hoành độ giao điểm của các đường thẳng y=xlnx và y=0 là: lnx x= ⇔ =0 x 1

Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox miền phẳng D giới hạn bởi:

Bài 13 Một ô tô đang chạy với vận tốc 20( / )m s thì người người đạp phanh (còn gọi là “thắng”)

Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t( )= −40t+20( / )m s trong đó

t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bằng đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi

dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

HD Giải

Lấy mốc thời gian là lúc ô tô bắt đầu được đạp phanh Gọi T là thời điểm ô tô dừng Ta cóv T( )=0

suy ra 20 40= T⇔ =T 0,5 Như vậy, khoảng thời gian từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn của ô tô là

0,5 giây Trong khoảng thời gian 0,5 giây đó, ô tô di chuyển được quãng đường là

2 0 0

Bài 14 Một vật chuyển động với vận tốc v t( )= −1 2sin 2 ( / )t m s Tính quãng đường vật di chuyển

trong khoảng thời gian từ thời điểm t=0( )s đến thời điểm t=34π ( )s

HD Giải

3 4 0

Bài 15 Một vật đang chuyển động với vận tốc 10(m s/ )thì tăng tốc với gia tốc a t( )= +3t t2(m s/ 2)

Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc

Toán 12 GV Lư Sĩ Pháp

a) Sau bao lâu thì viên đạn đạt tới độ cao lớn nhất?

b) Tính quãng đường viên đạn đi được từ lúc bắn lên cho đến khi chạm

đất (tính chính xác đến hàng phần trăm)

HD Giải

a) Gọiv t( ) là vận tốc của viên đạn Ta có v t'( ) ( )=a t = −9,8

Suy ra v t( )= −∫ 9,8dt= −9,8t+C Vì v( )0 =25 nên C=25 Vậy v t( )= −9,8t+25

b) Gọi T là thời điểm đạn đạt tới độ cao lớn nhất Tại đó viên đạn có vận tốc bằng 0

Vậy v T( )=0 Suy ra 25 2,55

9,8

T = ≈ (giây)

Vậy quãng đường viên đạn đi được cho đến khi rơi xuống là 2S≈31,89( )m

Bài 17 Giả sử một vật từ trạng nghỉ khi t=0( )s chuyển động thẳng với vận tốc

trùng có 250000 con Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng là bao nhiêu?

Mà vận tốc ban đầu 5m/s tức là : v( )0 = ⇔5 2ln 0 1( + + = ⇔ =) c 5 c 5 Nên v t( )=2ln( )t+ +1 5

Vận tốc của vật sau 10s đầu tiên là : v( )10 =2ln 11 5 9,8( )+ ≈

Bài 21 Cho hàm số f x( ) xác định trên \ 1

v t t t , trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển

động Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O, chuyển động thẳng cùng hướng với

A nhưng chậm hơn 5 giây so với A và có gia tốc bằng a(m s2) ( a là hằng số) Sau khi B xuất phát

được 10 giây thì đuổi kịp A Tính vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A

HD Giải

Tính từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động cho đến khi bị chất điểm B bắt kịp thì A đi được 15

giây, B đi được 10 giây Ta có: v B( )t =∫a td = +at C, do v B( )0 =0 suy ra v B( )t =at

Chất điểm A bắt đầu chuyển động cho đến khi bị chất điểm B bắt kịp thì quãng đường hai chất điểm

đi được là bằng nhau Vì vậy:

cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là −2; −1; 1 Hình phẳng giới

hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng bao nhiêu ?

Toán 12 GV Lư Sĩ Pháp

Ta có: 4− = −2k ⇒k =2 Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là 1 ( )( )( )

2

37d2

nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là 3− ; 1− ; 1 (tham khảo hình vẽ)

Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng bao nhiêu ?

3

23232

123212