Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đánh giá độ tin cậy của hệ thống sử dụng mô hình rủi ro tỷ lệ Cox

Độ tin cậy là xác suất mà một đơn vị hay hệ thống sẽ thực hiện chức năng dự định của mình cho đến một thời điểm nào đó trong các điều kiện sử dụng cụ thể. Việc xác định độ tin cậy như là xác định chất lượng của thiết bị clip thời gian hay chính là xác định tuổi thọ của sản phẩm (thiết bị). Mời các bạn cùng tìm hiểu.

„I HÅC QUÈC GIA H€ NËI TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC TÜ NHI–N

„I HÅC QUÈC GIA H€ NËI TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC TÜ NHI–N

Líi c£m ìn

º ho n th nh ÷ñc luªn v«n mët c¡ch ho n ch¿nh, tæi luæn nhªn ÷ñc

sü h÷îng d¨n v  gióp ï nhi»t t¼nh cõa TS Ph¤m ¼nh Tòng, Gi£ng vi¶nTr÷íng ¤i håc Khoa håc Tü nhi¶n - ¤i håc Quèc gia H  Nëi Tæi xinch¥n th nh b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c ¸n th¦y v  xin gûi líi tri ¥n nh§tcõa tæi èi vîi nhúng i·u th¦y ¢ d nh cho tæi

Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn pháng  o t¤o, Khoa To¡n - Cì - Tin håc,quþ th¦y cæ gi£ng d¤y lîp Cao håc K 17 - 19 (2017 - 2019) Tr÷íng ¤ihåc khoa håc Tü nhi¶n - ¤i håc Quèc gia H  Nëi ¢ tªn t¼nh truy·n ¤tnhúng ki¸n thùc quþ b¡u công nh÷ t¤o i·u ki»n cho tæi ho n th nh khâahåc

Tæi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh nh§t tîi gia ¼nh, b¤n b±, nhúngng÷íi ¢ luæn ëng vi¶n, hé trñ v  t¤o måi i·u ki»n cho tæi trong suètqu¡ tr¼nh håc tªp v  thüc hi»n luªn v«n

Tæi xin c£m ìn sü hé trñ cõa ¤i håc Quèc gia H  Nëi trong · t iQG.18.03 trong to n bë qu¡ tr¼nh l m Luªn v«n

Xin tr¥n trång c£m ìn!

H  Nëi, th¡ng n«m 20

Ng÷íi vi¸t Luªn v«n

Bòi B¡ M¤nh

Danh möc h¼nh

1.1 Bi¸n tr¤ng th¡i v  tuêi thå cõa mët èi t÷ñng 61.2 H m ph¥n bè x¡c su§t F (t) v  h m mªt ë x¡c su§t f (t) 81.3 H m tin cªy R(t) 81.4 H m bªc thang λ(t) 121.5 H m bªc thang λ(t) ti»m cªn ¸n mët ÷íng cong li¶n töc 121.6 Và tr½ cõa MTTF, tm v  tmode cõa mët ph¥n phèi 141.7 Sì ç khèi cho h» thèng ÷ñc k¸t nèi nèi ti¸p v  song song 161.8 H» thèng c§u tróc hén hñp 191.9 Ph¥n phèi mô (µ = 1) 211.10 H m mªt ë x¡c su§t cõa ph¥n phèi Gamma, µ = 1 221.11 H m tin cªy cõa ph¥n phèi Gamma, µ = 1 231.12 H m rõi ro cõa ph¥n phèi Gamma, µ = 1 231.13 H m mªt ë x¡c su§t cõa ph¥n phèi Weibull vîi mët sè gi¡

trà cõa tham sè h¼nh d¤ng α v  β = 1 251.14 H m t¿ l» rõi ro cõa ph¥n phèi Weibull, β = 1 252.1 Sì ç khèi qu¡ tr¼nh Weibull PHM cho tö i»n 402.2 H m tin cªy ð còng 1700C vîi 4 mùc i»n ¡p kh¡c nhau 482.3 H m tin cªy ð còng 1800C vîi 4 mùc i»n ¡p kh¡c nhau 492.4 H m tin cªy ð còng 350 V vîi 2 mùc nhi»t ë kh¡c nhau 492.5 H m mªt ë ð còng 1700C vîi 4 mùc i»n ¡p kh¡c nhau 502.6 H m mªt ë ð còng 350 V vîi 2 mùc nhi»t ë kh¡c nhau 502.7 H m ph¥n phèi ð còng 1700C vîi 4 mùc i»n ¡p kh¡c nhau 512.8 H m ph¥n phèi ð còng 350 V vîi 2 mùc nhi»t ë kh¡c nhau 512.9 ç thà Q-Q cho ph¦n d÷ cõa 32 quan s¡t khæng bà kiºm duy»t 54

Danh möc b£ng

2.1 K¸t qu£ thû nghi»m cho tuêi thå cõa tö i»n 382.2 Ph¦n d÷ t÷ìng ùng 32 quan s¡t khæng bà kiºm duy»t 522.3 Tuêi thå trung b¼nh cõa tö i»n ð c¡c mùc i»n ¡p v  nhi»t

ë 55

Möc löc

1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n 6

1.1 Bi¸n tr¤ng th¡i 6

1.2 Tuêi thå 7

1.3 H m tin cªy 8

1.4 H m t¿ l» rõi ro 9

1.5 Tuêi thå trung b¼nh 12

1.6 Kiºm duy»t v  ch°t cöt dú li»u 14

2 ë tin cªy cõa h» thèng 16

2.1 H» thèng nèi ti¸p v  song song 17

2.2 H» thèng gçm k h» con ÷ñc l§y ra tø n h» con 19

3 Mët sè ph¥n phèi tuêi thå th÷íng g°p 20

3.1 Ph¥n phèi mô 20

3.2 Ph¥n phèi Gamma 21

3.3 Ph¥n phèi Weibull 24

3.4 ×îc l÷ñng tham sè cõa ph¥n phèi tuêi thå 26

2 Mæ h¼nh t l» rõi ro Cox (PHM) 29 1 Mæ h¼nh 29

1.1 Mæ h¼nh t l» rõi ro Cox (PHM) 29

1.2 Mët sè v½ dö 30

2 ×îc l÷ñng tham sè trong mæ h¼nh 32

2.1 ×îc l÷ñng tham sè mæ h¼nh t l» rõi ro Cox vîi rõi ro Weibull 32

2.2 Ph÷ìng sai cõa h» sè ÷îc l÷ñng 34

3 Ph¥n t½ch ph¦n d÷ 35

4 Sü phò hñp cõa mæ h¼nh 36

5 Ùng döng ph¥n t½ch ë tin cªy cõa tö i»n 37

5.1 Cox PHM cho tö i»n 40

5.2 ×îc t½nh tham sè 41

5.3 C¡c ¤i l÷ñng °c tr÷ng 44

5.4 Ph¦n d÷ 52

5.5 Tuêi thå trung b¼nh 53

Giîi thi»u luªn v«n

1 L½ do chån · t i

ë tin cªy l  x¡c su§t m  mët ìn và hay h» thèng s³ thüc hi»n chùc n«ng

dü ành cõa m¼nh cho ¸n mët thíi iºm n o â trong c¡c i·u ki»n sûdöng cö thº Vi»c x¡c ành ë tin cªy nh÷ l  x¡c ành ch§t l÷ñng cõa thi¸t

bà theo thíi gian hay ch½nh l  x¡c ành tuêi thå cõa s£n ph©m (thi¸t bà).Khi ¡nh gi¡ ë tin cªy cõa s£n ph©m ÷ñc thi¸t k¸, ta ph£i xem x²t chiti¸t v· c¡c tr÷íng hñp g¥y léi s£n ph©m v  cì ch¸ th§t b¤i häng hâc cõaqu¡ tr¼nh sû döng s£n ph©m C¡c nh  s£n xu§t th÷íng ÷a ra giîi h¤ncho ë tin cªy ch½nh thùc ho°c khæng ch½nh thùc cõa s£n ph©m thi¸t bà.Nhúng kh¯ng ành â b­t nguçn tø kinh nghi»m qu¡ khù vîi c¡c s£n ph©mt÷ìng tü, c¡c ti¶u chu©n trong cæng nghi»p, c¡c y¶u c¦u cõa kh¡ch h ngho°c mët mong muèn c£i thi»n ë tin cªy hi»n câ cõa s£n ph©m

Trong thèng k¶, thíi gian ho¤t ëng cõa mët thi¸t bà s£n ph©m ÷ñc gåi

l  tuêi thå hay thíi gian sèng cõa thi¸t bà ÷ñc coi l  mët bi¸n ng¨unhi¶n vîi ph¥n phèi (life distribution) cö thº nh÷ ph¥n phèi mô, ph¥nphèi Weibull º ¡nh gi¡ tuêi thå cõa thi¸t bà s£n ph©m khi thay êic¡c y¸u tè t¡c ëng nh÷ nhi»t ë, ë ©m, ë rung, sèc nhi»t, c¡c kÿ s÷th÷íng sû döng ph÷ìng ph¡p thû nghi»m t«ng tèc trong pháng th½ nghi»m(accelerated life testing)

Cæng tr¼nh l m n¶n t¶n tuêi cõa GS David Cox l  b i b¡o Regressionmodels and life-tables ÷ñc cæng bè tr¶n tªp san Journal of the RoyalStatistical Society n«m 1972 B i b¡o cõa GS Cox cho ¸n nay (sau 48n«m) ¢ câ hìn 45,000 tr½ch d¨n! B i b¡o n y ÷ñc ¡nh gi¡ l  mët trong

100 cæng tr¼nh nêi ti¸ng to n c¦u tø tr÷îc ¸n nay Trong b i b¡o â, æng

mæ t£ mët ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch c¡c dú li»u sèng cán theo mæ h¼nh hçi

qui Mæ h¼nh n y sau n y ÷ñc bi¸t ¸n d÷îi thuªt ngú Cox's proportionalhazards model.

Mæ h¼nh n y phê bi¸n trong h¦u h¸t c¡c ng nh khoa håc, tø y khoa ¸nx¢ hëi håc v  khoa håc k¾ thuªt Ch¯ng h¤n, trong y khoa, mæ h¼nh ÷ñc

¡p döng º nghi¶n cùu sü £nh h÷ðng cõa c¡c y¸u tè nh÷ tuêi, giîi t½nh,chi·u cao, c¥n n°ng, ¸n tuêi thå cõa c¡c b»nh nh¥n ung th÷ sau khi

÷ñc i·u trà; trong khoa håc x¢ hëi, nhi·u nh  khoa håc ¡p döng mæ h¼nh

º nghi¶n cùu thíi gian chung sèng cõa c¡c c°p vñ chçng, tø khi k¸t hæn

¸n lóc li dà; trong khoa håc k¾ thuªt, mæ h¼nh câ thº ÷ñc ¡p döng ºnghi¶n cùu sü £nh h÷ðng cõa c¡c t¡c nh¥n ¸n ë tin cªy cõa m¡y mâc.V¼ vªy, chóng tæi chån · t i "¡nh gi¡ ë tin cªy cõa h» thèng sû döng

3 èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n cùu

3.1 èi t÷ñng nghi¶n cùu

Mæ h¼nh t l» rõi ro Cox vîi rõi ro Weibull v  ùng döng mæ h¼nh v o ph¥nt½ch ë tin cªy cõa tö i»n thõy tinh

3.2 Ph¤m vi nghi¶n cùu

Nghi¶n cùu ë tin cªy cõa tö i»n b¬ng c¡c thû nghi»m t«ng tèc trongpháng th½ nghi»m, ¡nh gi¡ tuêi thå cõa tö i»n theo c¡c bi¸n £nh h÷ðng(nhi»t ë v  i»n ¡p)

¡p câ £nh h÷ðng lîn ¸n tuêi thå cõa tö i»n thõy tinh v  tuêi thå câ xuh÷îng gi£m khi nhi»t ë thû nghi»m câ xu h÷îng t«ng".

Luªn v«n công mð ra c¡ch ti¸p cªn hé trñ cho vi»c sû döng Weibull PHM

º dü o¡n c¡c °c t½nh ë tin cªy cõa c¡c thi¸t bà i»n tû nâi chung khi

câ ÷ñc bë dú li»u thû nghi»m

5.2 Þ ngh¾a thüc ti¹n

Tø k¸t qu£ cõa Luªn v«n kh¯ng ành r¬ng: Tuêi thå cõa tö i»n câ xuh÷îng gi£m khi nhi»t ë hay i»n ¡p câ xu h÷îng t«ng, ng÷íi dòng câ thºlüa chån mæi tr÷íng l m vi»c câ nhi»t ë th½ch hñp v  i·u ch¿nh i»n ¡phñp l½ º vøa ti»n lñi cho vi»c sû döng công nh÷ k²o d i hìn tuêi thå cõa

• ë tin cªy cõa h» thèng: Tr¼nh b y têng quan v· ë tincªy cõa h» thèng v  cö thº hâa vîi tr÷íng hñp h» thèng ÷ñck¸t nèi nèi ti¸p v  h» thèng ÷ñc k¸t nèi song song; kh¡i ni»m

v  ë tin cªy cõa c§u tróc gçm k h» con ÷ñc l§y ra tø n h»con

• Mët sè ph¥n phèi tuêi thå th÷íng g°p: Tr¼nh b y 3ph¥n phèi sèng sât th÷íng ÷ñc sû döng cho bi¸n ng¨u nhi¶ntuêi thå T l : Ph¥n phèi mô, ph¥n phèi Gamma, ph¥n phèiWeibull v  ph÷ìng ph¡p ÷îc l÷ñng tham sè cõa ph¥n phèituêi thå

Ch÷ìng 2 Mæ h¼nh t l» rõi ro Cox (PHM)

Tr¼nh b y 5 möc ch½nh: Mæ h¼nh, ÷îc l÷ñng tham sè trong mæ h¼nh, ph¥nt½ch ph¦n d÷, sü phò hñp cõa mæ h¼nh v  ùng döng ph¥n t½ch ë tin cªycõa tö i»n

• Mæ h¼nh: Tr¼nh b y mæ h¼nh t l» rõi ro Cox Sau â cö thºhâa mæ h¼nh Cox vîi tr÷íng hñp rõi ro h¬ng sè (λ0(t) = λ)

v  tr÷íng hñp rõi ro Weibull (λ0(t) = αβαtα−1)

• ×îc l÷ñng tham sè trong mæ h¼nh: Tr¼nh b y ÷îc l÷ñngtham sè mæ h¼nh t l» rõi ro Cox vîi rõi ro Weibull v  ph÷ìngsai cõa h» sè ÷îc l÷ñng

• Ph¥n t½ch ph¦n d÷: Tr¼nh b y ph¦n d÷ Cox - Snell

• Sü phò hñp cõa mæ h¼nh: Tr¼nh b y 3 thèng k¶ º kiºmtra sü phò hñp cõa mæ h¼nh C¡c thèng k¶ ÷ñc kº ¸n l :

Thèng k¶ kiºm ành (t¿ sè hñp l½), thèng k¶ Score v  thèngk¶ Wald.

• Ùng döng ph¥n t½ch ë tin cªy cõa tö i»n: Thi¸t lªp

mæ h¼nh Cox vîi t l» rõi ro Weibull kiºm chùng sü £nh h÷ðngcõa nhi»t ë v  i»n ¡p ¸n tuêi thå cõa tö i»n thõy tinh

Ch֓ng 1

Mæ h¼nh ë tin cªy

Ch÷ìng 1, tr¼nh b y c¡c ki¸n thùc têng quan v·: Bi¸n ng¨u nhi¶n tuêi thå

v  c¡c °c tr÷ng, ë tin cªy cõa h» thèng v  mët sè ph¥n phèi tuêi thåth÷íng g°p

1 n¸u èi t÷ñng ho¤t ëng t¤i thíi iºm t;

0 n¸u èi t÷ñng th§t b¤i t¤i thíi iºm t

Bi¸n tr¤ng th¡i cõa mët èi t÷ñng ÷ñc minh håa nh÷ H¼nh 1.1 v  th÷íng

l  bi¸n ng¨u nhi¶n

H¼nh 1.1: Bi¸n tr¤ng th¡i v  tuêi thå cõa mët èi t÷ñng

Tuêi thå khæng ph£i lóc n o công ÷ñc o b¬ng thíi gian nh÷ trong làch.

Nâ câ thº ÷ñc o b¬ng c¡c kh¡i ni»m thíi gian gi¡n ti¸p hìn, ch¯ng h¤n:

• Sè l¦n âng - ng­t ÷ñc vªn h nh;

• Sè ki-læ-met l¡i xe;

• Sè váng quay cõa ê ï tröc;

• Sè chu k¼ cõa mët èi t÷ñng l m vi»c ành k¼

Tø nhúng v½ dö tr¶n nhªn th§y r¬ng, tuêi thå T th÷íng l  bi¸n ng¨u nhi¶nríi r¤c Tuy nhi¶n, câ thº x§p x¿ bi¸n ng¨u nhi¶n ríi r¤c bði bi¸n ng¨unhi¶n li¶n töc V¼ vªy, trong Luªn v«n s³ luæn x²t r¬ng tuêi thå T l  mëtbi¸n ng¨u nhi¶n li¶n töc K½ hi»u F (t) l  h m ph¥n phèi x¡c su§t v  f (t)

l  h m mªt ë x¡c su§t cõa bi¸n ng¨u nhi¶n tuêi thå T Khi â:

F (t) = Pr(T ≤ t) =

Z t 0

H¼nh 1.3: H m tin cªy R(t)

1.4 H m t¿ l» rõi ro

X¡c su§t º mët möc s³ th§t b¤i trong kho£ng thíi gian (t, t + ∆t] vîi

i·u ki»n èi t÷ñng v¨n sèng cho ¸n thíi iºm t l :

• X¡c su§t º mët möc s³ th§t b¤i trong kho£ng thíi gian

(t, t + ∆t] vîi i·u ki»n èi t÷ñng v¨n sèng cho ¸n thíi

iºm t b¬ng t½ch cõa h m t¿ l» rõi ro λ(t) t¤i thíi iºm t vîi

sè gia thíi gian ∆t

N¸u chóng ta ÷a mët sè l÷ñng lîn c¡c möc gièng h»t nhau v o ho¤t ëngt¤i thíi iºm t th¼ t½ch λ(t) · ∆t s³ ¤i di»n cho t l» t÷ìng èi c¡c èi

t÷ñng v¨n ho¤t ëng t¤i thíi iºm t, nh÷ng th§t b¤i trong kho£ng thíigian (t, t + ∆t] ti¸p theo Sû döng cæng thùc:

d

V¼ R(0) = 1 n¶n:

Z t 0

λ(t) dt =

Z t 0

λ(u) du

vîi t > 0 (1.13)

Do â, thu ÷ñc mèi li¶n h» giúa c¡c h m F (t), f (t), R(t) v λ(t) nh÷ sau:

F (t) =

Z t 0

f (u)du = 1 − R(t) = 1 −exp



−

Z t 0

f (u)du = exp



−

Z t 0

f (u)du

= − d

dtlnR(t) (1.17)

Tø cæng thùc (1.12) th§y r¬ng h m tin cªy (h m sèng sât) R(t) ÷ñc x¡c

ành duy nh§t thæng qua h m t¿ l» rõi ro λ(t) º x¡c ành d¤ng cõa λ(t)

cho mët möc cö thº, câ thº thüc hi»n c¡c th½ nghi»m sau:

Chia kho£ng thíi gian (0, t) th nh c¡c kho£ng ríi r¤c câ ë d i b¬ng ∆t.Sau â, cho n möc gièng h»t nhau v o ho¤t ëng t¤i thíi iºm t = 0 Khimët möc th§t b¤i, chóng ta ghi l¤i thíi gian cö thº v  lo¤i bä möc â Vîiméi kho£ng thíi gian ∆t, ghi ch²p c¡c i·u sau:

• Sè möc n(i) th§t b¤i trong kho£ng i

• Thíi gian ho¤t ëng cho c¡c möc cõa c¡ nh¥n trong kho£ngthíi gian i l  (T1i, , Tni), trong â Tji l  möc thù j ¢ ho¤t

ëng trong kho£ng thíi gian i Tji = 0 n¸u möc j th§t b¤itr÷îc kho£ng i, vîi j = 2, , n

biºu thà sè l÷ñng léi tr¶n méi ìn và thíi gi¤n ho¤t ëng trong kho£ng i

v  l  ÷îc t½nh tü nhi¶n cõa t¿ l» rõi ro trong kho£ng i

ành ngh¾a m(i) l  sè c¡c möc ang ho¤t ëng t¤i thíi iºm b­t ¦u cõakho£ng i Khi â:

H¼nh 1.4: H m bªc thang λ(t)

Khi n r§t lîn, câ thº sû döng kho£ng thíi gian r§t nhä N¸u ∆t → 0,s³ k¼vång r¬ng h m bªc thang λ(t) ti»m cªn ¸n mët ÷íng cong li¶n töc, nh÷H¼nh 1.5

H¼nh 1.5: H m bªc thang λ(t) ti»m cªn ¸n mët ÷íng cong li¶n töc

1.5 Tuêi thå trung b¼nh

Tuêi thå trung b¼nh (MTTF) ÷ñc ành ngh¾a bði:

MTTF = E(T ) =

Z ∞ 0

tf (t) dt (1.18)Khi thíi gian c¦n thi¸t º sûa chúa ho°c thay th¸ mët möc bà häng r§tng­n so vîi tuêi thå trung b¼nh (MTTF) th¼ MTTF công thº hi»n thíi gian

trung b¼nh giúa c¡c l¦n th§t b¤i (MTBF) N¸u thíi gian sûa chúa khængthº bä qua th¼ MTBF bao gçm luæn c£ thíi gian sûa chúa (MTTR).

Tø f (t) = −R0(t), thu ÷ñc:

MTTF = −

Z ∞ 0

tR0(t) dt

Sû döng cæng thùc t½ch ph¥n tøng ph¦n, thu ÷ñc:

MTTF= −[tR(t)]|∞0 +

Z ∞ 0

R(t) dt

N¸u MTTF < ∞, câ thº chùng minh r¬ng [tR(t)]|∞0 = 0 Tø â suy ra:

MTTF=

Z ∞ 0

R(t) e−stdt (1.20)Khi s = 0 thu ÷ñc:

R∗(0) =

Z ∞ 0

R(t) dt = MTTF (1.21)

Trung và (Median): MTTF ch¿ l  mët trong nhi·u bi»n ph¡p o trungt¥m cõa ph¥n phèi Mët bi»n ph¡p thay th¸ kh¡c l  trung và, ÷ñc ànhngh¾a bði:

R(tm) = 0.5 (1.22)Trung và chia ph¥n phèi l m 2 nûa Mët nûa s³ th§t b¤i tr÷îc thíi gian

tm vîi x¡c su§t 50% v  nûa cán l¤i s³ th§t b¤i sau thíi gian tm công vîix¡c su§t 50%

Mode: Mode cõa ph¥n phèi, k½ hi»u tmode l  thíi gian l m cüc ¤i h mmªt ë x¡c su§t f (t):

f (tmode) =max0≤t<∞f (t) (1.23)H¼nh 1.6 biºu thà và tr½ cõa MTTF, trung và tm v  tmode cõa mët ph¥nphèi

H¼nh 1.6: Và tr½ cõa MTTF, t m v  t mode cõa mët ph¥n phèi

1.6 Kiºm duy»t v  ch°t cöt dú li»u

Kiºm duy»t

X²t T l  bi¸n ng¨u nhi¶n tuêi thå

• Kiºm duy»t ph£i: N¸u ch¿ bi¸t T > t tø mët quan s¡t t, th¼ t

÷ñc gåi l  "kiºm duy»t ph£i"

• Kiºm duy»t tr¡i: N¸u ch¿ bi¸t T < t tø mët quan s¡t t, th¼ t

÷ñc gåi l  "kiºm duy»t tr¡i"

• Kiºm duy»t kho£ng: Trong "kiºm duy»t kho£ng" bi¸ta < T < b

nh÷ng khæng bi¸t ch½nh x¡c gi¡ trà cõa T

• Thíi gian kiºm duy»t: N¸u c l  thíi gian m  chóng ta ch¿quan s¡t c khi T > c th¼ c ÷ñc gåi l  thíi gian kiºm duy»t.Thíi gian sèng sât t ÷ñc biºu thà b¬ng:

t = T ∧ c = min(T, c)

• H» sè kiºm duy»t: H» sè kiºm duy»t δ ÷ñc ành ngh¾a bði:

δ = I{T ≤c} =

(

1 n¸u T ≤ c (khæng kiºm duy»t);

0 n¸u T > c (kiºm duy»t),

vîi IA ÷ñc cho bði cæng thùc:

IA = 1 n¸u A x£y ra;

0 n¸u A khæng x£y ra

C¡c kiºu kiºm duy»t

• Kiºm duy»t Lo¤i I : Thíi gian kiºm duy»t l  mët h¬ng sè (¢bi¸t), ch¯ng h¤n nh÷ thíi gian l  5 n«m trong tr÷íng hñpch½nh s¡ch b£o hiºm nh¥n thå 5 n«m; ho°c mët nghi¶n cùu

2 n«m v· c¡c chõ · ¢ câ s®n

• Kiºm duy»t Lo¤i II : Ch§m dùt ngay sau khi quan s¡t th§tb¤i Kiºm duy»t n y th÷íng ÷ñc sû döng trong c¡c b i kiºmtra ë tin cªy, trong â mët b i kiºm tra k¸t thóc khi c¡c s£nph©m th§t b¤i

• Kiºm duy»t ng¨u nhi¶n: iºm b­t ¦u v  iºm k¸t thóc quans¡t l  ng¨u nhi¶n Kiºm duy»t ng¨u nhi¶n l  kiºm duy»t phêbi¸n nh§t trong c¡c mæ h¼nh sèng sât

Ch°t cöt

• Ch°t cöt tr¡i: Ch¿ quan s¡t T = t vîi i·u ki»n T > a vîi

a l  gi¡ trà cho tr÷îc Trong tr÷íng hñp nh÷ vªy, quan s¡t t

÷ñc gåi l  "ch°t cöt tr¡i" t¤i a

• Ch°t cöt ph£i: Ch¿ quan s¡t T = t vîi i·u ki»n T < a vîi a

l  gi¡ trà cho tr÷îc

Sü kh¡c nhau giúa "Kiºm duy»t" v  "ch°t cöt"

• Mët "kiºm duy»t" tl  quan s¡t tr¶n t§t c£ c¡c èi t÷ñng bi¸tr¬ng T > t

• Mët "ch°t cöt" t l  quan s¡t ch¿ tr¶n mët c¡ nh¥n vîi T > a

bi¸t r¬ng T = t n¸u èi t÷ñng ÷ñc quan s¡t

2 ë tin cªy cõa h» thèng

Chóng ta s³ t¼m hiºu c¡ch thùc t½nh h m tin cªy cõa h» thèng, nh÷ l  mët

h m tin cªy cõa c¡c th nh ph¦n cõa nâ V¼ vªy, n¸u ta câ mët h» thèng baogçm k h» thèng con (th nh ph¦n), câ c¡c h m ë tin cªy R1(t), , Rk(t),th¼ ë tin cªy cõa h» thèng l :

N¸u léi cõa mët trong hai h» thèng con lªp tùc g¥y ra th§t b¤i cho c£ h»thèng, ta nâi r¬ng h» thèng con ÷ñc k¸t nèi tu¦n tü (connected in series).Tr¡i l¤i, mët h» thèng bao gçm k h» thèng con ÷ñc gåi l  k¸t nèi songsong, n¸u h» thèng bà léi ch¿ khi t§t c£ c¡c h» thèng con bà léi Trong mëth» thèng k¸t nèi song song ch¿ c¦n ½t nh§t mët h» thèng con ho¤t ëng l 

õ cho to n bë h» thèng ho¤t ëng

D÷îi ¥y, biºu thà k¸t nèi nèi ti¸p v  song song b¬ng mët sì ç khèi, nh÷trong H¼nh 1.7

H¼nh 1.7: Sì ç khèi cho h» thèng ÷ñc k¸t nèi nèi ti¸p v  song song

2.1 H» thèng nèi ti¸p v  song song

Ta gåiIi, (i = 1, 2, , k) l  bi¸n ch¿ ành Ii nhªn gi¡ trà 1 n¸u th nh ph¦n

Ci, khæng bà léi trong mët kho£ng thíi gian quy ành (0, t0) v  nhªn gi¡trà 0 n¸u th nh ph¦n Ci bà häng trong kho£ng thíi gian (0, t0) Ký vångcõa bi¸n Ii l :

E[Ii] = P [Ii = 1] = Ri(t0) (1.24)H» thèng ÷ñc k¸t nèi nèi ti¸p

H m c§u tróc (series structure function) cõa h» gçm k th nh ph¦n ÷ñck¸t nèi nèi ti¸p l :

ψs(R1, , Rk), vîi R1, , Rk l  c¡c gi¡ trà tin cªy cõa c¡c th nh ph¦n.H» thèng ÷ñc k¸t nèi song song

H m c§u tróc cõa h» gçm k th nh ph¦n ÷ñc k¸t nèi song song l :

V¼ c¦n c¡c th nh ph¦n vªn h nh theo óng thi¸t k¸ n¶n xem x²t mët h mc§u tróc nèi ti¸p Do â, ë tin cªy h» thèng cho t0 = 200 (gií) l :

R(s)sys(t0) = (0.9999)200 = 0.9802

Nh÷ vªy, dò thüc t¸ l  méi th nh ph¦n l  h¦u nh÷ khæng thº bà léi, câ mëtx¡c su§t 0.02 r¬ng th´ s³ häng trong váng 200 gií N¸u méi th nh ph¦nch¿ câ mët ë tin cªy 0.99 th¼ ë tin cªy th´ l :

R(s)sys(t0) = (0.99)200 = 0.134

Gi£ sû r¬ng th´ câ ché trèng cho mët sè linh ki»n dü pháng Do â, taquy¸t ành sû döng c¡c linh ki»n câ ë tin cªy R = 0.99 v  l°p l¤i méilinh ki»n trong mët c§u tróc song song C§u tróc song song cõa c¡c linhki»n tròng l°p ÷ñc coi nh÷ l  mët modulo ë tin cªy cõa méi modulo

l  RM = 1 − (1 − 0.99)2 = 0.9999 Khi â, ë tin cªy cõa (to n bë) h»thèng l :

R(s)sys = R200M = 0.9802

Do â, b¬ng c¡ch thay êi c§u tróc cõa th´ ta câ thº ¤t ÷ñc ë tin cªy0.98 vîi 200 th nh ph¦n, méi th nh ph¦n gçm mët c°p c¡c linh ki»n, méilinh ki»n câ ë tin cªy 0.99

C¡c h» thèng câ thº câ c§u tróc phùc t¤p hìn H¼nh 1.8 cho ta sì ç khèicõa mët h» thèng bao gçm n«m th nh ph¦n

Gåi R1, R2, , R5 biºu thà cho c¡c gi¡ trà ë tin cªy cõa n«m th nh ph¦n

C1, C2, , C5 t÷ìng ùng GåiM1 l  modulo bao gçm c¡c th nh ph¦nC1, C2

v  gåi M2 l  modulo bao gçm c¡c th nh ph¦n kh¡c ð nh¡nh thù hai ëtin cªy cõa M1 cho mët kho£ng thíi gian quy ành l :

RM = R1R2

2.2 H» thèng gçm k h» con ÷ñc l§y ra tø n h» con

Mët h m quan trång kh¡c l  h m c§u tróc cõa k h» con ÷ñc l§y ra tø n

h» thèng con

Kh¡i ni»m: Mët h» thèng ÷ñc gåi l  h» k h» con ÷ñc l§y ra tø n h» con,n¸u h» thèng â gçm n h» thèng con, v  ta c¦n câ ½t nh§t k h» thèng cons³ ho¤t ëng (1 ≤ k < n), trong suèt kho£ng thíi gian quy ành, º choc£ h» thèng ho¤t ëng

Gi£ sû thíi gian ho¤t ëng cõa c¡c h» thèng con l  ëc lªp Khi â, câ thºx¥y düng h m tin cªy cõa c£ h» thèng, b¬ng c¡c suy luªn x¡c su§t ìngi£n

V½ dö, n¸u câ 3 h» thèng con vîi ë tin cªy l¦n l÷ñt l  R1, R2, R3 trongmët kho£ng thíi gian nh§t ành, v  ½t nh§t 2 trong 3 h» con ho¤t ëng th¼

ë tin cªy cõa h» thèng l :

R2(3) = 1 − (1 − R1)(1 − R2)(1 − R3) − R1(1 − R2)(1 − R3)

− R2(1 − R1)(1 − R3) − R3(1 − R1)(1 − R2)

= R1R2 + R1R3 + R2R3 − 2R1R2R3

ë tin cªy cõa h» thèng gçm k h» con l§y ra tø n h» con

N¸u t§t c£ c¡c h» thèng con câ còng gi¡ trà ë tin cªyR, trong mët kho£ngthíi gian nh§t ành, th¼ h m tin cªy cõa h» thèng, trong c§u tróc k l§y ra

tø n, câ thº ÷ñc t½nh b¬ng c¡ch sû döng ph¥n phèi nhà thùc B(j; n, R)

nh÷ sau:

Rk(n)sys = 1 − B(k − 1; n, R)

3 Mët sè ph¥n phèi tuêi thå th÷íng g°p

Ph¥n phèi sèng sât th÷íng ÷ñc sû döng cho bi¸n ng¨u nhi¶n tuêi thå T

bao gçm: Ph¥n phèi mô, ph¥n phèi Gamma v  ph¥n phèi Weibull

Ph¥n phèi nh÷ tr¶n ÷ñc gåi l  ph¥n phèi mô vîi tham sè µ, k½ hi»u

T ∼ exp(µ) H m tin cªy (h m sèng sât) cõa mët möc l :

R(t) = Pr(T > t) =

Z ∞ t

R(t)dt =

Z ∞ 0

e−µtdt = 1

X²t mët möc m  nâ x£y ra mët lo¤t c¡c có sèc C¡c kho£ng thíi gian

T1, T2, giúa c¡c có sèc li¶n ti¸p l  ëc lªp vîi nhau v  tu¥n theo ph¥n

phèi mô vîi tham sè µ Gi£ sû r¬ng möc â th§t b¤i ð có sèc thù k th¼tuêi thå cõa möc l :

H m tin cªy R(t) vîi mët sè gi¡ trà cõa k ÷ñc minh håa nh÷ H¼nh 1.11

H¼nh 1.11: H m tin cªy cõa ph¥n phèi Gamma, µ = 1

N¸u k khæng nguy¶n, câ thº sû döng c¡c cæng thùc (1.4) v  (1.10) º t¼m

h m tin cªy R(t) v  h m t¿ l» rõi ro λ(t) Cocozza - Thivent, 1997, p 10

N¸u T1 ∼ Gamma(k1, µ) v  T2 ∼ Gamma(k2, µ) l  ëc lªp th¼ T1+ T2 ∼Gamma(k1 + k2, µ) Do â, câ thº nâi r¬ng, ph¥n phèi Gamma âng vîiph²p to¡n cëng.

Tuêi thå T cõa mët möc ÷ñc gåi l  tu¥n theo ph¥n phèi Weibull vîi tham

sè α > 0 v  β > 0 (T ∼ Weibull (α, β)) n¸u h m ph¥n phèi ÷ñc cho bðicæng thùc:

H¼nh 1.13: H m mªt ë x¡c su§t cõa ph¥n phèi Weibull vîi mët sè gi¡ trà cõa tham

Khiα = 1, t¿ l» rõi ro l  h¬ng sè; khiα > 1, t¿ l» rõi ro t«ng; khi 0 < α < 1

t¿ l» rõi ro gi£m H m t¿ l» rõi ro λ(t) cõa ph¥n phèi Weibull vîi mët sègi¡ trà cõa tham sè h¼nh d¤ng α ÷ñc minh håa nh÷ H¼nh 1.14

H¼nh 1.14: H m t¿ l» rõi ro cõa ph¥n phèi Weibull, β = 1.

Tø cæng thùc (1.39), thu ÷ñc:

R



1β

°tf (t) = f (t|θ) l  h m mªt ë v  R(t) = R(t|θ) l  h m tin cªy cõa mëtph¥n phèi vîi tham sè θ (θ câ thº l  mët vectì) K½ hi»u:

• l(ti|θ) = f (ti|θ) = f (ti), ti khæng kiºm duy»t, khæng ch°tcöt;