Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Một số định lý giới hạn trong lý thuyết Martingale

Vì định lý hội tụ Martingale có thể được coi như một phép tương tự của luật mạnh số lớn, ta có thể hy vọng rằng tồn tại các phép tương tự của định lý giới hạn trung tâm và luật logarit lặp thông thường mà có thể được giải thích như là kết quả về tốc độ hội tụ trong định lý hội tụ Martingale... Mời các bạn cùng tham khảo.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS TSKH Đặng Hùng Thắng

Hà Nội - Năm 2018

Mục lục

Chương 1 Martingale và các bất đẳng thức cơ bản 7

1.1 Martingale và các tính chất 7

1.1.1 Định nghĩa Martingale và các ví dụ 7

1.1.2 Các tính chất 10

1.2 Các bất đẳng thức cơ bản 11

1.2.1 Một số bất đẳng thức cơ bản 11

1.2.2 Bất đẳng thức hàm bình phương 15

Chương 2 Luật số lớn và các định lý hội tụ 22 2.1 Định lý hội tụ martingale 22

2.2 Luật số lớn 24

2.2.1 Luật số lớn 24

2.2.2 Luật mạnh số lớn 26

2.3 Hội tụ trong Lp 35

Chương 3 Định lý giới hạn trung tâm 46 3.1 Hội tụ L1− yếu, hội tụ ổn định 46

3.2 Tốc độ hội tụ trong định lý giới hạn trung tâm 53

Lời cảm ơn

Với tình cảm chân thành, em xin được bày tỏ lòng biết ơn đến trường Đạihọc Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, Phòng Đào tạo Sau Đạihọc, Khoa Toán - Cơ - Tin học cùng các quí thầy cô giáo đã tận tình hướngdẫn, tạo mọi điều kiện cho em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu vàhoàn thành khóa luận

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH Đặng HùngThắng, chủ nhiệm bộ môn Xác suất và thống kê toán học, Khoa Toán - Cơ -Tin học, trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, ngườiThầy đã trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn khoa học cho em

Xin được cảm ơn lãnh đạo chỉ huy Học viện Phòng Không - Không Quân,lãnh đạo chỉ huy Phòng Quản Lý học viên Đoàn 871 Tổng cục chính trị - BộQuốc Phòng, cùng các đồng nghiệp, người thân trong gia đình, bạn bè thânthiết đã động viên giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành nhiệm

vụ học tập nâng cao trình độ chuyên môn của mình

Dù tác giả đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếusót Kính mong nhận được sự góp ý, chỉ dẫn của quí thầy, cô giáo, các bạnđồng nghiệp và những người quan tâm tới đề tài nghiên cứu

Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 15 tháng 12 năm 2018

Học viên

Dương Thị Ánh Tuyết

Danh sách ký hiệu

||.||p Chuẩn của không gian Banach Lp

(X n ) Dãy các biến ngẫu nhiên

→ Hội tụ theo xác suất

(Ω, F , P ) Không gian xác suất

L p Tập các biến ngẫu nhiên X sao cho E|X|p < ∞

Lp Tập hợp các biến ngẫu nhiên X sao cho E|X| p < ∞

↑ Tăng

Lời nói đầu

Cái tên martingale đã được Ville đưa vào trong ngôn ngữ xác suất hiện đại(1939) và chủ đề này được làm nổi bật qua các công trình của Doob trongnhững năm 1940 và đầu những năm 1950 Lý thuyết Martingale, giống như lýthuyết xác suất, bắt nguồn từ trò chơi cờ bạc, nay trở thành một loại quá trìnhngẫu nhiên có rất nhiều ứng dụng về lý thuyết cũng như thực tiễn, đặc biệt làmột công cụ không thể thiếu trong tính toán ngẫu nhiên và toán học trong tàichính

Thật ra, thuật ngữ martingale đã có một lịch sử lâu dài trong trò chơi cờbạc, khi đó ban đầu nó có nghĩa là một hệ thống để bù đắp tổn thất bằng cáchtăng gấp đôi tiền thưởng sau mỗi mất mát Từ điển tiếng Anh của Oxford bắtđầu sử dụng thuật ngữ này từ năm 1815 Khái niệm hiện đại ít nhất có trongmột tài liệu tham khảo trong Bachelier (1900)

Các nghiên cứu về lý thuyết martingale bởi Bernstein (1927, 1939, 1940,1941) và Lévy (1935a, b, 1937) có trước khi sử dụng tên martingale Các tácgiả này giới thiệu martingale dưới dạng các tổng liên tiếp để tổng quát hoácác kết quả giới hạn cho tổng của các biến ngẫu nhiên độc lập Tuy nhiên,công trình tiếp theo của Doob, bao gồm cả việc khám phá ra định lý hội tụmartingale, đã hoàn toàn thay đổi hướng của đề tài Cuốn sách của ông (1953)vẫn là một ảnh hưởng lớn trong gần ba thập niên Chỉ mới gần đây có sựhồi sinh quan tâm thực sự và các hoạt động trong lĩnh vực lý thuyết giới hạnmartingale mà đề cập tới việc tổng quát hóa các kết quả cho tổng của các biếnngẫu nhiên độc lập

Lý thuyết xác suất nói chung, lý thuyết martingale nói riêng đóng góp mộtvai trò vô cùng quan trọng trong sự phát triển chung của toán học hiện đại Nó

chính là một nghành toán học lớn, vừa có tầm lý thuyết ở trình độ cao, đápứng đầy đủ các tiêu chuẩn chặt chẽ chính xác của toán học thuần túy đồngthời lại có phạm vi ứng dụng hết sức rộng rãi trong khoa học tự nhiên, khoahọc xã hội, công nghệ, kinh tế, y sinh học

Với tính ứng dụng cao như vậy, martingale là một mảng rất đáng được quantâm nghiên cứu và phát triển sâu rộng hơn nữa Tuy nhiên, với vốn kiến thứchết sức hạn hẹp của mình về chuyên nghành Lý thuyết xác suất và thống kêtoán học, tác giả cũng đã rất cố gắng học hỏi, tìm tòi, cùng với sự hướng dẫn,chỉ bảo vô cùng tận tình từ Thầy hướng dẫn, tác giả xin được trình bày kếtquả tìm hiểu được của mình thông qua luận văn mang tên: Một số định lý giớihạn trong lý thuyết Martingale Nội dung chính của luận văn được chia làm 3chương

Cụ thể:

Chương 1: Martingale và các bất đẳng thức cơ bản

Nội dung chương 1 của luận văn không chọn trình bày lại một số kiến thức cơbản cũng như một số các kết qua đã được học tập, nghiên cứu trong các mônhọc trong chương trình đào tạo thạc sĩ Toán học chuyên nghành Xác suất vàthống kê toán học mà tập trung chủ yếu trình bày một số kiến thức cơ bảnnhất trong lý thuyết Martingale Đó là định nghĩa martingale, một số ví dụ,tính chất của nó và các bất đẳng thức cơ bản liên quan như: Bất đẳng thứcDoob, Bất đẳng thức cắt ngang, Bất đẳng thức Burkholder, Bất đẳng thứcRosenthal

Tiếp theo, nội dung chương 2: Luật só lớn và các định lý hội tụ

Bố cục chương này được trình bày chi tiết như sau:

của các bất đẳng thức, và các bất đẳng thức thiết lập ở đây sẽ được sử dụngnhiều lần trong phần sau Trong chương này tác giả áp dụng chúng để chứngminh luật số lớn và chỉ trình bày các công cụ cơ bản.

Sau cùng chương 3: Định lý giới hạn trung tâm

Trọng tâm chương 3 giới thiệu định lý giới hạn trung tâm và tốc độ hội tụtrong định lý giới hạn trung tâm

Bản chất martingale cũng là một dãy biến ngẫu nhiên thỏa mãn một sốđiều kiện đặc biệt Lý thuyết về sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên, luật số lớn,luật mạnh số lớn, định lý giới hạn trung tâm có lẽ đã ko còn quá xa lạ trong

lý thuyết xác suất Và hãy cùng tìm hiểu chút khác biệt lý thú của chúng quangôn ngữ mới, ngôn ngữ martingale

Chương 1

Martingale và các bất đẳng thức cơ bản

1.1.1 Định nghĩa Martingale và các ví dụ

Giả sử (Ω,F, P ) là không gian xác suất, G ⊂ F là σ−trường con của F.Một biến ngẫu nhiên X được gọi là tương thích với G nếu X là G−đo được.Trong trường hợp ấy, ta viết X ∈ G

Một dãy F n, n = 1, 2, được gọi là một dãy tăng các σ− trường nếu

F n ⊂ F n+1 ⊂ F, ∀n

1 Cho dãy tăng các σ− trường F n Dãy các biến ngẫu nhiên (Xn) được gọi

là tương thích với dãy F n nếu với mỗi n, Xn ∈F n

2 Dãy (Xn) được gọi là thuộc Lp và ta viết (Xn) ∈ Lp nếu với mọi n thìE|Xn|p < ∞

3 Dãy Xn ∈ L1 được gọi là một martingale đối với dãy F n nếu nó tươngthích với dãy F n và với mọi m < n thì

E(Xn|F m) = Xm

Kí hiệu: martingale {Xn,F n}

4 Dãy Xn ∈ L1 được gọi là một supermartingale (martingale trên) đối vớidãy F n nếu nó tương thích với dãy F n và với mọi m < n thì

E(Xn|F m) 6 Xm

5 Dãy Xn ∈ L1 được gọi là một submartingale (martingale dưới) đối vớidãy F n nếu nó tương thích với dãy F n và với mọi m < n thì

E(Xn|F m) > Xm.Chú ý:

1 Điều kiện

E(Xn|F m) = Xm.Tương đương với

E(Xn+1|F n) = Xn.Thật vậy, do F n ⊂ F n+1 nên theo tính chất của kỳ vọng có điều kiện thì

E(Xn+2|F n) = E(E(Xn+2|F n+1)|F n)

= E(Xn+1|F n) = Xn.Tiếp tục như vậy, bằng quy nạp ta có với mọi k thì

E(Xn+k|F n) = Xn.Tương tự cho các điều kiện

là một martingale nếu nó là một martingale đối với σ−trường tự nhiên

Ví dụ 1.1.1 Cho dãy σ−trường tăng F n và giả sử X là một biến ngẫu nhiên

X ∈ L1 Đặt Xn = E(X|F n) Khi đó, với m < n ta có do tính chất của kỳvọng có điều kiện

E(Xn|F m) = E(E(X|F n)|F m)

= E(X|F m) = Xm.Vậy (Xn)là một martingale đối với F n

Ví dụ 1.1.2 Cho (Yn) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với EYn = 0 vớimọi n Giả sử F n =B(Y1, , Yn) Khi đó, các tổng riêng

Ví dụ 1.1.3 Cho (Yn) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập và EYn = 1 với mọi

n Giả sử F n = B(Y1, , Yn) Khi đó, các tích riêng

X0 = 0, Xn+1 = Xn + Vn+1Yn+1

Khi đó (Xn) là một martingale đối với dãy (F n) Thật vậy, vì Vn+1 ∈F n, EYn+1 =

0 nên Xn ∈ F n và

E(Xn+1|F n) = E(Xn|F n) + E(Vn+1Yn+1|F n)

= Xn+ Vn+1EYn+1

= Xn.1.1.2 Các tính chất

Định lý 1.1.5 Cho {Zn,F n, n ≥ 1} là một martingale dưới L1-bị chặn Khi

đó tồn tại một biến ngẫu nhiên Z sao cho limn→∞Zn = Z hầu chắc chắn vàE|Z| ≤ lim infn→∞ < ∞ Nếu martingale khả tích đều, thì Zn hội tụ tới Ztrong L1, và nếu {Zn,F n} là một martingale L2-bị chặn, thì Zn hội tụ tới Ztrong L2

Định lý 1.1.6 Cho (Xn) là martingale đối với F n Cho Φ là hàm lồi sao choΦ(Xn) ∈ L1 Khi đó (Φ(Xn)) là một martingale dưới đối với F n

Chứng minh Theo bất đẳng thức Jensen ta có với m < n

3 Cho {Xn,F n} là một martingale và Xn ∈ Lp, p > 1 Khi đó, dãy un = E|Xn|p

là dãy không giảm theo n

Thật vậy, với m 6 n ta có

EXm = E((EXn|F m)) = EXn nếu Xn là một martingale

Nếu Xn là một martingale dưới thì

Định lý 1.2.1 Nếu {Si,F i, 1 ≤ i ≤ n} là một martingale dưới, thì với mỗi sốthực λ ta có:

λP

max

E =

max

Nếu {Si, 1 ≤ i ≤ n} là martingale, thì {|Si|p, 1 ≤ i ≤ n} là martingale dưới.Bằng cách áp dụng Định lý 1.2.1 cho martingale dưới này, ta thu được

Hệ quả 1.2.2 Nếu {Si,F i, 1 ≤ i ≤ n} là martingale, thì với mỗi p ≥ 1 và

λ > 0,

λpP

max

i≤n |Si| > λ



≤ E|Sn|p.Định lý 1.2.1 có một ứng dụng theo một hướng khác, mà kéo theo kết quảsau

Định lý 1.2.3 (Bất đẳng thức Doob) Nếu {Si,F i, 1 ≤ i ≤ n} là martingale,thì với p > 1,

kSnkp ≤ max

i≤n |Si|

p

≤ qkSnkp,trong đó p−1+ q−1 = 1, ||Sn||p = (E|Sn|p)1/p, n > 1 là chuẩn Lp của Sn ∈ Lp

Chứng minh Vế trái của bất đẳng thức là hiển nhiên Để chứng minh vế phảicủa bất đẳng thức ta chú ý rằng, theo Định lý 1.2.1 và bất đẳng thức Holder

ta được

E

max

i≤n |Si|p



= p

Z ∞ 0

xp−1P

max

i≤n |Si| > x

dx

≤ p

Z ∞ 0

xp−2E



|Sn|I

max

max

Định lý 1.2.4 (Bất đẳng thức cắt ngang) Ký hiệu v là số lần cắt đoạn compact[a, b] bởi martingale dưới {Si,F i, 1 ≤ i ≤ n} Khi đó

(b − a)E(v) ≤ E(Sn − a)+− E(S1− a)+ (1.1)Chứng minh Do {Si,F i, 1 ≤ i ≤ n} là martingale dưới, nên {(Si − a)+ =max(Si − a, 0),F i, 1 ≤ i ≤ n}, và số lần cắt đoạn [a, b] bởi dãy {Si} bằng sốlần cắt đoạn [0, b − a] bởi {(Si − a)+} Cho nên ta chỉ cần chứng minh rằngvới martingale dưới không âm {Si,F i, 1 ≤ i ≤ n} số lần cắt v trên đoạn [0, b]thỏa mãn

Đặt τ0 = 1, τ1 bằng giá trị j nhỏ nhất sao cho Sj = 0, τ2i bằng giá trị j nhỏnhất trong khoảng τ2i−1 < j ≤ n sao cho Sj ≥ b (i ≥ 1), và τ2i−1 bằng giá trị jnhỏ nhất trong khoảng τ2i−2 < j ≤ n sao cho Sj = 0 (i ≥ 2) Ký hiệu l là giátrị i lớn nhất sao cho τi xác định đúng (1 ≤ l ≤ n), và đật τi = n với i > l.Khi đó τn = n, và

Giả sử rằng i lẻ Nếu i > l thì

Sτ i+1 ≥ b > 0 = Sτ i;nếu i = l thì

Sτi+1 = Sn ≥ 0 = Sτi;

và nếu i > l thì

Sτ i+1 = Sn = Sτ i.Cho nên

i ≤ n} là một martingale dưới Suy ra rằng mỗi E(Sτi+1− Sτi) ≥ 0, và vì vậy

λE(v) ≤ E(Sn + 2λ)+− E(S0+ 2λ)−

1.2.2 Bất đẳng thức hàm bình phương

Bất đẳng thức hàm bình phương được phát triển bởi Burkholder và một sốtác giả khác Trước tiên, ta xét một số bổ đê mà kết quả của nó được dùngnhiều trong các bất đẳng thức quan trọng trong mục này, đó là bất đẳng thứcBurkholder, bất đẳng thức Rosenthal,

Đặt X1 = S1 và ký hiệu Xi = Si− Si−1, 2 ≤ i ≤ n là hiệu của 2 martingale

Si, Si−1 của dãy {Si, 1 ≤ i ≤ n}

Bổ đề 1.2.6 Giả sử {Si,F i, 1 ≤ i ≤ n} là một martingale L1-bị chặn hoặcmartingale dưới không âm Với λ > 0 xác định thời điểm dừng τ bởi

τ =







min{i ≤ n | |Si| > λ} nếu tập này khác rỗng,

với dấu bằng đúng trong trường hợp martingale Cho nên

Hai bất đẳng thức cuối cùng được suy ra từ kết quả |Sτ −1| ≤ λ và {|Sτ|, |Sn|}

là một martingale dưới với σ-trường {F τ,F n}

Bổ đề 1.2.7 Giả sử {Si,F i, 1 ≤ i ≤ n} là một martingale dưới không âm vàđặt

λP (Y > βλ) ≤ 3E[SiI(Y > λ)], (1.5)trong đó β = (1 + 2θ2)1/2, và với mỗi 1 < p < ∞,

≥ Tm−1,{Ti,F i, 1 ≤ i ≤ n} là martingale dưới không âm Ký hiệu Y1 = T1 và Yi =

Từ đây suy ra số hạng thứ hai trong (1.7) bị chặn bởi

max

xp−1P (Y > x)dx

= pβp

Z ∞ 0

yp−1P (Y > βy)dy

≤ 2pβp

Z ∞ 0

yp−2E[SnI(Y > y)]dy

= 3pβpEhSn

Z ∞ 0

≤ kY kp ≤ 3qβpkSnkp.Nếu θ = p−1/2, thì βp = (1 + 2/p)p/2 < e < 3, và suy ra (1.6)

Ta còn phải chứng minh 1.9 Xét thời điểm dừng

Trong tập ở vế trái của (1.9), maxi≤nTi ≤ λ và

Bổ đề 1.2.8 Cho X và Y là các biến ngẫu nhiên không âm và giả sử β > 1,

δ > 0, và ε > 0 thỏa mãn rằng với mọi λ > 0,

P (X > βλ; Y ≤ δλ) ≤ εP (X > λ) (1.10)Khi đó nếu 0 < p < ∞ và ε < β−p thì

E(Xp) ≤ βpδ−p(1 − εβp)−1E(Yp) (1.11)Chứng minh Từ (1.10),

xp−1P (X > βx)dx

≤ εpβp

Z ∞ 0

xp−1P (X > x)dx + pβp

Z ∞ 0

xp−1P (Y > δx)dx

= εβpE(Xp) + βpδ−pE(Yp),kéo theo (1.11)

Định lý 1.2.9 (Bất đẳng thức Burkholder) Nếu {Si,F i, 1 ≤ i ≤ n} là mộtmartingale và 1 < p < ∞, khi đó tồn tại các hằng số C1 và C2 chỉ phụ thuộcvào p sao cho

C1E

p/2

≤ E|Sn|p ≤ C2E

... ∧n, n ≥ 1} martingale Ngoài ra,

bị chặn n → ∞ Định lý hội tụ martingale (Định lý 2.1.1) kéo theo Sva∧nhội

tụ hầu chắn tới giới hạn hữu hạn n → ∞,... E|S| < ∞.Chứng minh Định lý hội tụ hệ đơn giản định lý 1.2.4

Ký hiệu vn v Định lý 1.2.4 đặt v∞ = limn→∞vn (hữu hạn vôcùng) Bất đẳng... class="page_container" data-page="22">

Định lý 1.2.10 Nếu {Si,F i, ≤ i ≤ n} martingale p > 0, đótồn số C phụ thuộc vào p cho

Chứng minh Định lý suy trực tiếp từ Bổ đề 1.2.7