Phát triển phương pháp sai phân khác thường giải một số lớp phương trình vi phân TT

Ngoài các yêu cầu cơ bản như sự hội tụ và ổn định thì một yêu cầu quan trọng hàng đầu với các lược đồ sai phân là phải bảo toàn chính xác các tính chất quan trọng của PTVP.. Theo phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

Hoàng Mạnh Tuấn

PHÁT TRIỂN PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN KHÁC THƯỜNG

GIẢI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 9 46 01 12

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2021

Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ ViệtNam.

Người hướng dẫn khoa học 1: GS TS Đặng Quang Á

Người hướng dẫn khoa học 2: PGS TSKH Vũ Hoàng Linh

Có thể tìm hiểu luận án tại:

- Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ

- Thư viện Quốc gia Việt Nam

MỞ ĐẦU

1 Tổng quan tình hình nghiên cứu

Nhiều quá trình và hiện tượng quan trọng nảy sinh trong các lĩnh vực khoa học và công nghệ được môhình toán học bởi các phương trình vi phân (PTVP) có dạng

dy(t)

trong đó y(t) =y1(t), y2(t), , yn(t)T là một hàm véc-tơ, và f là một hàm thỏa mãn các điều kiện cần thiết

sao cho nghiệm của bài toán (0.0.1) là tồn tại và duy nhất Bài toán (0.0.1) còn được gọi là bài toán giá trị ban

đầu hoặc bài toán Cauchy.

Bài toán (0.0.1) có một vai trò đặc biệt quan trọng trong cả lý thuyết lẫn ứng dụng Về mặt lý thuyết,không khó để chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm, sự phụ thuộc liên tục vào dữ liệu đầu của bài

toán nhờ các kết quả của giải tích toán học Tuy nhiên, việc tìm nghiệm chính xác của bài toán là vô cùng khó

khăn và phức tạp, thậm chí là không thể Nói chung, người ta chỉ có thể tìm được nghiệm chính xác trong một số rất ít những trường hợp riêng và đặc biệt Trong ứng dụng, việc tìm các nghiệm xấp xỉ cho bài toán (0.0.1) hầu

như là không thể tránh khỏi Vì vậy, việc nghiên cứu các phương pháp giải gần đúng PTVP đóng một vai tròquan trọng và nổi bật trong toán học nói chung và toán học tính toán và ứng dụng nói riêng Do nhu cầu củathực tiễn cùng sự phát triển của lý thuyết toán học, nhiều phương pháp số, điển hình là các phương pháp saiphân đã được xây dựng và phát triển (xem, chẳng hạn, Ascher & Petzold 1998; Burden & Faires 2011; Hairer,Nørsset & Wanner 1993, Hairer & Wanner 1996, Stuart & Humphries 1998) Có thể nói rằng lý thuyết chung vềlược đồ sai phân giải bài toán (0.0.1) đã được xây dựng hoàn chỉnh trong nhiều rất cuốn sách chuyên khảo Các

lược đồ này sẽ được gọi là các lược đồ sai phân bình thường (LĐSPBT) để phân biệt với các lược đồ sai phân

khác thường(LĐSPKT) sẽ được trình bày ở các phần tiếp theo

Ngoài các yêu cầu cơ bản như sự hội tụ và ổn định thì một yêu cầu quan trọng hàng đầu với các lược đồ

sai phân là phải bảo toàn chính xác các tính chất quan trọng của PTVP Nói cách khác, các mô hình liên tục phải

được chuyển đổi thành các mô hình rời rạc bảo toàn được các tính chất của mô hình liên tục Tuy nhiên, trongnhiều bài toán, các LĐSPBT lại bộc lộ một nhược điểm nghiêm trọng là không thể bảo toàn các tính chất của

PTVP tương ứng Hiện tượng này được Mickens gọi là không ổn định số (numerical instabilities) Theo mô tả

của Mickens, hiện tượng không ổn định số là một dấu hiệu cho thấy mô hình rời rạc không thể mô hình hóachính xác các tính chất của mô hình liên tục (Mickens 1994, 2000, 2005, 2012) Trong nhiều kết quả, Mickens

đã chỉ ra rất nhiều ví dụ và phân tích chi tiết hiện tượng không ổn định số xảy ra khi sử dụng các LĐSPBT Vì lý

do này, năm 1980, Mickens đã đề xuất khái niệm về LĐSPKT để khắc phục hiện tượng không ổn định số Theo

phương pháp luận của Mickens, một lược đồ sai phân được gọi là khác thường nếu nó được xây dựng dựa trên

một bộ quy tắc xác định được đề xuất bởi Mickens dựa trên các phân tích hiện tượng không ổn định số khi sửdụng các LĐSPBT

Trong nhiều năm qua, hướng nghiên cứu về LĐSPKT giải PTVP đã thu hút được sự quan tâm của rấtnhiều nhà khoa học ở nhiều khía cạnh khác nhau và thu được nhiều kết quả có ý nghĩa đặc biệt quan trọng Tất

cả các kết quả đều khẳng định sự hiệu quả và ưu thế của các LĐSPKT Ưu thế của LĐSPKT so với LĐSPBT là

có thể bảo toàn chính xác các tính chất quan trọng (tính dương, tính bị chặn, tính đơn điệu, tính ổn định tiệmcận, tính tuần hoàn, etc.) của nghiệm của PTVP với mọi bước lưới hữu hạn Tức là, tính chất của LĐSPKT độclập với bước lưới được chọn Hơn nữa, các LĐSPKT là hiệu quả trong tính toán, dễ dàng thực hiện và có thểđược áp dụng cho một lớp lớn các bài toán của khoa học và công nghệ Trong các bài tổng quan rất lớn Mickens(2012) và Patidar (2005, 2016) cũng như các cuốn sách chuyên khảo Mickens (1994, 2000, 2005), Mickens vàPatidar đã trình bày một cách hệ thống các kết quả về LĐSPKT trong các thập kỷ gần đây cũng như các hướngphát triển trong tương lai Ngày nay, LĐSPKT tiếp tục được sử dụng như một cách tiếp cận hiệu quả để giải gầnđúng PTVP đạo hàm thường (PTVPĐHT), PTVP đạo hàm riêng (PTVPĐHR), PTVP phân thứ (PTVPPT) vàPTVP có trễ (PTVPCT) (xem, chẳng hạn, Arenas, Gonzalez-Parra & Chen-Charpentier 2016; Garba et al 2015;Ehrardt & Mickens 2013; Mickens 1994, 2000, 2005, 2012; Modday, Hashim & Momani 2011; Patidar 2005,2016)

2 Sự cần thiết tiến hành nghiên cứu

Mặc dù hướng nghiên cứu về LĐSPKT cho PTVP đã đạt được rất nhiều thành tựu quan trọng, tuy nhiên,

sự phát triển của thực tiễn cũng như các lĩnh vực khoa học công nghệ luôn luôn đặt ra những bài toán mới phứctạp ở cả khía cạnh nghiên cứu định tính lẫn mô phỏng số Mặt khác, có rất nhiều PTVP đã được nghiên cứuhoàn chỉnh về mặt lý thuyết nhưng các LĐSPKT vẫn chưa được đề xuất và nghiên cứu Vì thế, việc xây dựngcác mô hình rời rạc bảo toàn chính xác các tính chất quan trọng của PTVP là thực sự cần thiết, có ý nghĩa khoahọc quan trọng và cần được tiến hành nghiên cứu

Đặc biệt, việc xây dựng LĐSPKT cho các PTVPĐHT vẫn phải đối mặt với nhiều khó khăn và chưađược giải quyết triệt để, đặc biệt là đối với các bài toán có ít nhất một trong các tính chất sau:

(i) Có số chiều cao và chứa nhiều tham số

(ii) Có các điểm cân bằng non-hyperbolic

(iii) Có tính chất ổn định tiệm cận toàn cục (ÔĐTCTC)

Nói chung, phần lớn các kết quả trước đó chỉ tập trung vào các PTVP có điểm cân bằng hyperbolic với tính chấtÔĐTCĐP, chưa có cách tiếp cận hiệu quả cho các bài toán có các điểm cân bằng non-hyperbolic và/hoặc có tínhchất ÔĐTCTC Hơn nữa, việc nghiên cứu tính chất ÔĐTCĐP của các LĐSPKT cho các mô hình có số chiềucao và chứa nhiều tham số cũng là một thử thách lớn Do đó, các cách tiếp cận hiệu quả là rất cần thiết cho các

mô hình loại này Mặt khác, việc nâng cao cấp chính xác của các LĐSPKT và xây dựng lược đồ sai phân chínhxác (LĐSPCX) cũng thực sự cần thiết và có nhiều ứng dụng quan trọng

Từ các lý do trên, chúng tôi cho rằng việc tiếp tục nghiên cứu các LĐSPKT cho PTVP là thực sự cầnthiết, có ý nghĩa khoa học và thực tiễn quan trọng Đây chính là lý do chúng tôi lựa chọn đề tài luận án "Pháttriển phương pháp sai phân khác thường giải một số lớp phương trình vi phân"

3 Mục tiêu và nội dung nghiên cứu của luận án

Mục tiêu chính của luận án là phát triển phương pháp luận của Mickens để xây dựng LĐSPKT giải một

số lớp PTVPĐHT quan trọng nảy sinh trong các lĩnh vực khoa học và công nghệ

Các nội dung nghiên cứu của luận án bao gồm:

Nội dung 1 LĐSPKT cho một số lớp PTVPĐHT nảy sinh trong các lĩnh vực khoa học và công nghệ.

Nội dung 2 LĐSPCX cho các hệ PTVP tuyến tính với hệ số hằng số và các ứng dụng.

Nội dung 3 LĐSPKT có cấp chính xác cao cho một số lớp hệ động lực tổng quát và các ứng dụng.

4 Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sẽ tiếp cận đến các nội dung của luận án từ cả khía cạnh định tính lẫn mô phỏng số CácPTVP sẽ được nghiên cứu hoàn chỉnh về mặt định tính trước khi đề xuất và nghiên cứu các LĐSPKT Các môphỏng số được thực hiện để kiểm tra tính đúng đắn của các kết quả lý thuyết

Để thực hiện các nghiên cứu trên, chúng tôi sẽ sử dụng một tổ hợp của các công cụ bao gồm lý thuyếtđịnh tính của các hệ động lực liên tục và rời rạc, lý thuyết ổn định Lyapunov, phương pháp luận của Mickens vềLĐSPKT, lý thuyết phương pháp số và lược đồ sai phân giải PTVP Mặt khác, phương pháp thực nghiệm cũng

sẽ được sử dụng, đặc biệt là trong trường hợp các chứng minh lý thuyết chưa được hoàn thiện

5 Những đóng góp mới của luận án

1 Đề xuất và phân tích các lược đồ sai phân khác thường cho một số lớp phương trình vi phân, là mô hìnhtoán học của nhiều hiện tượng và quá trình quan trọng nảy sinh trong khoa học và công nghệ Các lược

đồ sai phân khác thường này tương thích động lực học với các mô hình vi phân, dễ dàng được thực hiện

và có thể áp dụng cho một lớp lớn các bài toán trong cả lý thuyết lẫn ứng dụng

2 Đề xuất các kỹ thuật và cách tiếp cận mới và hiệu quả để nghiên cứu tính chất ổn định tiệm cận của cáclược đồ sai phân khác thường

3 Xây dựng phương pháp sai phân khác thường có cấp chính xác cao cho một số lớp hệ động lực tổng quát,qua đó giải quyết được mâu thuẫn giữa tính tương thích động lực và cấp chính xác cao của các lược đồ saiphân khác thường

4 Đề xuất lược đồ sai phân chính xác cho các hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số Kết quảnày không những giải quyết được một số câu hỏi mở về lược đồ sai phân chính xác mà còn tổng quátnhiều kết quả trước đó

5 Thực hiện các thử nghiệm số để khẳng định các kết quả lý thuyết và chứng tỏ ưu thế của các lược đồ saiphân khác thường so với các lược đồ truyền thống

6 Cấu trúc của luận án

Ngoài phần "Mở đầu", "Kết luận chung" và "Tài liệu tham khảo", nội dung của luận án được trình bàytrong 3 chương, trong đó nội dung chính được trình bày trong Chương 2 và Chương 3

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức chuẩn bị quan trọng liên quan đến các hệđộng lực liên tục và rời rạc, phương pháp số giải PTVPĐHT, LĐSPCX và LĐSPKT giải PTVP (Agarwal 2000;Allen 2007; Ascher & Petzold 1998; Brauer & Castillo-Chavez 2001; Burden 2011; Horváth 1998, 2005; Iggidr

& Bensoubaya 1998; Edelstein-Keshet 1998; Khalil 2002; Kraaijevanger 1991; La Salle & Lefschetz 1961;Manning & Margrave 2006; Martcheva 2015; Mattheij & Molenaar 2002; Mickens 1994, 2000, 2005, 2012;Patidar 2005, 2016; Seibert & Suarez 1990; Smith & Waltman 1995; Stuart & Humphries 1998) Nội dung củachương này bao gồm:

1 Các hệ động lực liên tục

2 Các hệ động lực rời rạc

3 Phương pháp Runge-Kutta giải PTVP

4 Tính dương của các phương pháp Runge-Kutta

5 Lược đồ sai phân chính xác

6 Lược đồ sai phân khác thường

CHƯƠNG 2 LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN KHÁC THƯỜNG GIẢI MỘT SỐ

LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

Trong chương này, chúng tôi đề xuất và nghiên cứu các LĐSPKT cho một số lớp PTVPĐHT mô tả cácquá trình và hiện tượng quan trọng nảy sinh trong các lĩnh vực khoa học và công nghệ Các mô hình được xemxét bao gồm:

(i) Hai mô hình siêu quần thể (metapopulation)

(ii) Một mô hình thú-mồi (predator-prey) tổng quát

(iii) Hai mô hình lan truyền virus máy tính

Cần nhấn mạnh rằng tất cả các mô hình trên đều có một trong các tính chất sau:

(i) Có số chiều cao và chứa nhiều tham số

(ii) Có các điểm cân bằng non-hyperbolic

(iii) Có tính chất ÔĐTCTC

Do đó, việc phân tích tính chất ổn định của các LĐSPKT là một thử thách lớn Để vượt qua thử thách này, chúngtôi đề xuất các cách tiếp cận và kỹ thuật mới và hiệu quả để nghiên cứu tính chất ổn định của các LĐSPKT Kếtquả chính là chúng tôi thu được các LĐSPKT bảo toàn các tính chất quan trọng của các mô hình liên tục với mọibước lưới hữu hạn

Chương này được viết dựa trên nội dung của các công trình [A1]-[A7] trong "Danh mục các công trình

đã công bố", trang 24

2.1 Lược đồ sai phân khác thường cho một mô hình siêu quần thể

Trong mục này, chúng tôi xây dựng các LĐSPKT bảo toàn các tính chất quan trọng của mô hình siêuquần thể đề xuất trong Keymer et al (2000) Các tính chất bao gồm tính dương, tính bị chặn, tính chất ÔĐTCĐP,tính chất ÔĐTCTC và tính không tuần hoàn của nghiệm Bằng các kỹ thuật của giải tích toán học, chúng tôichứng minh rằng các LĐSPKT được đề xuất là tương thích động lực với mô hình liên tục

Chi tiết về mô hình này được trình bày trong Keymer et al (2000) Bởi vì p0+ p1+ p2= 1 nên ta chỉ cần xemxét mô hình sau đây

λ + e, 0

, p∗2= (x∗, y∗) =

Chúng ta định nghĩa sốR0:= β λ

(λ + e)(δ + e) Khi đó, điểm cân bằng thứ nhất p

∗

1 là ÔĐTCĐP nếuR0< 1 và điểm cân bằng thứ hai p∗2là ÔĐTCĐP nếuR0> 1

(P4) Tính chất ÔĐTCTC: NếuR0< 1 thì điểm cân bằng thứ nhất là ÔĐTCTC Trong khi đó, nếuR0> 1 thìđiểm cân bằng thứ hai là ÔĐTCTC

(P5) Tính không tuần hoàn của nghiệm: Mô hình (2.1.2) không có nghiệm tuần hoàn trong tập D =(p1, p2)|0 <

p1+ p2< 1

2.1.2 Xây dựng lược đồ sai phân khác thường

Để thuận lợi cho việc trình bày, chúng tôi ký hiệu bước lưới là h và đặt x(t) ≡ p1(t), y(t) ≡ p2(t) Xétcác LĐSPKT xác định bởi

Định lý 2.1 LĐSPKT (2.1.4)-(i) bảo toàn các tính chất (P1) − (P3) của mô hình (2.1.2) nếu



δ + e2(λ + e),



|λ |22|Re(λ )|

, λ + e + β , δ + e, β |y∗|

Khi đó, lược đồ Euler khác thường (2.1.4)-(iii) bảo toàn các tính chất (P1) − (P5) của (2.1.2).

2.2 Một cách tiếp cận mới nghiên cứu tính chất ổn định của lược đồ sai phân khác thường cho một mô hình siêu quần thể

Trong mục này, chúng tôi xét mô hình siêu quần thể được đề xuất trong Amarasekare và Possingham(2001) Chúng tôi thiết lập tính chất ÔĐTCTC hoàn chỉnh của mô hình và xây dựng các LĐSPKT tương thíchđộng lực với mô hình liên tục Đáng chú ý là tính chất ổn định tiệm cận của các LĐSPKT được thiết lập nhờ mộtcách tiếp cận mới dựa trên các mở rộng của Định lý ổn định Lyapunov

dt = gI − f L − eLL+ βLRI,dR

dt = gS − f R + eLL− βLRI

(2.2.1)

Chi tiết về mô hình được trình bày trong Amarasekare và Possingham (2001) Dễ dàng chứng minh rằng tập Ωxác định bởi

Ω :=

n(I, S, L, R) ∈ R4+: I + S + L + R = 1

f+ g



trong đó I1∗là nghiệm dương duy nhất của phương trình aX2+ bX + c = 0

Trong [A3], chúng tôi thiết lập được tính chất ÔĐTCTC của mô hình (2.2.1) như dưới đây

Định lý 2.4 Nếu c ≥ 0, thì điểm cân bằng E0∗của mô hình (2.2.1) là ÔĐTCTC đối với tập Ω Nếu c < 0, thì

điểm cân bằng E1∗của mô hình (2.2.1) là ÔĐTCTC đối với tập Ω − {E0∗}.

2.2.2 Lược đồ sai phân khác thường bán ẩn cho mô hình (2.2.1)

Chúng tôi đề xuất LĐSPKT bán ẩn cho mô hình (2.2.1) ở dạng

Sk+1− Sk

ϕ = eIIk− βISk+1Ik+ f Rk− gSk,Ik+1− Ik

ϕ = βISk+1Ik− eIIk+ f LK− gIk,

(P3) Tính chất ÔĐTCĐP: E0∗là ÔĐTCĐP nếu c > 0 và E1∗là ÔĐTCĐP nếu c < 0.

Trong [A2], bằng cách đề xuất một cách tiếp cận mới dựa trên các mở rộng của Định lý ổn định Lyapunov(Iggidr & Bensoubaya 1998), chúng tôi thu được kết quả sau đây

Định lý 2.5. (i) Trong trường hợp c > 0, lược đồ (2.2.5) bảo toàn các tính chất (P1) − (P 3) của mô hình

(2.2.1) nếu

ϕ (h) < ϕ∗:= min

1

, ∀h > 0, (2.2.6)

trong đó

τ := f + eL+ eI+ g − βI f

(ii) Trong trường hợp c < 0, xét các đa thức

λ1(ϕ) := ϕ3[(βIβL)2I∗4− α4] + ϕ2[2(βI+ βL)βIβLI∗3− α3]+ ϕ[(βI+ βL)2I∗2+ 2βIβLI∗2− α2] + [2(βI+ βL)I∗− α1],

λ2(ϕ) := [βI2βL2I∗4− γ4+ α4]ϕ2+ [2(βI+ βL)βIβLI∗3− γ3+ α3]ϕ+ [(βI+ βL)2I∗2+ 2βIβLI∗2− γ2+ α2],

λ3(ϕ) := [βI2βL2I∗4+ γ4+ α4]ϕ4+ [2(βI+ βL)βIβLI∗3+ γ3+ α3]ϕ3+ [(βI+ βL)2I∗2+ 2βIβLI∗2+ γ2+ α2]ϕ2+ [2(βI+ βL)I∗+ γ1+ α1]ϕ + 4,

i=1,2,3{ϕi∗}

Khi đó, lược đồ (2.2.5) bảo toàn các tính chất (P1) − (P3) của mô hình (2.2.1) nếu

ϕ (h) < ϕ∗:= min

1

2.2.3 Lược đồ sai phân khác thường dạng hiển cho mô hình (2.2.1)

Chúng ta xét lược đồ Euler khác thường

Ik+1− Ik

ϕ (h) = βISkIk− eIIk+ f Lk− gIk,Sk+1− Sk

ϕ (h) = eIIk− βISkIk+ f Rk− gSk,Lk+1− Lk

ϕ (h) = gIk− f Lk− eLLk+ βLRkIk,Rk+1− Rk

ϕ (h) = gSk− f Rk+ eLLk− βLRkIk,

(2.2.9)

trong đó ϕ(h) = h +O(h2) khi h → 0 Sử dụng cách tiếp cận được đề xuất trong Mục 2.2.2, trong [A3] chúngtôi thu được kết quả sau đây

Định lý 2.6. (i) Trong trường hợp c ≥ 0, lược đồ Euler khác thường (2.2.9) bảo toàn tính bị chặn, tính hội tụ

đơn điệu, tính chất ÔĐTCTC của E0∗và tính chất không ổn định của E1∗của mô hình (2.2.1) nếu

ϕ (h) < ϕ∗:= min

1

(ii) Trong trường hợp c < 0, lược đồ Euler khác thường (2.2.9) bảo toàn tính chất bị chặn, tính chất đơn điệu,

tính chất ÔĐTCĐP của E1∗và tính chất không ổn định của E0∗của mô hình (2.2.1) nếu

ϕ (h) < ϕ∗:= min

1

, ∀h > 0, (2.2.11)

2.2.4 Một chú ý về lược đồ sai phân khác thường cho mô hình (2.2.1)

Chúng ta xem xét lại LĐSPKT (2.1.4) với điều kiện (2.1.5) được đã được xây dựng trong Mục 2.1 Nhờcách tiếp cận được đề xuất trong Mục 2.2.2, chúng ta thu được kết quả dưới đây

Định lý 2.7 LĐSPKT (2.1.4)-(2.1.5) bảo toàn các tính chất (P1) − (P5) của mô hình (2.1.1) nếu

c5≤ 0, c6≥ 0, c2≥ maxc6, c∗ , c1≤ − δ

Chú ý rằng trong Mục 2.1 chúng ta chỉ kết luận được tính dương và không khẳng định được các tínhchất khác của LĐSPKT Vì vậy, Định lý 2.7 là một cải thiện quan trọng cho các kết quả trong Mục 2.1 Đều nàykhẳng định sự hiệu quả và ưu thế của cách tiếp cận mới

2.3 Lược đồ sai phân khác thường cho một mô hình lan truyền virus máy tính

Mục tiêu chính của mục này là đề xuất và nghiên cứu các LĐSPKT bảo toàn các tính chất quan trọngcủa mô hình lan truyền virus máy tính được đề xuất trong Yang et al (2013) Đặc biệt, bằng cách sử dụng định

lý ổn định Lyapunov, chúng tôi thiết lập được tính chất ÔĐTCTC của các LĐSPKT



α + δ + γ2

!

trong đó

R0= β (α + γ2+ δ )

Hơn nữa,

(i) E0là ÔĐTCTC đối với tập Ω nếuR0≤ 1

(ii) E∗là ÔĐTCTC đối với Ω0= Ω − E0nếu 1 <R0≤ 4

2.3.2 Lược đồ sai phân khác thường cho mô hình (2.3.1)

Chúng tôi đề xuất lược đồ Euler khác thường cho mô hình (2.3.1)

Trong [A4], nhờ lý thuyết ổn định Lyapunov, chúng tôi chứng minh được rằng:

Định lý 2.8. (i) Trong trường hợpR0≤ 1, lược đồ Euler khác thường (2.3.5) bảo toàn tính dương, tính bị

chặn, tính ÔĐTCTC của E0và tính không ổn định của E∗nếu

ϕ (h) < ϕ∗:= min

1

(ii) Trong trường hợpR0> 1, lược đồ Euler khác thường (2.3.5) bảo toàn tính dương, tính bị chặn, tính

ÔĐTCĐP của E∗và tính không ổn định của E0nếu

ϕ (h) < ϕ∗:= min

(1

), ∀h > 0 (2.3.7)

trong đó τ1và τ2được cho bởi

τ1=: 2β (L∗+ B∗) + α + 2δ + γ1+ γ2− β ,

τ2=:h2β (L∗+ B∗) + α + γ1+ δ − βi(γ + δ ) +h2β (L∗+ B∗) − βiα

(2.3.8)

2.4 Lược đồ sai phân khác thường cho một mô hình thú-mồi tổng quát

Trong mục này, chúng tôi xây dựng LĐSPKT bảo toàn tính dương và tính ổn định tiệm cận của một môhình thú-mồi tổng quát Đáng chú ý là tính chất ÔĐTCTC của LĐSPKT được chứng minh bằng cách sử dụngđịnh lý ổn định Lyapunov Các mô phỏng số chỉ rằng các LĐSPBT như lược đồ Euler và Rung-Kutta bốn nấckinh điển (RK4) không thể bảo toàn các tính chất quan trọng của mô hình liên tục