Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về tính chẵn lẻ của số nhân tử bất khả quy Modulo P của đa thức hệ số nguyên

Luận văn trình bày một số kiến thức về kết thức của hai đa thức. biệt thức của đa thức và đồng cấu FErobenius; trình bày về định lý Stickelberger, một số ví dụ mình họa, và một tương tự của định lý này cho đa thức thực; định lý Stickelberger và luật thuận nghịch bậc hai Chương này trình bày về ký hiệu Legendre. luật thuận nghịch bậc hai và một chứng minh của luật này sử dụng Định lý Stickelberger.

Möc löc

Ch÷ìng 1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà 31.1 K¸t thùc cõa hai a thùc 31.2 Bi»t thùc cõa a thùc 61.3 Tü çng c§u Frobenius 10Ch÷ìng 2 ành lþ Stickelberger 122.1 Nghi»m cõa a thùc b§t kh£ quy trong Fp[x] 122.2 ành lþ Stickelberger 142.3 a thùc nguy¶n kh£ quy modulo måi sè p nguy¶n tè 172.4 T÷ìng tü cõa ành lþ Stickelberger cho a thùc thüc 19Ch÷ìng 3 ành lþ Stickelberger v  luªt thuªn nghàch bªc hai 213.1 Kþ hi»u Legendre 213.2 ành lþ Stickelberger v  luªt thuªn nghàch bªc hai 223.3 ành lþ Stickelberger modulo 2 26

Mð ¦u

Cho f (x) ∈ Z[x] l  mët a thùc chu©n (monic) h» sè nguy¶n bªc n

v  khæng câ nghi»m phùc k²p Gåi D(f ) l  bi»t thùc cõa f Cho p l mët sè nguy¶n tè l´ v  gåi Fp = Z/pZ l  tr÷íng húu h¤n câ p ph¦n tû.Gåi f (x) ∈¯ Fp[x] l  a thùc nhªn ÷ñc tø f b¬ng c¡ch thu gån h» sèmodulo p Gåi r l  sè nh¥n tû b§t kh£ quy cõa f¯ Khi â mët ành lþ cõaStickelberger kh¯ng ành r¬ng r v  n câ còng t½nh ch®n l´, tùc l  r ≡ n(mod 2), khi v  ch¿ khi D(f ) l  b¼nh ph÷ìng modulo p

Möc ti¶u cõa luªn v«n l  t¼m hiºu v· chùng minh cõa ành lþ berger n y công nh÷ ùng döng cõa nâ trong chùng minh luªt thuªn nghàchbªc hai

Stickel-Ngo i ph¦n Mð ¦u, K¸t luªn v  T i li»u tham kh£o, bè cöc cõa luªnv«n ÷ñc chia l m ba ch÷ìng

Ch÷ìng 1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà

Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc v· k¸t thùc cõa hai a thùc,bi»t thùc cõa a thùc v  çng c§u Frobenius

Ch÷ìng 2 ành lþ Stickelberger

Ch÷ìng n y tr¼nh b y v· ành lþ Stickelberger, mët sè v½ dö minh håa,

v  mët t÷ìng tü cõa ành lþ n y cho a thùc thüc

Ch÷ìng 3 ành lþ Stickelberger v  luªt thuªn nghàch bªc haiCh÷ìng n y tr¼nh b y v· kþ hi»u Legendre, luªt thuªn nghàch bªc hai

v  mët chùng minh cõa luªt n y sû döng ành lþ Stickelberger

Luªn v«n n y ÷ñc thüc hi»n v  ho n th nh v o th¡ng 5 n«m 2019 t¤itr÷íng ¤i håc Khoa håc- ¤i håc Th¡i Nguy¶n Qua ¥y, t¡c gi£ xin b y

tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi TS Nguy¹n Duy T¥n, ng÷íi ¢ tªn t¼nh h÷îngd¨n trong suèt qu¡ tr¼nh l m vi»c º ho n th nh luªn v«n n y T¡c gi£xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh ¸n Khoa To¡n-Tin, Tr÷íng ¤i håc Khoahåc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n, ¢ t¤o måi i·u ki»n º gióp t¡c gi£ håc tªp

v  ho n th nh luªn v«n công nh÷ ch÷ìng tr¼nh th¤c s¾ T¡c gi£ công xingûi líi c£m ìn tîi tªp thº lîp cao håc K11D, khâa 05/2017 - 05/2019 ¢

ëng vi¶n gióp ï t¡c gi£ trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  ho n th nh luªn v«n

n y çng thíi t¡c gi£ xin gûi líi c£m ìn tîi Ban gi¡m hi»u v  c¡c çngnghi»p t¤i tr÷íng THCS H÷ng ¤o, æng Tri·u, Qu£ng Ninh ¢ t¤o i·uki»n cho t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  ho n th nh luªn v«n.Xin ch¥n th nh c£m ìn.

Th¡i Nguy¶n, th¡ng 5 n«m 2019X¡c nhªn cõa ng÷íi h÷îng d¨n Ng÷íi vi¸t luªn v«n

TS Nguy¹n Duy T¥n  m Thà Ngåc T¥m

Ch÷ìng 1 Mët sè ki¸n

thùc chu©n bà

Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc v· k¸t thùc cõa hai a thùc,bi»t thùc cõa a thùc v  çng c§u Frobenius T i li»u tham kh£o sû döngcho ch÷ìng n y l  t i li»u [2, Section 6.6] v  [3, Chapter 15]

1.1 K¸t thùc cõa hai a thùc

Gi£ sû f, g l  hai a thùc bi¸n x vîi c¡c h» sè trong mët tr÷íng F.Gi£ sû K l  mët tr÷íng âng ¤i sè chùa F Gåi α1, , αn l  t§t c£ c¡cnghi»m (kº c£ bëi) cõa f trong K, tùc l 

f (x) = a(x − α1)(x − α2) (x − αn), vîi a ∈ K n o â

T÷ìng tü, gåi β1, , βm l  t§t c£ c¡c nghi»m (kº c£ bëi) cõa g trong K,tùc l 

g(x) = b(x − β1)(x − β2) (x − βm), vîi b ∈ K n o â

Ta câ i·u ph£i chùng minh

T½nh ch§t 1.1.2 R(f, g) = 0 n¸u f v  g câ mët nh¥n tû chung bªcd÷ìng

Chùng minh N¸u f v  g câ mët nh¥n tû chung l  h(x) ∈ F [x] Khi â gåi

α ∈ K mët nghi»m cõa h trong K Nh÷ vªy tçn t¤i i, j sao cho αi = α v 

βj = α Ta suy ra trong t½ch ành ngh¾a R(f, g) câ nh¥n tû αi − βj = 0

V¼ αi l  nghi»m cõa cõa f, n¶n f (αi) = 0 v  do vªy f (αi)q(αi) + r(αi) =r(α) Do â ta câ

tû cõa tr÷íng F m°c dò nâ ÷ñc ành ngh¾a düa theo c¡c ph¦n tû trongtr÷íng lîn hìn K

T½nh ch§t 1.1.6 Ta câ R(f, g) n¬m trong F

Chùng minh Ta chùng minh b¬ng quy n¤p theo deg f N¸u g = b l h¬ng sè thuëc F Th¼ theo T½nh ch§t 1.1.1 v  1.1.5, R(f, g) = R(b, f ) =R(f, b) = bn thuëc F

Gi£ sû kh¯ng ành ¢ óng vîi måi måi a thùc f v g vîi f câ bªc nhähìn ho°c b¬ng n − 1 X²t f v  g l  hai a thùc tòy þ vîi deg f = n ≥ 1.Khi â theo thuªt to¡n chia a thùc, tçn t¤i hai a thùc q v  r trong F [x]

sao cho

g = f q + r,

vîi r = 0 ho°c deg r < deg f = n Theo T½nh ch§t 1.1.4, T½nh ch§t 1.1.1

v  theo gi£ thi¸t quy n¤p ta câ R(f, g) = R(f, r) = ±R(r, f ) thuëc F Ta

câ i·u ph£i chùng minh

ð ¥y f0 l  ¤o h m cõa f v  n = deg f.

Theo T½nh ch§t 1.1.2, ta câ D(f ) 6= 0 n¸u v  ch¿ n¸u f v  f0 khæng câthøa sè chung

Chóng ta câ thº t½nh to¡n D(f ) b¬ng c¡ch sû döng thuªt to¡n Euclidtr¶n f v  f0 D÷îi ¥y l  mët sè v½ dö

V½ dö 1.2.1 X²t f (x) = x − a Khi â f0(x) = 1, v¼ vªy

V½ dö 1.2.3 Cho f (x) = x3 + qx + r Th¼ f0(x) = 3x2 + q v  thüc hi»nthuªt to¡n Euclid, ta câ

2

R(2qx

3 + r, q +

27r24q2 )

= −4q2(q + 27r

2

4q2 ) = −4q3 − 27r2

V½ dö 1.2.4 X²t f (x) = xn − 1 ∈ F [x] Ta i t½nh bi»t thùc cõa f (x).Gåi α1, , αn l  n nghi»m trong K (mët tr÷íng âng ¤i sè chùaF) cõa

cõa nâ trong tr÷íng âng ¤i sè K Khi â

(−1) ta câ i·u ph£i chùng minh

V½ dö 1.2.6 Ta i t½nh bi»t thùc cõa a thùc monic bªc 2 v  bªc 3 sûdöng cæng thùc t½nh bi»t thùc trong m»nh · tr÷îc

(a) X²t f (x) = x2 + ax + b ∈ F [x] Gåi α1, α2 l  hai nghi»m cõa f

(trong mët tr÷íng âng ¤i sè n o â chùa F) Khi â bi»t thùc cõa f l 

D(f ) = (α1 − α2)2 = (α1 + α2)2 − 4α1α2 = a2 − 4b

(b) X²t a thùc f (x) = x3+qx+r ∈ F [x] Gåiα1, α2, α3 l  c¡c nghi»mcõa f Khi â bi»t thùc cõa f l 

D(f ) = (α2 − α1)2(α3 − α1)2(α3 − α2)2

Ta câ

x3 + qx + r = (x − α1)(x − α2)(x − α3)

L§y ¤o h m hai v¸ theo x, ta suy ra

3x2 + q = (x − α1)(x − α2) + (x − α1)(x − α3) + (x − α2)(x − α3)

Do vªy, thay x = α1, α2 v  α3 ta ÷ñc

3α21 + q = (α1 − α2)(α1 − α3),3α22 + q = (α2 − α1)(α2 − α3),3α23 + q = (α3 − α1)(α3 − α2)

tr÷íng câ p ph¦n tû l  c¡c sè nguy¶n modulo p Gåi K l  mët tr÷íng b§t

ký chùa Fp X²t φp: K → K l  ¡nh x¤ cho bði φp(a) = ap, vîi måia ∈ K

!

ap−kbk+ bp = ap+ bp = φp(a) + φp(b)

(Ð ¥y ta ¢ sû döng nhªn x²t r¬ng p | pk
.) Nh÷ vªy φp l  tü çng c§ucõa tr÷íng K nh x¤ φp nh÷ tr¶n ÷ñc gåi l  tü çng c§u Frobenius cõa

Ng÷ñc l¤i, gi£ sû φp(a) = a Ta suy ra a ∈ K l  nghi»m cõa a thùc

xp− x Theo ành lþ Fermat nhä p ph¦n tû trong Fp ·u l  nghi»m cõa

a thùc xp− x V¼ xp− x câ bªc b¬ng pn¶n pph¦n tû cõa Fp ch½nh l  t§tc£ c¡c nghi»m cõa xp− x Do a l  mët trong c¡c nghi»m n y n¶n a thuëc

Ch÷ìng 2 ành lþ

Stickelberger

Ch÷ìng n y tr¼nh b y v· ành lþ Stickelberger, mët sè v½ dö minh håa,

v  mët t÷ìng tü cõa ành lþ n y cho a thùc thüc T i li»u tham kh£o sûdöng cho ch÷ìng n y l  [3, Chapter 15] v  [2, Section 6.6]

Cho f (x) ∈ Z[x] l  mët a thùc chu©n (monic) h» sè nguy¶n bªc n

v  gåi D(f ) l  bi»t thùc cõa f Cho p l  mët sè nguy¶n tè l´ v  gi£ sû

p - D(f ) Gåi f (x) ∈¯ Fp[x] l  a thùc nhªn ÷ñc tø f b¬ng c¡ch thugån h» sè modulo p Gåi r l  sè nh¥n tû b§t kh£ quy cõa f¯ Khi â

ành lþ Stickelberger kh¯ng ành r¬ng r v  n câ còng t½nh ch®n l´, tùc l 

r ≡ n (mod 2), khi v  ch¿ khi D(f ) l  b¼nh ph÷ìng modulop ành lþ n yn¬m trong mët k¸t qu£ cõa Stickelberger [4] Nâ công ÷ñc chùng minhbði Skolem (1952), Phi¶n b£n èi vîi p = 2 cõa ành lþ Stickelberger(s³ ÷ñc tr¼nh b y ð Ch÷ìng 3, möc 3) công n¬m trong mët k¸t qu£cõa Stickelberger, v  nâ công ÷ñc chùng minh bði Carlitz (1953), Dalen(1955), Swan (1962), Berlekamp (1968)

2.1 Nghi»m cõa a thùc b§t kh£ quy trong Fp[x]

Bê · 2.1.1 Gi£ sû α ∈ K l  mët nghi»m cõa a thùc f (x) ∈ Fp[x] Khi

â αp công l  nghi»m cõa f (x)

Chùng minh Ta vi¸t f (x) = anxn+ an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 ∈ Fp Khi

M»nh · 2.1.2 Cho f (x) l  mët a thùc monic b§t kh£ quy trong Fp[x]

vîi bªc d Cho K l  mët tr÷íng chùa Fp, v  α ∈ K l  mët nghi»m cõa

f (x) Khi â trong K[x], ta câ

f (x) = (x − α)(x − αp)(x − αp2) (x − αpd−1)

Chùng minh Theo bê · tr÷îc, ta câ α, αp, αp2, ·u l  nghi»m cõa

f (x) V¼ a thùc f (x) ch¿ câ húu h¤n nghi»m trong K, n¶n tçn t¤i hai sènguy¶n khæng ¥m ph¥n bi»tk < l sao cho αpk = αpl Ta câ0 = αpl−αp k

=(αpl−k − α)p k

Suy ra αpl−k = α Nh÷ vªy tçn t¤i sè tü nhi¶n nhä nh§t r

sao cho αpr = α

Ta câ α, αp, αp2 , αpr−1 ·u ph¥n bi»t (n¸u khæng gi£ sû apk = αph

vîi h, k, 1 ≤ k < h < r n o â; th¼ nh÷ lªp luªn tr÷îc αph−k = α, m¥uthu¨n vîi t½nh nhä nh§t cõa r) V¼ vªy f câ ½t nh§t r nghi»m ph¥n bi»ttrong K Do â r ph£i nhä hìn ho°c b¬ng bªc cõa f, tùc l  r ≤ d

Nh÷ vªy a thùc h câ ½t nh§t r nghi»m ph¥n bi»t α, αp, , αpr−1 Do â

h ph£i l  a thùc 0 v  do vªy f (x) = g(x)q(x) V¼ f (x) l  b§t kh£ quy v monic n¶n f (x) = g(x) v  r = d Ta câ i·u ph£i chùng minh

2.2 ành lþ Stickelberger

ành lþ 2.2.1 Cho p l  mët sè nguy¶n tè l´, f (x) l  mët a thùc monicbªc m vîi c¡c h» sè trong Fp Gi£ sû D(f ) 6= 0 Gåi r l  sè c¡c nh¥n tûb§t kh£ quy cõa f (x) trong Fp[x] Khi â r ≡ m (mod 2) khi v  ch¿ khi

Theo M»nh · 1.2.8, ta câ

D(f ) = D(f1f2 fr) = D(f1)D(f2) D(fr)R2,

vîi R n o â thuëc Fp Do â, trong K ta câ

δ(f ) = δ(f1)δ(f2) δ(fr)S,

vîi S = ±R ∈ Fp Theo tr÷íng hñp r = 1, vîi måi i = 1, , r, ta câ

φp(δ(fi)) = (−1)di −1δ(fi), ð nìi di = deg fi Do â

Ta câ i·u ph£i chùng minh

Chùng minh ành lþ Stickelberger ÷a ra ð tr¶n l  chùng minh (vîisûa êi th½ch hñp) cõa Swan(1962) v  Berlekamp (1968)

V½ dö 2.2.2 X²t f (x) = x2 + x + 1 ∈ F2[x] câ bªc d = 2 V¼ f (0) =

f (1) = 1 6= 0 trong F2 n¶n f (x) khæng câ nghi»m trong F2 v  do vªy

f (x) ∈ F2[x] l  b§t kh£ quy Trong tr÷íng hñp n y sè nh¥n tû b§t kh£quy monic cõa f (x) l  r = 1

M°t kh¡c bi»t thùc cõa f (x) l  D = 1 − 4 · 1 = 1l  b¼nh ph÷ìng trong

Np(f ) = (0 ho°c 3 n¸u D l  b¼nh ph÷ìng trong Fp

1 n¸u D khæng l  b¼nh ph÷ìng trong Fp

Chùng minh Gåi r l  sè nh¥n tû b§t kh£ quy monic cõa f (x) tr¶n Fp Rã

r ng r ch¿ câ thº nhªn c¡c gi¡ trà

1 r = 1, tùc l  f b§t kh£ quy tr¶n Fp v  Np(f ) = 0,

2 r = 2, tùc l  f câ duy nh§t mët nghi»m tr¶n Fp v  Np(f ) = 1,

3 ho°c r = 3, tùc l  f câ 3 nghi»m ph¥n bi»t tr¶n Fp v  Np(f ) = 3

ành lþ Stickelberger nâi r¬ng

D l  b¼nh ph÷ìng trong Fp

⇔ r ≡ deg f (mod 2) ⇔ r = 1 ho°c 3 ⇔ Np(f ) = 0 ho°c 3

Ta câ i·u ph£i chùng minh

V½ dö 2.2.4 X²t a thùc f (x) = x3 − x − 1 Bi»t thùc cõa f l 

D = −4q3 − 27r2 = −23

Theo h» qu£ tr¶n th¼ Np(f ) = 0 ho°c 3 Thüc t¸ x3− x − 1 l  b§t kh£quy modulo 3

• N¸u p = 5 th¼ D = −23 khæng l  b¼nh ph÷ìng modulo 5 Theo h» qu£tr¶n th¼ Np(f ) = 1 Thüc t¸ x = 2 l  nghi»m duy nh§t cõa x3− x − 1

modulo 5 v  ph¥n ta câ ph¥n t½ch

(x3 − x − 1) = (x − 2)(x2 + 2x + 3) (mod 5)

7 Theo h» qu£ tr¶n th¼ Np(f ) = 1 Thüc t¸ x = 5 l  nghi»m duy nh§tcõa x3 − x − 1 modulo 7 v  ph¥n ta câ ph¥n t½ch

• N¸u p = 13 th¼ D = −23 ≡ 3 = 42 (mod 13) l  b¼nh ph÷ìng modulo

13 Theo h» qu£ tr¶n th¼ Np(f ) = 0 ho°c 3 Thüc t¸ x3 − x − 1 b§tkh£ quy modulo 13

• N¸up = 59 th¼D = −23 ≡ 36 = 62 (mod 59) l  b¼nh ph÷ìng modulo

59 Theo h» qu£ tr¶n th¼ Np(f ) = 0 ho°c 3 Thüc t¸ x3 − x − 1 câ 3nghi»m ph¥n bi»t modulo 59 v  ta câ ph¥n t½ch

x3 − x − 1 = (x − 4)(x − 13)(x − 42) (mod 59)

2.3 a thùc nguy¶n kh£ quy modulo måi sè p nguy¶n

tè

K¸t qu£ sau l  h» qu£ trüc ti¸p cõa ành lþ Stickelberger

H» qu£ 2.3.1 Cho f (x) l  mët a thùc monic bªc ch®n h» sè nguy¶n.Gi£ sû bi»t thùc D cõa f l  mët sè ch½nh ph÷ìng kh¡c 0 Khi â vîi måi

p nguy¶n tè l´ v  khæng l  ÷îc cõa D th¼ f (x) l  kh£ quy modulo p

Chùng minh Gåi r l  sè nh¥n tû b§t kh£ quy monic modulo p cõa f (x)

Rã r ngD l  sè ch½nh ph÷ìng modulop Do vªy theo ành lþ Stickelberger,

r ≡ deg f mod 2 Do vªy r l  sè ch®n Nâi ri¶ng r 6= 1 v  f (x) l  kh£quy modulo p

Bê · 2.3.2 Cho f (x) = x4+ ax2 + b ∈ F [x] Khi â bi»t thùc cõa f l 

D = 16b(a2 − 4b)2

Chùng minh Gåi α, −α v  β, −β l  4 nghi»m cõa a thùc f (x) (trongmët tr÷íng âng ¤i sè K n o â chùa F) Ta câ α2 = u, β2 = v l  hainghi»m cõa x2 + ax + b

Chùng minh Bi»t thùc cõa x4 + 1 l  D = 16 · 42 l  mët sè ch½nh ph÷ìng

Do vªy theo h» qu£ tr¶n th¼ x4+ 1 l  kh£ quy modulo p vîi måi p nguy¶n

tè m  p 6= 2 Ta câ x4+ 1 = (x + 1)4 (mod 2) Nh÷ vªy x4+ 1 l  kh£ quymodulo p vîi måi p nguy¶n tè

Ta chùng minh x4 + 1 b§t kh£ quy tr¶n Z Thªt vªy, gi£ sû x4 + 1 l kh£ quy tr¶n Z Khi â

(x4 + 1) = (x2 + ax + c)(x2 + bx + d),

vîi a, b, c, d ∈Z n o â Ta câ

(x2+ ax + c)(x2+ bx + d) = x4+ (a + b)x3+ (ab + c + d)x2+ (ad + bc)x + cd

Do vªy a + b = 0, ab + c + d = 0, ad + bc = 0 v  cd = 1 Tø cd = 1 tasuy ra c = d = −1 ho°c c = d = 1 Suy ra ab = −(c + d) = ±2 Do vªy

a2 = ±2, ph÷ìng tr¼nh n y khæng câ nghi»m nguy¶n

M»nh · 2.3.4 a thùc x4+ 3x2+ 1 l  b§t kh£ quy tr¶n Z nh÷ng l  kh£quy modulo p vîi måi sè nguy¶n tè p

Chùng minh Bi»t thùc cõa x4 + 3x2 + 1 l  D = 16 · 52 l  mët sè ch½nhph÷ìng Do vªy theo h» qu£ tr¶n th¼ x4 + x2 + 1 l  kh£ quy modulo p

vîi måi p nguy¶n tè m  p 6= 2 v  p 6= 5 Ta câ x4 + 3x2 + 1 = (x + 1)4(mod 2) v 

x4 + 3x2 + 1 = (x − 1)2(x − 1)2 (mod 5)

Nh÷ vªy x4 + 1 l  kh£ quy modulo p vîi måi p nguy¶n tè

Ta chùng minh x4 + 3x2 + 1 b§t kh£ quy tr¶n Z Thªt vªy, gi£ sû

x4 + 3x2 + 1 l  kh£ quy tr¶n Z Khi â

4 b§t kh£ quy tr¶n Z nh÷ng kh£ quy modulo p vîi måi p nguy¶n tè B¤n

åc câ thº tham kh£o [1] cho nghi¶n cùu ¦y õ hìn v· chõ · n y

º ¡p döng ành lþ Stickelberger chóng ta c¦n câ kh£ n«ng kiºmtra xem D(f ) l  mët b¼nh ph÷ìng mod p hay khæng Chóng ta câ mëtph÷ìng ph¡p húu hi»u º l m i·u n y b¬ng c¡ch sû döng luªt thuªnnghàch bªc hai Mët i·u thó và r¬ng, ta câ thº chùng minh luªt thuªnnghàch bªc hai b¬ng c¡ch sû döng ành lþ Stickelberger Nhúng i·u n ys³ ÷ñc tr¼nh b y ð ch÷ìng sau

2.4 T÷ìng tü cõa ành lþ Stickelberger cho a thùc thüc

ành lþ 2.4.1 Cho f (x) l  a thùc chu©n (monic) h» sè thüc vîi bªc d

v  bi»t thùc D(f ) 6= 0 Gåi r l  sè nh¥n tû monic b§t kh£ quy thüc cõa f.Khi â

d ≡ r (mod 2) ⇔ D(f ) > 0

Chùng minh Gi£ sû f (x) = f1(x) · · · fm(x)fm+1(x) · · · fn(x) l  ph¥n t½chcõaf th nh t½ch c¡c a thùc monic b§t kh£ quy thüc, trong âf1(x), , fm(x)

Ta câ i·u ph£i chùng minh.

H» qu£ 2.4.2 Cho f (x) l  a thùc chu©n (monic) h» sè thüc vîi bªc d

v  bi»t thùc D(f ) 6= 0 Khi â

(a) N¸u D(f ) > 0 th¼ f câ d − 4k nghi»m thüc, vîi k ≥ 0 n o â;

(b) N¸u D(f ) < 0 th¼ f câ d − 2 − 4k nghi»m thüc, vîi k ≥ 0 n o â.Chùng minh Gåi m l  sè c°p nghi»m phùc (khæng thüc) cõa f v  gåi n

l  sè nghi»m thüc cõa f Khi â theo ành lþ tr¶n

D(f ) > 0 ⇔ m ≡ 0 (mod 2)

Gi£ sû D(f ) > 0 Khi â m l  sè ch®n Vi¸t m = 2k vîi k ≥ 0 n o â.Khi â, sè nghi»m thüc cõa f l  d − 2m = d − 4k

Gi£ sû D(f ) < 0 Khi â m l  sè l´ Vi¸t m = 2k + 1 vîi k ≥ 0 n o

â Khi â, sè nghi»m thüc cõa f l  d − 2m = d − 2 − 4k

Ch÷ìng 3 ành lþ

Stickelberger v  luªt

thuªn nghàch bªc hai

Ch÷ìng n y tr¼nh b y v· kþ hi»u Legendre, luªt thuªn nghàch bªc hai

v  mët chùng minh luªt n y b¬ng c¡ch sû döng ành lþ Stickelberger T ili»u tham kh£o sû döng cho ch÷ìng n y l  t i li»u [3, Chapter 16] v  [2,Section 6.7]



÷ñc ành ngh¾a nh÷sau



ap

 

bp



4 N¸u a ≡ b (mod p) th¼



ap



=



bp

.5



=



837



=



237

 

437



=



237



= −1

ành lþ 3.1.3 (Luªt thuªn nghàch bªc hai Gauss) Gi£ sû p v  q l  c¡c

sè nguy¶n tè l´ ph¥n bi»t Khi â



pq



=



qp

trø khi p ≡ q ≡ 3 (mod 4)th¼

.V½ dö 3.1.4 T½nh lþ hi»u Legendre



1234199

.Líi gi£i



1234199



=



40199



=



2199

 

5199

 

4199



= (−1)



1995



= (−1)



45