Bài 16: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz.[r]
Trang 1BÀI TẬP HèNH GIẢI TÍCH 1
Bài 1: Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(3;1;1), B(0;1;4), C(–1;–3;1) Lập phương trỡnh
của mặt cầu (S) đi qua A, B, C và cú tõm nằm trờn mặt phẳng (P): x + y – 2z + 4 = 0
Bài 2: Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A(3;0;0), B(0;1;4), C(1;2;2), D(–1;–3;1) Chứng
tỏ A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện và tỡm trực tõm của tam giỏc ABC
Bài 3 Trong khụng gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x- 3y + 2z – 5 = 0 và đường thẳng
1 2
2 3
Lập phương trỡnh đường thẳng ' là hỡnh chiếu vuụng gúc của đường thẳng trờn mặt phẳng (P)
Bài 4 : Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, hóy xỏc định toạ độ tõm và bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp
tam giỏc ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3).
Bài 5 : Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1) Viết phương trỡnh
mặt phẳng (ABC) và tỡm điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC.
Bài 6:Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x y 2z 1 0, đường thẳng
5
1
Lập phương trỡnh đường thẳng
nằm trong mặt phẳng (P), cắt và vuụng gúc với đường thẳng (d)
Bai 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đờng thẳng d và d’ lần lợt có phơng trình : d :
x= y − 2
− 1 =z và d’ :
x −2
2 =y −3=
z +5
−1 .
Viết phơng trình mặt phẳng (α) đi qua d và tạo với d’ một góc 300
Bài 8: Trong khụng gian oxyz cho hai đường thẳng d1 :1 1 2
; d2
1 2 1
y t
z t
và điểm M(1;2;3) 1.Viết phương trỡnh mặt phẳng chứa M và d1 ; Tỡm M’ đối xứng với M qua d2
2.Tỡm A d B d 1; 2 sao cho AB ngắn nhất
Bài 9: Trong khụng gian với hệ tọa độ vuụng gúc Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x 1) 2(y 2) 2(z 3) 2 64
và mặt phẳng (P) : 2x y 2z 13 0 cắt nhau theo giao tuyến là đường trũn (C) Xỏc định tõm và bỏn kớnh của đường trũn đú
Bài 10: Trong khụng gian Oxyz cho đường thẳng d: x −1
2 =
y
1=
z +2
− 3 và mặt phẳng
(P):2 x+ y+z −1=0 Tỡm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng (P) Viết phương trỡnh của đường thẳng Δ đi qua điểm A vuụng gúc với d và nằm trong (P)
Bài 11: Trong khụng gian (oxyz) cho hai mặt phẳng: (P1): x - 2y + 2z - 3 = 0 (P2): 2x + y - 2z - 4 = 0 và đường thẳng (d): x +2 −1 = y
−2=
z − 4
3 Lập phương trỡnh mặt cầu (S) cú tõm I (d) và tiếp xỳc với hai mặt phẳng (P1), (P2)
Bài 12: Trong khụng gian (oxyz), cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x 4y 2z + 5 = 0 và mặt phẳng (P): x -2y + 2z - 3 = 0 Tỡm những điểm M (S), N (P) sao cho MN cú độ dài nhỏ nhất
Bài 13:Viết phương trỡnh đường thẳng (d) đi qua M(1;1;1),cắt đường thẳng (d1):x +2
3 =
y
1=
z −1
−2
và vuụng gúc với đường thẳng (d2): x=−2+2 t ; y =−5 t ; z=2+t ( t ∈ R )
Bài 14: Viết phương trỡnh đường thẳng (d) vuụng gúc với mặt phẳng (P): x+y+z-1=0 đồng thời cắt cả hai
đường thẳng (d1):x −1
2 =
y+1
−1 =
z
1 và (d2): x=−1+t ; y=−1 ; z=−t , với t ∈ R
Bài 15: Trong khụng gian Oxyz Cho mặt phẳng (P): x+y-2z+4=0 và mặt cầu (S):
x y z x y z Viết phương trỡnh tham số đường thẳng (d) tiếp xỳc với (S) tại
A(3;-1;1) và song song với mặt phẳng (P).
Trang 2Bài 16: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz Cho tam giác ABC có: A(1;-2;3), B(2;1;0), C(0;-1;-2)
Viết phương trình tham số đường cao tương ứng với đỉnh A của tam giác ABC
GIẢI:
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(3;1;1), B(0;1;4), C(–1;–3;1) Lập phương trình
của mặt cầu (S) đi qua A, B, C và có tâm nằm trên mặt phẳng (P): x + y – 2z + 4 = 0
Bài 1: PT mặt cầu (S) có dạng: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0
(S) qua A: 6a + 2b + 2c – d – 11 = 0
(S) qua B: 2b + 8c – d – 17 = 0
(S) qua C: 2a + 6b – 2c + d + 11 = 0
Tâm I (P): a + b – 2c + 4 = 0
Giải ra ta được: a = 1, b = –1, c = 2, d = –3
Vậy (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 2y – 4z – 3 = 0
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A(3;0;0), B(0;1;4), C(1;2;2), D(–1;–3;1) Chứng
tỏ A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện và tìm trực tâm của tam giác ABC
Bài 2 Ta có
1 ( 3;1;4); ( 1;1;1)
2
PT mặt phẳng (ABC): 3x + y + 2z – 6 = 0 D(ABC) đpcm
Đường cao
3 A(3;0;0)
vtcp (1;1; 2)
2
qua
BC
,
Đường cao
' (0;1; 4)
( 1;1;1)
4 '
x t quaB
vtcp AC
H BB t t H
Bài 3 Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x- 3y + 2z – 5 = 0 và đường thẳng
1 2
2 3
phương trình đường thẳng ' là hình chiếu vuông góc của đường thẳng trên mặt phẳng (P)
tham số của
1 2 1
2 3
A P 1 2t 3 3 t 4 6t 5 0 5t-5= 0 t= 1 A(1, 2, 5)
Chọn B (-1, 1, 2) Lập phương trình đường thẳng d qua B và d vuông góc( P )
'
'
'
1 (1, 3, 2) 1 3
2 2
C là giao điểm của d và (P) -1 +t’-3+9t’+4+4t’ – 5 =0 t’=
5
14 C(
9 1 38
; ; )
14 14 14
Đường thẳng AC là đường thẳng cần tìm:
23 29 32
14 14 14
AC
Trang 3cựng phương với vộc tơ U
(23,29,32) =>
1 '
1
1
1 23
5 32
Bài 4 : Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, hóy xỏc định toạ độ tõm và bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp
tam giỏc ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3).
Bài 4: Ta cú: AB(2; 2; 2), AC(0; 2; 2).
Suy ra phương trỡnh mặt phẳng trung trực của AB, AC là:
x y z y z
Vectơ phỏp tuyến của mp(ABC) là nAB AC, (8; 4; 4).
Suy ra (ABC): 2x y z 1 0
Giải hệ:
Suy ra tõm đường trũn là I(0; 2;1).
Bỏn kớnh là R IA ( 1 0) 2(0 2) 2(1 1) 2 5.
Bài 5 : Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1) Viết phương trỡnh
mặt phẳng (ABC) và tỡm điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC.
Bài 5 : Ta cú AB(2; 3; 1), AC ( 2; 1; 1) n(2;4; 8)
là 1 vtpt của (ABC) Suy ra pt (ABC) là (x – 0) + 2(y – 1) – 4(z – 2) = 0 hay ( ABC) :x + 2y – 4z + 6 = 0
M(x; y; z) MA = MB = MC …
M thuộc mp: 2x + 2y + z – 3 = 0 nờn ta cú hệ, giải hệ được x = 2, y = 3, z = -7
Bài 6:Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x y 2z 1 0, đường thẳng
5
1
Lập phương trỡnh đường thẳng
nằm trong mặt phẳng (P), cắt và vuụng gúc với đường thẳng (d)
Bài 6 : +) n P (3; 1;2), u d (1;3; 1)
Giao ủieồm cuỷa (d) vaứ (P) laứ ủieồm A(15; 28; - 9)
+) ẹửụứng thaỳng (d’) caàn tỡm qua A nhaọn n u P, d ( 4;5;10)
laứ VTCP ( ') :d
Bai 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đờng thẳng d và d’ lần lợt có phơng trình : d :
x= y − 2
− 1 =z và d’ :
x −2
2 =y −3=
z +5
−1 .
Viết phơng trình mặt phẳng (α) đi qua d và tạo với d’ một góc 300
Bài 7: Đờng thẳng d đi qua điểm M (0 ;2; 0) và có vectơ chỉ phơng u(1 ;−1 ;1)
Đờng thẳng d’ đi qua điểm M ' (2 ;3 ;− 5) và có vectơ chỉ phơng u '(2 ;1;− 1)
Mp (α) phải đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến n vuông góc với u và
|cos (n ;u ')|=cos 600
=1
2 Bởi vậy nếu đặt n=( A ; B;C ) thì ta phải có :
¿
A − B+C=0
|2 A + B− C|
√6√A2+B2+C2=
1 2
¿{
¿
⇔
B=A +C A+C¿2+C2
¿
¿⇔
¿
¿B= A+C
¿
¿
A2+¿
2|3 A|=√6√¿
Trang 4Ta có 2 A2− AC −C2=0⇔( A −C)(2 A+C )=0 Vậy A=C hoặc 2 A=−C .
Nếu A=C ,ta có thể chọn A=C=1, khi đó B=2 , tức là n=(1 ;2;1) và mp(α) có phơng trình
x+2( y − 2)+z=0 hay x+2 y +z −4=0
Nếu 2 A=−C ta có thể chọn A=1 , C=−2 , khi đó B=−1 , tức là n=(1 ;−1 ;−2) và mp(α) có
ph-ơng trình x −( y −2)− 2 z=0 hay x − y − 2 z +2=0
Bài 8: Trong khụng gian oxyz cho hai đường thẳng d1 :1 1 2
; d2
1 2 1
y t
z t
và điểm M(1;2;3)
1.Viết phương trỡnh mặt phẳng chứa M và d1 ; Tỡm M’ đối xứng với M qua d2
2.Tỡm A d B d 1; 2 sao cho AB ngắn nhất
Bài 8: + Phương trỡnh mặt phẳng chứa M và d1 … Là (P) x + y – z = 0
+ Mp(Q) qua M và vuụng gúc với d2 cú pt 2x – y - z + 3 = 0
+ Tỡm được giao của d2 với mp(Q) là H(-1 ;0 ;1) …
Điểm đối xứng M’ của M qua d2 là M’(-3 ;-2 ;-1)
2.Tỡm A d B d 1; 2 sao cho AB ngắn nhất
Gọi A(t;t;2t) và B(-1-2t1 ;-t1 ;1+t1) AB ngắn nhất khi nú là đoạn vuụng gúc chung của hai đường
thẳng d1 và d2
1
2
AB v
AB v
3 3 6
; ;
35 35 35
A
1 17 18
35 35 35
B
Bài 9: Trong khụng gian với hệ tọa độ vuụng gúc Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x 1) 2(y 2) 2(z 3) 2 64
và mặt phẳng (P) : 2x y 2z 13 0 cắt nhau theo giao tuyến là đường trũn (C) Xỏc định tõm và bỏn kớnh của đường trũn đú
Bài 9: Ta cú:BC2; 4;0 ; D B 0; 4;3 BC B D 12; 6;8
Mp(BCD) đi qua B và cú vtpt n 6; 3; 4
nờn (BCD): 6x – 3y + 4z + 16 = 0
Gọi (d) là đường thẳng đi qua A và vuụng gúc (BCD) thỡ
4 6
4
z t
Hỡnh chiếu vuụng gúc H của A lờn (BCD) là giao điểm của d với (BCD) Tọa độ H là nghiệm của hệ:
2; 4; 4
H
Bài 10: Tỡm giao điểm của d và (P) ta được
2
A ; ;
Ta cú u d 2 1 3; ; ,n P 2 1 1; ; u u ;n d p 1 2 0; ;
Vậy phương trỡnh đường thẳng Δ là
Trang 5Bài 11: Trong không gian (oxyz) cho hai mặt phẳng: (P1): x - 2y + 2z - 3 = 0 (P2): 2x + y - 2z - 4 = 0 và đường thẳng (d): x +2
−1 =
y
−2=
z − 4
3 Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P1), (P2)
Bài 11:(P1): x - 2y + 2z - 3 = 0
(P2): 2x + y - 2z - 4 = 0
Giả sử I (x0 ; y0 ; z0) (d): x +2 −1 = y
−2=
z − 4
3
⇒ I (-2 - t ; 2t ; 4 + 3t) là tâm của mặt cầu (S)
Mặt cầu (S) tiếp xúc với (P1), (P2) ⇔ d (I, (P1)) = d (I ; (P2))
⇔
1
3|9 t+3|=
1
3|10 t+16|⇔
t=−13
¿
t=−1
¿
¿
¿
¿
¿
0,25đ
⇒ I1 = (11 ; 26 ; -35) ; I2 (-1 ; 2 ; 1)
Vậy, có hai mặt cầu cần tìm:
(S1): (x - 11)2 + (y - 26)2 + (z + 35)2 = 382 (S2): (x + 1)2 + (y - 2)2 + (z - 1)2 = 22
Bài 12: Trong không gian (oxyz), cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x 4y 2z + 5 = 0 và mặt phẳng (P): x -2y + 2z - 3 = 0 Tìm những điểm M (S), N (P) sao cho MN có độ dài nhỏ nhất
Bài 12: (S): (x + 1)2 + (y - 2)2 + (z - 1)2 = 1 Tâm I (-1 ; 2 ; 1), bán kính R = 1
(P): x - 2y + 2z - 3 = 0 ⇒ d (I ;( P)) = 2 ⇒(P)∩(S)=Ø
Giả sử tìm được N0 (P) ⇒ N0 là hình chiếu vuông góc của I trên (P) 0,25đ
⇒ N0=(d )∩ (P ) , với:
¿
(d)∋ I (−1 ;2;1)
(d )⊥(P)⇒ u d=(1 ;−2 ; 2)
¿{
¿
⇒(d ) :
x=−1+t
y=2 −2 t
z =1+2t
¿{{
⇒ N0(−1
3;
2
3;
7
(d )∩(S )=¿ {M1 ; M2}
⇒ M1(−2
3;
4
3;
5
3) , M2(−4
3;
8
3;
1
M1M0 = 1 < M2M0 = 3
M0 (S) để M0N0 nhỏ nhất ⇒ M0 M1
Vậy, những điểm cần tìm thoả mãn yêu cầu bài toán M(−2
3;
4
3;
5
3) , N(−1
3;
2
3; 7
3)
Trang 6Bài 13:Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1;1;1),cắt đường thẳng (d1):x +2
3 =
y
1=
z −1
−2
và vuông góc với đường thẳng (d2): x=−2+2 t ; y =−5 t ; z=2+t ( t ∈ R )
Bài 13: VTCP của d2 là v =(2;− 5;1 ) và cũng là VTPT của mp(P) đi qua M và vuông góc với d2 Pt mp(P) là: 2 x −5 y +z +2=0 Gọi A là giao điểm của d1 và mp(P) nên A(−2+3 t ;t ;1 −2 t)
Thay vào phương trình mp(P) thì t=−1 ⇒ A (−5 ;−1 ;3)
* Đường thẳng d cần lập pt có VTCP u=(3 ;1 ;−1) do MA=(−6 ;− 2;2)
Vậy phường trình đường thẳng d là: x −1
3 =
y − 1
1 =
z −1
−1 (vì d ≠ d2)
Bài 14: Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P): x+y+z-1=0 đồng thời cắt cả hai
đường thẳng (d1):x −1
2 =
y+1
−1 =
z
1 và (d2): x=−1+t ; y=−1 ; z=−t , với t ∈ R
Bài 14: Điểm M ∈(d1) , nên toạ độ của M =(1+2 t1;−1 −t1;t1)
điểm N ∈(d2) , nên toạ độ của N=(− 1+t ;−1 ;−t) Suy ra MN=(t −2 t1− 2;t1;− t −t1)
Với M , N ∈(d) và mặt phẳng (P) có 1 VTPT là n=(1;1 ;1) Suy ra:
(d ) ⊥ mp( P) ⇔ MN=k n; k ∈ R❑⇔ t −2 t1−2=t1=−t − t1
Giải ra ta được { t=4
5
t1=−2
5
, do đó M=(15;−
3
5;−
2
5)
Vậy phuơng trình đường thẳng (d) là: x −1
5=y +
3
5=z+
2 5
Bài 15: Trong không gian Oxyz Cho mặt phẳng (P): x+y-2z+4=0 và mặt cầu (S):
x y z x y z Viết phương trình tham số đường thẳng (d) tiếp xúc với (S) tại
A(3;-1;1) và song song với mặt phẳng (P).
Bài 15: Mp(P) có vtpt n P= (1;1;-2).
(S) có tâm I(1;-2;-1)
* IA
= (2;1;2) Gọi vtcp của đường thẳng là u
tiếp xúc với (S) tại A u
IA
Vì // (P) u
nP
* Chọn u0= [IA ,nP] = (-4;6;1)
* Phương trình tham số của đường thẳng :
3 4
1 6 1
Bài 16: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz Cho tam giác ABC có: A(1;-2;3), B(2;1;0), C(0;-1;-2)
Viết phương trình tham số đường cao tương ứng với đỉnh A của tam giác ABC
Bài 16: Gọi d là đường cao tương ứng với đỉnh A của ABC
d là giao tuyến của (ABC) với ( ) qua A và vuông góc với BC
* Ta có: AB
= (1;3;-3), AC
= (-1;1;-5) , BC
= (-2;-2;-2) [AB
, AC
] = (18;8;2) mp(ABC) có vtpt n = 14[AB, AC] = (-3;2;1)
mp( ) có vtpt n ' = -12 BC = (1;1;1)
Trang 7* Đường thẳng d có vtcp u =[n , n ' ] = (1;4;-5).
* Phương trình đường thẳng d:
1
2 4
3 5
(Lấy từ 143 – 176)