Download Tài liệu luyện thi Hình học lớp 12

 Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng1. Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.[r]

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ths Hồng Văn Y

Phương pháp tọa độ trong trong không gian:

 Xác định tọa độ của điểm, vectơ

 Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng

 Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách

giữa hai đường thẳng Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu

1

§1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

II TỌA ĐỘ CỦA VÉCTƠ Cho hệ tọa độ Oxyz và u  Khi đó có duy nhất một bộ ba số thực (x; y; z) sao cho

u x i y j z k    Ta gọi bộ ba số (x; y; z) là tọa độ của u  và kí hiệu là : u( ; ; )x y z  hoặc u x y z( ; ; )  Vậy : u( ; ; )x y z 

u x i y j z k      Từ định nghĩa trên ta suy ra : i(1;0;0), j(0;1;0), k(0;0;1)    III TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM Cho hệ tọa độ Oxyz và điểm M Ta gọi tọa độ của OM là tọa độ của điểm M Như vậy bộ ba số (x; y; z) là tọa độ của điểm và kí hiệu là M ( ; ; )x y z hoặc ( ; ; ) M x y z nếu : OM  x i y j z k   Vậy theo định nghĩa trên, ta có : ( ;0;0) M Ox M x    (0; ;0) M Oy M y    (0;0; ) M Oz M z    ( ) ( ; ;0) M Oxy M x y    ( ) ( ;0; ) M Oxz M x z    ( ) (0; ; ) M Oyz M y z     Gọi M M M1; 2; 3 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M(x; y; z) lên 3 trục tọa độ Ox, Oy, Oz Khi đó 1( ;0;0), 2(0; ;0), 3(0;0; ) M x M y M z  Gọi M M M1; 2; 3 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M(x; y; z) lên 3 mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Oxz) Khi đó M x y1( ; ;0), M2(0; ; ), y z M x3( ;0; )z .  Cho A x y z( ;A A; ), ( ;A B x y z B B; )B Khi đó AB(x B  x y A; B y z A; B z A) Trục tung Trục hoành Trục cao Mặt phẳng tọa độ z x y O  j O xy Oxz Oyz y M z k   j O x i  M1 2 2 2 1 0

i j k

i j j k k i





   



PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ths Hồng Văn Y

IV CÁC CÔNG THỨC THƯỜNG DÙNG

Cho hai véctơ a( ; ; ),a a a b1 2 3 ( ; ; )b b b1 2 3 Khi đó :

1 Tổng hiệu hai véctơ : a b  (a1b a1; 2b a2; 3b3)

2 Giao của mặt cầu và mặt phẳng :

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ths Hồng Văn YCho mp ( ) : Ax By Cz D    và mặt cầu 0 ( ) : (S x a )2(y b )2(z c )2 R2

Khi ( ) cắt mặt cầu (S) thì giao tuyến là đường tròn (C):

0( ) :C Ax By Cz D

3 Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện :

Tâm I và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD :

Gọi phương trình mặt cầu là: x2y2z22ax2by2cz d 0a2b2c2 d 0

Mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D nên:

VI TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ

1 Định nghĩa : Trong không gian Oxyz, cho hai véctơ a( ; ; ),a a a b1 2 3 ( ; ; )b b b1 2 3

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ths Hồng Văn YTích có hướng của hai véctơ a

5 Tìm tọa độ chân đường cao của tứ diện : AH là đường cao của tứ diện ABCD Tọa độ

điểm H cho bởi :

= (4; 12; 3) Hãy phân tích vectơ d

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ths Hồng Văn Y

5. Cho tứ diện ABCD với A(2; 3; 1), B(1; 1; −2), C(2; 1; 0), D(0; −1; 2) Đường cao AH.

Tìm tọa độ H và độ dài AH ĐS: 3;3 ;1 ; 14

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ths Hồng Văn Y

 Ngược lại, mỗi phương trình có dạng (1) đều là phương trình của một mặt phẳng và

mặt phẳng đó có một VTPT là n( ; ; )A B C



3 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn :

Mặt phẳng ( ) không đi qua gốc tọa độ O

IV GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ths Hồng Văn YGóc giữa hai mặt phẳng ( ) :1 A x B y C z D1  1  1  10 và ( ) :2 A x B y C z D2  2  2  2 0 là

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ths Hồng Văn Y

ĐS: ( ) : x 26y3z 3 0 hoặc ( ) : x 26y3z 3 0

ĐS:

1max

4 Cho A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Tính khoảng cách

từ O đến mặt phẳng (ABC) Viết phương trình mặt phẳng qua O, A song song với BC.

ĐS: (ABC x y z) :    9 0; d O ABC ,( ) 3 3;( ) :10 x y 17z0

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ths Hồng Văn Y

5 Cho A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4) Viết phương trình mặt phẳng qua C, A và vuông góc với

8 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1; 1; 3), B(-1; 3; 2), C(-1; 2; 3) Tính

khoảng cách từ O đến (P) Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện OABC.

ĐS: ( ) :P x2y2z 9 0; d O P ,( )3;SABC 32;V OABC 32

9 Cho A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3) Các điểm M, N lần lượt là trung điểm của OA và BC P

và Q là hai điểm nằm trên OC và AB sao cho

23

OB

OC  và hai đường thẳng MN và PQ cắt

nhau Viết phương trình mặt phẳng (MNPQ) và tìm tỉ số .

AQ AB

ĐS: (MNPQ) : 6x y 3z 6 0; k23

10 Tìm trên Oy các điểm cách đều hai mặt phẳng ( ) :P x y z   1 0;( ) :Q x y z   5 0

ĐS: M(0; 3;0)

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ths Hồng Văn Y

I VÉCTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG

1 Véctơ u 0

được gọi là VTCP của đường thẳng d nếu giá của

u song song hoặc trùng với d.

II CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

6) Chuyển dạng phương trình tổng quát sang dạng tham số, chính tắc :

d

§3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ths Hồng Văn Y

Đặt tỉ số này bằng t  Phương trình tham số

III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Giả sử :

1 2

qua v có l qua v có l

M x y z d

1

d

2

d

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ths Hồng Văn Y

 Nếu ( ) song song với ( ) thì d( ),( )   d M ( ),( )  

 Nếu đường thẳng  song song với mp( ) thì d,( )  d M  ,( ) 

2 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng :

Cho đường thẳng  đi qua A và có VTCP u



.Khoảng cách từ điểm M x( M;y z M; M) đến đường thẳng  là :

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ths Hồng Văn YVD: Lập phương trình mặt cầu tâm I(1; 2;  1), tiếp xúc với đường thẳng

3 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau :

Giả sử

1 2

qua và có là qua và có là

B3 Sử dụng kiến thức tọa độ giải toán.

VD: Bài 10/81 SGK – ban cơ bản Giải bài toán sau bằng phương pháp toạ độ:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ths Hồng Văn Y

Suy ra 2 mp(AB’D’) và (BC’D) song song

b) Khi đó khoảng cách giữa hai mặt phẳng trên chính là

( ) ( )

;( ) ( )

Cách 2 Sử dụng dấu hiệu nhận biết qua hệ thức của các véctơ.

Dạng 2 Xác định hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt

phẳng ( )

Phương pháp :

Viết phương trình tham số của đường thẳng  qua M và vuông góc với

( ) Giao điểm H của  và ( ) là hình chiếu vuông góc của M lên mặt

Cách 1 Viết phương trình mp( ) qua M và vuông góc với  Giao

điểm H của  và ( ) là hình chiếu vuông góc của M lên

Cách 2 Viết phương trình tham số của   tọa độ H theo tham số

C

_

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ths Hồng Văn Y

t y

t x

1

22

32

Nhận xét: Bài toán này ta lấy H d, khi đó H là hình chiếu của M trên đường thẳng d khi

và chỉ khi u MH

= 0 (u là VTCP của d) Hướng dẫn giải:

Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên 

Giả sử M x y z H x y z( ; ; ), ( ; ; )1 1 1 0 0 0 Khi đó, điểm M’ đối xứng với M qua

 là M(2x0 x1; 2y0 y1, 2z0 z1)

VD: Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với A(1 ; -2 ; -5) qua đường thẳng d

có phương trình : {y=−1 −t x=1+2 t

z=2 t Nhận xét: Bài toán này ta lấy H d, H là hình chiếu của A lên đường thẳng d khi và chỉ

TH1:  ( )  Hình chiếu vuông góc của  lên mp( ) là điểm H  ( )

TH2:  không vuông góc với ( ) ,  ( ) :

Cách 1 Viết phương trình mp( ) chứa  và ( ) vuông góc với ( )

Hình chiếu vuông góc của  lên ( ) là đường thẳng   ( ) ( )  

Cách 2 Lấy 2 điểm A, B phân biệt thuộc 

d

H

A ' A

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ths Hồng Văn Y

Xác định hình chiếu vuông góc của A, B lên ( ) là H1, H2

Hình chiếu vuông góc của  lên ( ) là đường thẳng H1H2

Cách 3 Nếu  cắt ( ) : Xác định A ( ) Lấy M bất kỳ không thuộcvà khác A.

Xác định hình chiếu vuông góc H của M lên ( )

Hình chiếu vuông góc của  lên ( ) là đường thẳng AH.

VD: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:

{y=−1+2 t x =6 −5 t

z =−5+5 t

(t∈ R) trên mp(P): 2x + y  2z  3 = 0

Nhận xét: Ta có d cắt (P) nên tìm giao điểm A của d và

(P) sau đó lấy M d, tìm hình chiếu H của M trên (P), khi đó

hình chiếu của đường thẳng d trên mp(P) là đường thẳng qua H và

có VTCP AH

Hướng dẫn giải:

Gọi A là giao điểm của d và (P).

Ta có: A d suy ra: A(6 5t;  1+2t;  5+5t)

Vì A (P) ⇔ 2(6 5t) + ( 1+2t)  2( 5+5t)  3 = 0

⇔ t = 1

Do đó A(1; 1; 0)

Ta lại có: M(6;  1;  5) d

Gọi H là hình chiếu của M trên (P) suy ra: H(2;  3;  1)

Hình chiếu của d trên (P) là đường thẳng qua H và có VTCP AH

Nhận xét: Ta có d // (P) nên ta lấy M d, tìm hình chiếu của M trên (P), khi đó hình chiếu

của đường thẳng d trên mp(P) là đường thẳng qua H và song song với d.



n



= 0 và M (P) nên: d // (P) Gọi H là hình chiếu của M trên (P) suy ra: H(2;  3;  1)

Hình chiếu của d trên (P) là đường thẳng qua H và song song với d nên có phương trình :

{y=−3 − 2t x=2+4 t z=− 1+3t

Dạng 7 Xác định hình chiếu song song của đường thẳng 1lên mp( ) theo phương 2cắt

( )

Phương pháp :

TH1: 1/ / 2 Hình chiếu song song của 1lên ( ) theo phương 2là điểm H  1 ( )

TH2: 1và 2không song song:

Viết phương trình mp( ) chứa 1và song song 2

d

H M

(P)

A d

H M

(P)

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ths Hồng Văn Y

Hình chiếu song song của 1lên ( ) theo phương 2là đường thẳng  ( ) ( )  

Dạng 8 Viết phương trình đường thẳng  qua M và cắt 1, 2với 1, 2 chéo nhau và

không đi qua M

Phương pháp :

Cách 1 Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua M và chứa 1

Nếu 1 có phương trình tổng quát thì nên viết phương trình ( ) dưới dạng chùm

Nếu 1 có phương trình tham số thì lấy hai điểm A, B thuộc 1 Phương trình( ) qua 3 điểm A, B,

M.

* Nếu ( ) / / 2thì bài toán vô nghiệm Nếu ( ) cắt 2thì tìm N  2 ( )

Nếu MN/ /1 thì bài toán vô nghiệm Nếu MN cắt 1thì đường thẳng cần tìm là MN.

Cách 2 Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua M và chứa 1, mặt phẳng ( ) qua M và chứa 2

* Xét  ( ) ( )   Nếu  cắt 1 và 2 thì đường thẳng  là đường thẳng cần tìm Nếu / /1

hoặc 2 thì bài toán vô nghiệm

Dạng 9 Viết phương trình đường thẳng  cắt 1, 2 và song song với 3

Phương pháp 1: Viết phương trình mp( ) chứa 1 và song song 3, mp( ) chứa 2 và song song 3

Nếu ( ) / /( )  thì bài toán vô nghiệm Nếu ( ) cắt ( ) thì xét  ( ) ( )  

Nếu  cắt 1 và 2 thì  là đường thẳng cần tìm

Nếu / /1 hoặc 2 thì bài toán vô nghiệm

Phương pháp 2: Viết phương trình tham số của 1 theo t1, của 2 theo t2 Lấy điểm

1, 2

M  N   Tọa độ M, N theo t1, t2  MN

theo t1, t2

Xác định t1, t2 sao cho MN/ / 3 Đường thẳng  cắt 1, 2 và song song với 3 là MN.

Phương pháp 3: Gọi M x y z( ; ; )0 0 0 là giao điểm của  và 1

 nhận VTCP của 3 làm VTCP  Phương trình tham số của  theo x y z0; ;0 0.

t y

t x

1

32 ; d2: 

4

31

21

t z

t y

t x

và

song song với đường thẳng d: 1

42



PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ths Hồng Văn Y nên:  AB

1333

825

/

/

t t

t t

1

/

t t suy ra A(-1;1;0)

Đường thẳngqua A và có VTCP u = (3; 2; 1) nên có phương trình : 

t y

t x

21

31

Dạng 10 Viết phương trình đường thẳng  qua M và vuông góc với 1, cắt 2 trong đó

1, 2

M   

Phương pháp : Viết phương trình mp( ) qua M và vuông góc với 1, mp( ) qua M chứa 2

Nếu ( ) / /( )  thì bài toán vô nghiệm Nếu ( ) cắt ( ) thì xét  ( ) ( )  

Nếu  cắt 2 thì  là đường thẳng cần tìm

Nếu / /2 thì bài toán vô nghiệm

VD: Viết phương trình đường thẳng  qua A(2; 1; -3) cắt đường thẳng d1: 

t y

t x

4

21

t y

t x

53

41

t y

t x

23

212

(t∈ R)

Dạng 11 Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau  1, 2



PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ths Hồng Văn Y

a TH dặc biệt :   1 2

Viết phương trình mp( ) chứa 1 và   2

Tìm M  2 ( ) , H là hình chiếu vuông góc của M lên 1 MH là đường vuông góc chung của

1

 , 2

b Phương pháp 1 : Viết phương trình 1, 2 dưới dạng tham số

Lấy M 1,N  2 Tọa độ M, N theo t1, t2  MN

4

372

t z

t y

t x

)(t / R Nhận xét: Bài toán này học sinh lấy A d 1 , B d 2 ; AB là đường vuông góc chung của d

)93

(3)73(

0)4(

)93

()73(3

/ /

/

/ /

/

t t t

t t

t

t t t

t t

26115

/

/

t t

t t

t y

t x

211

B

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ths Hồng Văn Y

VD: Bài 6/ 90(sgk – ban cơ bản)



Suy ra:a n   0 và M không nằm trên   nên  và   song song

12.2 Tìm điểm biết khoảng cách cho trước : (dễ)

VD1: Cho mặt cầu (S) có bán kính R = 3 Lập phương trình mặt cầu (S) biết (S) tiếp xúc với (P): 2x + 2y + z + 3 = 0 tại M(-3; 1; 1).

12.3 Các bài toán về tổng hiệu khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất :

a Dạng 1: Cho 2 điểmA x y z B x y z( ; ; ); ( ; ; ).1 1 1 2 2 2 TìmM( ) :P ax by cz d   0để (MA+MB)min.

Phương pháp : Xác định vị trí tương đối của A, B đối với mặt phẳng (P) bằng cách tính các đại

Nhận xét: Bài toán này ta kiểm tra M, N nằm về một hay hai phía của mặt phẳng Nếu M, N

nằm về hai phía của mặt phẳng thì I là giao điểm của MN và mặt phẳng, nếu M, N nằm về một phía của mặt phẳng thì I là giao điểm của M ' N và mặt phẳng trong đó M ' là điểm đối xứng của M qua mặt

x y

Gọi H là giao điểm của d với mp(Oxy)

M

N

M '

y O

d

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ths Hồng Văn Y

Ta có H d  H(1; 2; 3 + t)

Vì H(Oxy)  3 + t = 0  t =  3

 H(1; 2; 0)

Gọi M' đối xứng với M qua mp(Oxy).

H là trung điểm của MM' nên M'(1; 2;  3) và M N '

c Dạng 3: Cho 2 điểm A x y z B x y z( ; ; ); ( ; ; )1 1 1 2 2 2 Tìm M   cho trước sao cho (MA + MB) min.

Phương pháp : Xác định tọa độ các điểm A’, B’ là hình chiếu tương ứng của các điểm A, B lên 

Gọi M0 là điểm chia đoạn A’B’ theo tỉ số

0 0

AA

M A k

Tìm điểm Id sao cho: IM + IN nhỏ nhất.

Nhận xét: Ta có MNd nên IM + IN nhỏ nhất khi và chỉ khi I = d (P) trong đó (P) là mặt phẳng qua MN và vuông góc với d

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ths Hồng Văn Y

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ths Hồng Văn Y

3 Xác định hình chiếu vuông góc của M( 1;  1; 1) lên đường thẳng

12

4 Xác định điểm M’ đối xứng với M(13; 2; 3) qua mp( ) : x y 3z 5 0 ĐS: M (11;0;9)

5 Xác định điểm đối xứng với M(0; 2; -1) qua đường thẳng

9 Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua gốc tọa độ và tiếp xúc với hai mặt phẳng có phương trình

10 Trong không gian cho mặt cầu (S) đi qua bốn điểm : A(0; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1), D(0; 1;

0) và mặt cầu (S’ ) đi qua bốn điểm :

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ths Hồng Văn Y

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ths Hồng Văn Y

O xy