Bất đẳng thức đại số và phương pháp PQR - Lê Phúc Lữ

Ta biết rằng phương pháp pqr là các tiếp cận mạnh và hiệu quả cho nhiều bài BĐT đối xứng ba biến.. Đi đôi với phương pháp này, ta có BĐT Schur để đánh giá các quan hệ giữa các đại[r]

PHẦN 7 BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP PQR

Ta biết rằng phương pháp pqr là các tiếp cận mạnh và hiệu quả cho nhiều bài BĐT đối xứng

ba biến Trong đó, ta đặt pxyz q, xyyzzx r, xyz

Thông dụng nhất sẽ là : p 3 q3,r1; còn nếu r 1 p3,q3.

Đi đôi với phương pháp này, ta có BĐT Schur để đánh giá các quan hệ giữa các đại lượng Chẳng hạn như

2

9

Chú ý: phương pháp này chỉ dùng được khi đề bài cho các số thực dương hoặc không âm

Bài 7.1 (Quảng Nam) Cho các số thực dương , , x y z thỏa mãn xy yz zx3 Chứng minh rằng 3 3 3

x  y z  xyz

Lời giải Ta có 3 3 3 3

x  y z  p  p r nên BĐT đã cho viết lại thành

3

9 10 10

p  p r

Vì q 3 và

r    nên ta có hai trường hợp :

- Nếu 2

12

p  p p p   p  , BĐT cần chứng minh là đúng

- Nếu 2

12

9

p  p r p  p pp , ta đưa về chứng minh

3

39

10 9

p p

(p3)(p 3p30)0

BĐT cuối đúng do p  3 0 và p2 12,3p6 3 nên 2

3 30 0

p  p 

Bài 7.2 (Vũng Tàu)

a) Chứng minh rằng nếu , ,a b c 0 mà 1 1 1 1

1 1 3 a 1 1 3 b 1 1 3 c  thì abc 1

b) Chứng minh rằng nếu , ,a b c 0 thì

3

sym

a



Lời giải

a) Đặt 3 , 3 , 3

      thì xy z 3 và , , 0;3

2

x y z  

 

Ta cũng tính được a 3 22 x,b 3 22 y,c 3 22 z

2 2 2

(3 2 )(3 2 )(3 2 ) x  y  z  x y z hay

2 2 2

(x yz z)( xy y)(  z x)x y z

Nhân hai vế cho 3

(xyz) 27, ta có

3

Ta đưa về chứng minh 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2

2(x y y z z x ) (x y z ) (x y z ) 3x y z

px y z qx y  y z z x r x y z thì cần có

2

(4q p )p3r hay

2

(4 3 ) 3

đúng theo BĐT Schur

b) Chia tử và mẫu của các phân thức cho , ,a b c rồi đặt x bc2,y ca2 ,z ab2

   thì xyz 1 và

1 1 3 x 1 1 3 y 1 1 3 z 

Giả sử phản chứng rằng BĐT sai, tức là VT 1 Thay ( , , )x y z ( , , )x y z sao cho VT 1 thì

z z nên xyz 1 Nhưng theo câu a thì xyz 1 nên mâu thuẫn, ta có đpcm

Bài 7.3 (Ninh Bình) Cho các số thực dương , , a b c thỏa mãn 2 2 2

(a 1)(b 1)(c 1)8 Tìm giá

trị lớn nhất của Pab bc ca 

Lời giải Ta sử dụng ý tưởng phản chứng

Dự đoán abbcca3 Ta giả sử rằng abbcca3 Thay ( , , )a b c ( , , )a b c với c c

sao cho abbcc a 3 Khi đó, 2 2 2

(a 1)(b 1)(c 1)8 Ta cần chỉ ra điều vô lý

Ta giải bài toán sau: Giả sử , ,x y z là các số thực dương và xyyzzx3 Ta cần chứng minh

(x 1)(y 1)(z 1)8

Ta có

Ta cần chứng minh rằng 2 2

r  pr p   hay 2

(pr) 4

Chú ý rằng khi q 3 thì p3,r1 nên p r 2, điều này cho thấy 2

(pr) 4 Do đó, bất đẳng thức cần chứng minh ở trên là đúng

Bài 7.4 (chọn đội tuyển KHTN) Cho , , a b c 0, chứng minh rằng

Lời giải Ta viết lại BĐT đã cho thành

(p 3pq 3 )r q 6q 9(p 2 )q

r

Chuẩn hóa q 3, ta đưa về 3 3 2

(p 9p 3 )r 18 9(p 6)

r

2

2

3 ( 9)

p p

p r



  hay 2

(p 9)(p3 )r 0

BĐT cuối đúng vì p3,r1

Bài 7.5 (chọn đội tuyển KHTN) Cho , , a b c 0, chứng minh rằng

6

bcca ab a b c b c a  c a b

Lời giải Đặt x 2a ,y 2b ,z 2c xy yz zx xyz 4.

12

x y z

Khi đó vẫn với quy ước p x yz q, xyyzzx r,  xyz thì q r 4 Ta cần chứng minh

2

6rp p126r(p3)(p4)0 (*)

Theo BĐT Schur thì 3

p  r pq hay

3

9 4 (4 ) (9 4 ) 16

9 4

p





- Nếu p 4 thì BĐT (*) đúng

- Nếu p 4 thì thay vào (*), ta có

3

BĐT này đúng do p 3 (BĐT này có thể chứng minh bằng phản chứng tương tự các bài trước, tức là nếu có p 3, chứng minh q r 4) Vậy nên ta có đpcm