Bổ đề về hai điểm liên hợp đẳng giác và các bài toán liên quan

(Nguyễn Đăng Khoa) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O ) , có đường tròn A-mixtillinear tâm J tiếp xúc trong với ( O ) tại D. Gọi J 1 là điểm liên hợp đẳng giác với J trong tam giác[r]

BỔ ĐỀ VỀ HAI ĐIỂM LIÊN HỢP ĐẲNG GIÁC

VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

1 Giới thiệu

Bài viết này lấy cảm hứng từ bài toán của thầy Nguyễn Văn Linh đưa lên group "Hình học phẳng" liên quan đến hai điểm đẳng giác Đã có vài lời giải đăng lên và rất nặng về phần tính toán, tuy nhiên tác giả nhận thấy hoàn toàn có thể giải dựa theo một bổ đề và từ đó các bài toán liên quan hay mở rộng cũng có thể giải quyết một cách triệt để Vậy trước hết ta phát biểu và chứng minh hai bổ đề quan trọng sau

2 Bổ đề về hai điểm liên hợp đẳng giác

Bổ đề 1 Trong tam giác ABC lấy hai điểm P và Q liên hợp đẳng giác với nhau AP cắt lại đường tròn (ABC) tại R QR cắt BC tại S Khi đó ta có P S k AQ

M N

P

S R

C Q

A

B

Chứng minh Ta lấy M, N lần lượt là giao điểm của tia AQ với BC và (ABC)

Do AP , AQ đẳng giác trong góc BAC nên ta dễ có RN k BC

Từ đó ta có 4QN C ∼ 4CRP và 4CM N ∼ ACR (góc - góc) nên suy ra

AR · M N = CN · CR = QN · P R hay AR

P R =

QN

M N =

QR

RS nên P S k AQ.

Bổ đề 2 (Phan Anh Quân) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Lấy hai điểm liên hợp đẳng giác P, Q AP cắt lại (O) tại R, lấy S bất kì trên BC, RS cắt lại (O) tại M (M với

B nằm khác phía so với AC) Khi đó ta có ∠P SB = ∠QMA

L

M

P

K

R

C Q

A

Chứng minh Lấy K là giao điểm của QR và BC Kẻ đường thẳng qua P song song với AM cắt RM tại L

Theo Bổ đề 1 ta có P K k AQ nên suy ra RL

LM =

RP

P A =

RK

KQ nên KL k QM Vậy hai tam giác P KL và AQM có các cặp cạnh tương ứng song song

Để ý rằng ∠LSC = ∠BM S + ∠MBS = ∠BAR + ∠CAM = ∠QAC + ∠MAC = ∠QAM =

∠KP L nên tứ giác P KSL là tứ giác nội tiếp, suy ra ∠P SB = ∠P LK = ∠AMQ

Nhận xét Từ bổ đề này ta rút ra được kết quả của hai bài toán quen thuộc sau

Bài 1 (Nga 2005) Cho tam giác ABC có tâm đường tròn nội tiếp I Lấy M , N lần lượt là trung điểm BC và cung BAC của đường tròn (ABC) Chứng minh rằng ∠ANI = ∠BM I Bài 2 Cho tam giác ABC, lấy P , Q là hai điểm liên hợp đẳng giác nằm trên phân giác góc BAC Lấy M , N lần lượt là trung điểm BC và cung BAC của đường tròn (ABC) Chứng minh rằng P , Q, M , N đồng viên

Bây giờ chúng ta đến với các bài toán chính của bài viết

3 Các bài toán

Bài 1 (Nguyễn Văn Linh) Cho tam giác ABC nội tiếp (O), các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H EF cắt (O) tại hai điểm K và L P là điểm liên hợp đẳng giác của H trong tam giác DKL Chứng minh rằng P H chia đôi EF

Bài toán này đã được mở rộng bởi Trần Quân nên ta đi chứng minh luôn bài toán mở rộng như sau

Mở rộng Cho tam giác ABC nội tiếp (O), đường tròn bất kì đi qua B và C cắt lại AC,

AB lần lượt tại E và F BE cắt CF tại H và AH cắt BC tại D EF cắt (O) tại hai điểm K

và L P là điểm liên hợp đẳng giác của H trong tam giác DKL Chứng minh rằng P H chia đôi EF

Y Z

T

N X

M

L

D

K

H

E O

C

A

B F

Chứng minh Lấy T là giao điểm của EF với BC M , N lần lượt là trung điểm BC và EF

AD giao với EF và (DKL) lần lượt tại X và Y

Ta thấy (T D, BC) = (T X, F E) = −1 mà M , N lần lượt là trung điểm BC và EF nên theo

hệ thức Maclaurin thì ta có T X · T N = T F · T E = T B · T C = T D · T M = T K · T L

Từ đó suy ra tứ giác XN M D và KDM L là các tứ giác nội tiếp

Lấy Z là giao điểm của tia M N với (DKL)

Khi đó ta có ∠ZNX = ∠XDM = ∠Y ZN nên Y Z k KL hay D, P, Z thẳng hàng

Từ đó áp dụng bổ đề 2 thì ta có ∠P NF = ∠HM D

Mặt khác ta có 4HF E ∼ 4HBC, kết hợp M , N lần lượt là trung điểm BC, EF nên

∠HM D = ∠HN F

Vậy suy ra ∠P NF = ∠HN F nên ta có P H đi qua trung điểm N của EF

Nhận xét Từ lời giải trên ta thấy hai điểm K, L là giao của EF với (O) chỉ để suy ra được hai tứ giác nội tiếp nên ta vẫn có thể mở rộng hơn nữa bài toán này như sau

Mở rộng 2 (Nguyễn Đăng Khoa) Cho tam giác ABC và vẽ hai đường tròn ω1, ω2 đi qua

B, C Đường tròn ω1 cắt lại AC, AB lần lượt tại E và F BE cắt CF tại H và AH cắt BC tại D Giả sử EF cắt ω2 tại hai điểm K và L P là điểm liên hợp đẳng giác của H trong tam giác DKL Chứng minh rằng P H chia đôi EF

Từ bài toán này ta rút ra bài toán đẹp sau khi cho đường tròn ω1 trùng ω2

Bài 2 Cho tam giác ABC nội tiếp (O), đường tròn bất kì đi qua B và C cắt lại AC, AB lần lượt tại E và F BE cắt CF tại H và AH cắt BC tại D Gọi P là điểm liên hợp đẳng giác của H trong tam giác DEF Chứng minh P H chia đôi EF

Chúng ta tiếp tục với bài toán khác có cấu hình khá giống bài 1

Bài 3 (Trần Quân) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I) Đường tròn (I) tiếp xúc với ba cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E và F EF cắt đường tròn (O) tại hai điểm K và L P là điểm liên hợp đẳng giác của I trong tam giác DKL Chứng minh P I đi qua trung điểm cung BC chứa A của (O)

Q

P

Z Y

X N

M

L

K F

E

D

I O

C

A

B

Chứng minh Ta gọi N , J lần lượt là trung điểm cung BC chứa A và không chứa A của (O) Lấy M, Q lần lượt là trung điểm BC, EF và X là giao của IN và EF

Ta dễ chứng minh được là KLM D nội tiếp nên ta gọi Y , Z lần lượt là giao điểm thứ hai của M X và DI với (DKL)

Ta có 4J CN ∼ 4IEA mà M , Q là chân hai đường cao của hai đỉnh tương ứng nên ta có

tỉ số J M

M N =

IQ

QA. Mặt khác do QX k AN nên IQ

QA =

IX

XN, từ đó suy ra XM k IJ hay M X ⊥ EF

Ta có ∠MY Z = ∠MDZ = 90◦ nên Y Z k KL hay ta thu được D, P, Y thẳng hàng

Để ý rằng J I2 = J M · J N nên ∠JIN = ∠JMI hay ∠AIN = ∠IMN = ∠MID

Suy ra ∠IXQ = ∠INA = ∠IMD

Mặt khác theo bổ đề ta có ∠P XQ = ∠IMD = ∠IXQ nên suy ra P, I, X thẳng hàng hay

ta có đpcm

Bài toán này có thể mở rộng như sau (bạn đọc tự chứng minh)

Mở rộng (Nguyễn Đăng Khoa) Cho tam giác ABC nội tiếp (O) và hai điểm P , Q liên hợp đẳng giác nằm trên phân giác góc BAC E, F lần lượt là hình chiếu của P lên AC và AB D

là hình chiếu của Q trên BC EF cắt (O) tại hai điểm là K, L Gọi P0 là điểm liên hợp đẳng giác với P và Q0 là điểm liên hợp đẳng giác với Q trong tam giác DKL Chứng minh rằng P Q0

và P0Q đều đi qua trung điểm cung BC chứa A của (O)

Bài 4 (Nguyễn Đăng Khoa) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) và có tâm đường nội tiếp là I Đường tròn A-mixtillinear tâm J tiếp xúc trong với (O) tại D Gọi K, L lần lượt là trung điểm các cung nhỏ AC và AB của (O) Chứng minh rằng điểm liên hợp đẳng giác với điểm I trong tam giác DKL là trung điểm AD

N M

P

Q

O

K

L

F

D

J

E I

C

A

B

Chứng minh Gọi P , Q lần lượt là trung điểm cung nhỏ và cung lớn BC của (O) Lấy E, F là điểm tiếp xúc của (J ) với AC và AB Gọi N là điểm liên hợp đẳng giác với I trong tam giác DKL

Ta biết các kết quả quen thuộc là D, I, Q thẳng hàng; D, F, L và D, E, K là hai bộ ba điểm thẳng hàng

Mặt khác dễ thấy LK là trung trực AI nên điểm M là trung điểm AI thuộc LK và từ đó

ta có AQ k KL nên N nằm trên DA

Áp dụng bổ đề thì ta có ∠NM L = ∠DP I

Suy ra ∠AMN = 90◦ + ∠NM L = 90◦ + ∠DP I = ∠QIP = ∠AID nên ta có MN k DI hay N là trung điểm AD (đpcm)

Bài 5 (Trần Quân) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) và có tâm đường nội tiếp là I Đường tròn A-mixtillinear tâm J tiếp xúc trong với (O) tại D Lấy E, F là điểm tiếp xúc của (J ) với AC và AB EF cắt (O) tại hai điểm K và L Gọi P là điểm liên hợp đẳng giác của J trong tam giác DKL Chứng minh rằng DP ⊥ EF và DJ cắt P I trên (O)

F

M P

N

K

L

D

J

E

C A

B

Chứng minh Do (J ) tiếp xúc với (O) tại D nên dễ có D, J , O thẳng hàng.

Ta kẻ đường kính DN của (O), N I cắt lại (O) tại điểm M

Theo bổ đề 2 thì ta có ∠P MD = ∠IJE = 90◦

Mà dễ thấy DN là đường kính nên ∠DM N = 90◦, suy ra M, P, N thẳng hàng

Tiếp tục sử dụng bổ đề 1 thì ta có IJ k P D hay P D ⊥ EF

Hoặc ta có thể nhận ra ngay tính chất quen thuộc O là tâm (DKL) và DP , DO là hai đường đẳng giác trong góc KDL nên DP ⊥ KL

Nhận xét Từ lời giải trên ta hoàn toàn có thể mở rộng bài toán như sau (bạn đọc tự chứng minh)

Mở rộng Cho tam giác ABC, trên hai cạnh AC, AB lấy hai điểm F và E sao cho

AE = AF Một đường tròn (J ) đi qua E, F là tiếp trong với (O) tại điểm D Gọi M là trung điểm EF , EF cắt (O) tại K, L Gọi P là điểm liên hợp đẳng giác của J trong tam giác DKL Chứng minh rằng P M và DJ cắt nhau trên (O)

Lời kết Qua bài viết này tác giả muốn trình bày tới bạn đọc ứng dụng rất hữu ích của hai bổ đề trên, nó cho chúng ta có một cái nhìn tổng quát và một lời giải đẹp, không cần tính toán Sau đây là vài bài tập dành cho bạn đọc

4 Bài tập

Bài 1 (Nguyễn Đăng Khoa) Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có đường phân giác BAC cắt

lại (O) tại D Lấy điểm I bất kì trên đoạn AD, hình chiếu của I trên AC, AB lần lượt là E, F EF cắt (O) tại K, L Chứng minh điểm liên hợp đẳng giác của I trong tam giác DKL là trung điểm BC

Bài 2 (Nguyễn Đăng Khoa) Cho tam giác ABC có đường cao AD cắt lại (O) tại điểm D0

H là điểm bất kì trên đoạn AD, E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AC, AB EF cắt (O) tại K, L Chứng minh rằng điểm D là liên hợp đẳng giác của H trong tam giác D0KL

Tác giả phát hiện hai bài toán trên và sau đó thành viên Trần Quân trên group đã đưa lên bài toán tổng quát cho hai bài trên

Bài 3 (Trần Quân) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O), P là một điểm bất kì trên (O)

Lấy J trên đoạn AP E, F là hình chiếu của J trên AC, AB EF cắt (O) tại K, L Lấy D là hình chiếu của P trên BC Chứng minh D là điểm liên hợp đẳng giác với J trong tam giác P KL

Bài 4 (Nguyễn Đăng Khoa) Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có đường phân giác BAC cắt

lại (O) tại D Lấy điểm I bất kì trên đoạn AD, dựng hình bình hành AEIF (E thuộc

AC, F thuộc AB) EF cắt đường tròn (O) tại K và L Chứng minh O là điểm liên hợp đẳng giác với I trong tam giác DKL

Bài 5 (Nguyễn Đăng Khoa) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), có đường tròn

A-mixtillinear tâm J tiếp xúc trong với (O) tại D Lấy điểm P khác D bất kì trên (J ) Tiếp tuyến của (J ) tại P cắt đường tròn (O) tại E, F Gọi J1 là điểm liên hợp đẳng giác với J trong tam giác DEF Chứng minh rằng

a) Hai đường thẳng J1P và DJ cắt nhau trên (O)

b) Gọi J2 là điểm liên hợp đẳng giác của J trong tam giác AEF Nếu P nằm trên

AI thì J2A đi qua O