de-thi-hoc-sinh-gioi-lop-9-mon-toan-nam-hoc-2014-20151

Đặt điều kiện rồi đối chiếu hoặc thử lại để kết luận nghiệm... Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.[r]

UBND HUYỆN QUẾ SƠN

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2014-2015

Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG I

Bài 1 (2,0 điểm):

a) Cho

A

Hãy rút gọn: B 1  A x 1  (Với 0 x 1)

b) Cho x32 3 3 2 3 Thực hiện tính 2 3

(x  3) 

Bài 2 (2,0 điểm):

Giải các phương trình sau:

a) x 2 2x 5 + x23 2x 5 = 7 2

b) x4  x2 2014 2014

Bài 3 (2,0 điểm):

Cho đường tròn tâm O và hai điểm B, C thuộc đường tròn Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau ở A M là một điểm thuộc cung nhỏ BC Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt AB, AC theo thứ tự ở D và E BC cắt OD ở I và cắt

OE tại K Chứng minh rằng:

a) DB.DE = DI.DO

b) OM, DK, EI đồng quy

Bài 4 (2,0 điểm):

Cho đường tròn (O, R) đường kính AB Vẽ hai tiếp tuyến Ax và By của đường tròn Gọi M là một điểm tuỳ ý trên cung AB Tiếp tuyến tại M của đường tròn cắt Ax và By theo thứ tự tại C và D

a) Chứng minh: AC.BD = R2

b) Tìm vị trí của M để chu vi tam giác OCD nhỏ nhất

Bài 5 (2,0 điểm):

Cho x là số nguyên Chứng minh rằng:

a) A(x) = x5 – x chia hết cho 5

b) M =

30 6 15 luôn nhận giá trị nguyên.

UBND HUYỆN QUẾ SƠN

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2014-2015

Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG I

Bài 1 (2,0 điểm):

x( x 1)(x x 1) x( x 1)(x x 1) A

0,25

3

x  4 3( 2 3  2 3) 2 3 2 3 4 3x  0,50

Từ x3 = 4 + 3x được: x3 – 3x = 4  (x3 – 3x)3 = 43  x3(x2 – 3)3 = 43 =64 0,25

Thay được

3 2 3

3



Bài 2(2,0 điểm): Giải các phương trình sau:

Nhân hai vế với 2 được: 2x 4 2 2x 5   + 2x 4 6 2x 5 14    0,25

 2x 5 1  2

2x 5 1   2x 5 3 14    2x 5 5  0,25

x = 15 Đặt điều kiện rồi đối chiếu hoặc thử lại để kết luận nghiệm 0,25

Cộng hai vế với x

2 1 4



4 2 1 2 2014 2 2014 1

0,25

2 1 2 2014 1









0,25

x2 1 x2 2014 1

 x2  x2 2014 PT vô nghiệm do VT0;

0,25

VP <0.

x2 1 x2 2014 1 x2 1 x2 2014 x4 x2 2013 0

Giải phương trình được nghiệm: x1 x2

0,25

Bài 3 (2,0 điểm):

K

I

E

D A

O B

C M

Hai tam giác DBI và DOE có:

sđ DBI= sđ

BC

2 ; sđ DOE sđ

BOC

2 =sđ

BC 2

DBI DOE    DBI đồng dạng DOE

0,50



DB.DE DI.DO

Từ: DBI DOE   và DIB OIK   (Đ.đỉnh)

 IKO IDB  

 Tứ giác DBOK nội tiếp đường tròn

Do DBO = 900 nên DKO = 900 hay DKOE

0,50

OM DE (DE là tiếp tuyến tại M)

Tam giác DOE có OM, DK, EI là các đường cao nên OM, DK, EI đồng quy 0,25

Bài 4(2,0 điểm):

- AC = CM; BD = DM nên AC.BD = MC.MD 0,25

C

D

O

M

- Chứng tỏ được OCD vuông tại O 0,25

Đặt AC = x; BD = y có:

OC = x2R2 ; OD = y2R2

CV= OC+OD+CD = x2R2 + y2R2 + x+y

0,25

Do x.y = R2 nên x + y nhỏ nhất khi x = y = R (1) 0,25

Xét A= x2R2 + y2R2

A2 = x2 + y2 + 2R2 + 2 x y2 2R (x2 2y ) R2  4

= x2 + y2 +2R2 + 2 R2R (x2 2y ) R2  4

Để A nhỏ nhất  A2  x2 + y2 nhỏ nhất

x2 + y2  2xy =2R2 Dấu "=" xảy ra khi x = y = R

(2)

0,50

Từ (1) và (2) CV nhỏ nhất khi x = y  M là điểm

chính giữa của cung AB

Lúc đó CV = 2R + 2R 2

0,25

Bài 5(2,0 điểm):

Xét số dư khi chi n cho 5:

n = 5k: n chia hết cho 5 nên n5 – n

n = 5k1: n2 -1 = 25k2 10k + 1-1 = 5(5k2 2k) chia hết cho 5

n = 5k2: n2 +1 = 25k2 20k + 4+1 = 5(5k2 4k+1) chia hết cho 5

Vậy với mọi n Z thì n5 – n chia hết cho 5

0,50

M =

x5 x3 2x x5 5x3 4x

M Z  M(x) = x5 5x34xchia hết cho 30

0,25

M(x) = x5 x 5x35x chia hết cho 5 (1) 0,25

M(x) = x(x4 1 5) x(x2  1) x(x  1)(x1)(x21 5) x(x 1)(x1)

x(x 1)(x 1)(x2 1 5)

Tích ba số nguyên liên tiếp x(x-1)(x+1) chia hết cho 2; 3 và ƯCLN(2,3)=1

nên x(x-1)(x+1) chia hết cho 6  M(x) chia hết cho 6 (2)

0,50

Kết hợp (1), (2) và ƯCLN(5,6) = 1 M(x) chia hết cho 30 hay M nhận giá trị

UBND HUYỆN QUẾ SƠN

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2014-2015

Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG II

Bài 1 (2,0 điểm):

a) Cho a, b, c là ba số dương Chứng minh rằng:

a b a b   ;     

a b c a b c b) Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

a b c b c a c a b a b c          

Bài 2 (2,5 điểm):

a) Cho hàm số y x có đồ thị (P) Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d)  2

có phương trình  y x m cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt A x y ,( ; )1 1 ( ; )B x y2 2

thoả mãn: (x2 x1)4 (y2  y1)4 18

b) Giải hệ phương trình:

1 2

1 2







Bài 3 (2,5 điểm):

Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

AB, CD Trên tia NC lấy điểm G Đường thẳng GM cắt DB tại H và cắt DA tại K

KN cắt AB tại E; NH cắt AB tại F

a) Chứng minh NM là phân giác của góc ENF

b) Khi G là trung điểm của NC Chứng minh GA, DB, KN đồng quy

Bài 4 (2,0 điểm):

Cho tam giác nhọn ABC và O là một điểm nằm trong tam giác Các tia AO,

BO, CO lần lượt cắt BC, AC, AB tại M, N, P Chứng minh:

a) OMAM+ ON

OP

b)

AM BN CP

Bài 5 (1,0 điểm):

Tìm các số nguyên x, y để: x2 23xy 2y2 7

UBND HUYỆN QUẾ SƠN

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2014-2015

Môn: TOÁN

HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG II

Bài 1 (2,0 điểm):

a)



                

Có:  

1

0,50

b) Do a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên a+b-c > 0; b+c-a > 0 0,25

Áp dụng a) có:

a b c b c a 2b      ;

Tương tự:

a b c c a b 2a      ;      

a b c c a b 2a

0,50

Cộng được:

2



a b c b c a c a b a b c          

0,25

Bài 2 (2,5 điểm):

Các điểmA x y( ; ), ( ; ) 1 1 B x y2 2 thuộc (d) và thuộc (P) nên x1; x2 là hai nghiệm của

phương trình: x2  x m  x2  x m  0 (1) 0,25 Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi (1) có hai

nghiệm phân biệt

   1 4m 0

1 4



0,25

Các điểm A x y( ; ), ( ; ) 1 1 B x y2 2 thuộc (d) nên y1 x1 m y, 2 x2 m

Thay vào: (x1  x2 )4 (y1  y2 )4  18 được:

0,50

Theo định lí Viet x1 x2  1, x x1 2 m Ta có

(1+4m)2 = 9

+ Tìm được

1 1 2









m m

Đối chiếu ĐK kết luận m =

1

Trừ được: x – y3 3 2 x – y – 2 x – y 2 2   

x – y x xy y 2 x – y x y – 2

x – y x xy y – 2 x y 4 0

2 2  

x y

x xy y – 2 x y 4=0





 



0,25

Với x = y: x3 + 1 = 2(x2 – x + y)

x3 – 2x2 + 1 = 0

(x – 1) (x2 - x - 1) = 0

Giải được x1 = 1; x2 =

2



; x3 =

2



Nghiệm của hệ là:

x

; y

1 1











x

; y











 



2

2

x y











 



2

2

0,50

Với: x2  xy y – 2 x y 4=0 2    

x 2xy 2y – 4 x y =0

PT vô nghiệm do VT luôn lớn hơn 0

0,50

Bài 3 (2,5 điểm):

Nối NA, NB Chứng minh được AND

=BNC  NA = NB  NAB cân 

MN  AB

Có: ME/GN = KM/KG (EM//GN)

KM/KG = AM/DG

 ME/GN = AM/DG

MF/NG = HM/HG

HM/HG = MB/DG

 MF/NG = MB/DG

Mà MA = MB nên ME/GN = MF/GN

ME=MF

Tam giác ENF có NM vừa là đường cao

vừa là trung tuyến nên NM là phân giác

của ENF

0,50

0,25

0,25

0,25

F E

H

N

M

C D

K

Từ DN = 2NG chứng minh được AE = 2EM

Gọi I là giao điểm của EN và DB Có IE/IN = EB/DN = 4EM/DN

Gọi J là giao điểm của AG và EN, Có JE/JN=AE/NG = 2EM/NG = 4EM/DN

 IE/IN =JE/JN  I  J hay GA, DB, KN đồng quy

0,25 0,25 0,25 0,25

Bài 4 (2,0 điểm):

K H

M

A

O

Lần lượt hạ AH, OK vuông góc với BC Có:

OM OK

Lại có

OBC ABC

S OK

AH S nên OBCABC

S OM

Tương tự:

OAC BAC

S ON

S OP

Cộng được:

OBC OCA OAB ABC ABC ABC ABC ABC

a+

1

b+

1

c ≥

9

a b c

Có:

AM BN CP

AM BN CP

=(

AM BN CP

OM ON OP

0,50

Bài 5 (1,0 điểm):

Đưa về phương trình tích

(x y)( x y)

0,50

Lập và giải các hệ phương trình:

Giải được nghiệm: (3; -1); (-3; 1)

0,50