SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính ...

Để giúp học sinh làm tốt dạng toán: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau Đặc biệt là trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 7, nên tôi đã mạnh dạn trình bày một đề tài man[r]

PHẦN A: ĐẶT VẤN ĐỀ

1 TÊN ĐỀ TÀI:

Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

2 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Toán học là môn khoa học nó có vai trò khá quan trọng

trong việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh Toán học giúp chúng ta có cái nhìn tổng quát hơn, suy luận chặt chẽ lô gíc Học tốt môn toán giúp các em học tốt các môn học khác Do đó mỗi em học sinh cần học phải học tập tốt bộ môn toán

Đại số là môn học mới đối với học sinh lớp 7 Các em còn có nhiều bỡ ngỡ, Giải bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau được vận dụng rất nhiều trong chương trình đại số lớp 7, hay gặp trong các vòng thi Violimpic toán trên mạng và thi học sinh giỏi toán hàng năm Dạng toán này rất đa dạng đòi hỏi người học phải có tư duy sáng tạo, phân tích tổng hợp và biết vận dụng kiến thức

đã học mới có thể giải được

Để giúp học sinh làm tốt dạng toán: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau Đặc biệt là trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 7, nên tôi đã

mạnh dạn trình bày một đề tài mang tính kinh nghiệm “Hướng dẫn học sinh lớp

7 giải một số bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau”.

3 PHẠM VI VÀ THỜI GIAN THỰC HIỆN:

- Đề tài này được áp dụng trong việc giảng dạy môn toán, cho học sinh lớp 7

năm học 2019 – 2020

B QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI:

1 KHẢO SÁT THỰC TẾ:

- Học sinh lớp 7B do tôi dạy toán gồm 45 em, nhìn chung các em ngoan, có

ý thức học tập, nhưng do sống ở nông thôn, điều kiện kinh tế chưa khá, bên cạnh

đó một số gia đình chưa quan tâm đúng mức tới việc học tập của các em, các em

có ít sách tham khảo, thời gian học còn ít Do vậy số học sinh giỏi môn toán còn hạn chế

- Qua giảng dạy một số tiết ở học kì I, tôi nhận thấy đa số các em học sinh hiểu bài, nắm vững kiến thức cơ bản và biết vận dụng các kiến thức đó vào làm được hầu hết các bài tập ở sách giáo khoa và sách bài tập Nhưng với đối tượng học sinh khá, giỏi thì không chỉ dừng lại ở đó, mà còn phải làm được các dạng bài tập mở rộng và nâng cao

- Thực tế tôi thấy học sinh chưa có phương pháp giải bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ở dạng khó Khi gặp các bài toán ở dạng này các em thường lúng túng và không biết cách làm

2 SỐ LIỆU ĐIỀU TRA TRƯỚC KHI THỰC HIỆN:

Qua thực tế kiểm tra tôi nhận thấy số học sinh biết cách giải các bài tập

nâng cao ở dạng này rất thấp chỉ khoảng 13% Trước tình hình học sinh như trên tôi đã có kế hoạch xây dựng một chuyên đề: “Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau”

Trước khi thực hiên đề tài

Số lượng Tỉ lệ % Giỏi 1 2,2%

Khá 5 11,1%

TB 24 53,4%

Dưới TB 15 33,3%

3 NHỮNG BIỆN PHÁP THỰC HIỆN:

Qua kinh nghiệm giảng dạy và được sự giúp đỡ của đồng nghiệp, thông qua một số tư liệu tham khảo nhắc lại một số cơ sở lý thuyết và giải quyết một số bài tập ở một số dạng, nhằm giúp các em thấy được sự bổ ích và đạt được kết quả tốt khi học chuyên đề này

Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau theo các dạng chính sau:

- Dạng I: Tìm các giá trị của biến trong các tỉ lệ thức

- Dạng II: Chia tỉ lệ

- Dạng III: Chứng minh tỉ lệ thức

Dạng I: Tìm các giá trị của biến trong các tỉ lệ thức.

* Tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

- Tính chất: Ta luôn có

a c a c a c

b d b d b d

- Tính chất mở rộng:

a c e a c e ma nc pe

b d f b d f mb nd pf

(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

Ví dụ 1: Tìm x, y biết

2 3

x y



và x y 20

Giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

20 4

x y x y x y



4 2.4 8

2

4 3.4 12

3

y

Vậy: x  8; y 12.

Ví dụ 2: Tìm x, y biết.

x : 3     y : 5

và y x   24

Phân tích đề bài: Ta phải viết tỉ lệ thức dưới dạng dãy tỉ số bằng nhau.

Giải:

Từ: : 3   : 5

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

24

3

y x y x

3 5 3   15

5

x

      

3 3 3   9

3

y

     

 Vậy: x 15; y  9.

Ví dụ 3: Tìm x, y, z biết 8 12 15

và x y z    10

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

10 2

8 12 15 8 12 15 5

x y z x y z 

   x8.2 16

y 12.2 24

z 15.2 30

Vậy: x 16; y 24; z 30.

Nhận xét: Ơ ví dụ 1 và ví dụ 3 ta áp dụng ngay được tính chất dãy tỉ số bằng

nhau Trong thực tế nhiều bài tập phải qua quá trình biến đổi mới có thể đưa được về dạng để áp dụng được tính chất dãy tỉ số bằng nhau Sau đây là một số dạng và cách biến đổi

Ví dụ 4: Tìm x, y, z biết 2 3 4

x y z

 

và 2 x  3 y z   34

Phân tích đề bài: Để áp dụng được tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta phải biến

đổi dãy tỉ số sao cho hệ số của x, y, z ở các tử của dãy tỉ số bằng hệ số của x, y,

z trong đẳng thức, bằng cách áp dụng tính chất cơ bản của phân số Cụ thể nhân

cả tử và mẫu của tỉ số 2

x

với 2 và nhân cả tử và mẫu của tỉ số 3

y

với 3 rồi áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm x, y z

Giải:

Ta có:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

2

x y z x y z

 

2 2.2 4

2

x

2 3.2 6

3

y

2 4.2 8

4

z

Vậy: x 4; y 6; z  8.

Ví dụ 5: Tìm x, y, z biết

x y z

và x 2y3z14

Phân tích đề bài: Cách làm giống ví dụ 4

Giải:

Ta có:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

x y z x  y  z

2 3 6 14 6

1

x y z 

1

2

x



2

3

y



3

4

z



Vậy: x 3; y 5; z 7

Nhận xét: Ở bài này ta còn có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ.

Ví dụ 6: Tìm x, y biết 7x9y và 10x 8y68

Phân tích đề bài: Ta viết đẳng thức 7x9y về dạng dãy tỉ số bằng nhau sau đó vận dụng cách làm ở ví 4

Giải:

Từ:

x y   

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

2

90 56 90 56 34



2 9.2 18

9

x

2 7.2 14

7

y

Vậy: x 18; y 14.

Ví dụ 7: Tìm x, y, z biết.2x3y 4z và x y z  169

Phân tích đề bài: Ta đưa dãy đẳng thức 2x3y 4z về dạng dãy tỉ số bằng nhau sao cho hệ số của x, y, z trong dãy tỉ số bằng nhau bằng bằng 1

Cách làm chia các tích cho 12 [ vì: BCNN2;3; 4 12

] sau đó làm như ví dụ 3

Giải:

Từ:

12 12 12 6 4 3

x y z     

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

169

13

6 4 3 6 4 3 13

x y z x y z 

 

13 6.13 78

6

x

13 4.13 52

4

y

13 3.13 39

3

z

Vậy: x 78; y 52; z  39.

Ví dụ 8: Tìm x, y biết 4 7

x y



và x y  112

Phân tích đề bài: Để áp dụng được tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta phải biến

đổi dãy tỉ số bằng nhau làm xuất hiện tích x.y bằng cách lập luận để chứng tỏ 0

x  rồi nhân hai vế của hai tỉ số 4 7

x y

 với x Thay x y  112 vào rồi tính

Giải:

Vì x y 112 x0 Nhân cả hai vế của 4 7

x y

 với x ta được:

16

x xy

2

4

x

Nếu

112

8

x    y   y   y 

 Nếu

112

8

Vậy: x 8; y 14 hoặc x 8; y 14

Nhận xét: Ở bài này ta còn có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ.

Ví dụ 9: Tìm x, y, z biết 2 3

x y



; 2 3

y z



và x 2y3z 19

Phân tích đề bài: Đưa hai dãy tỉ số 2 3

x y



; 2 3

y z



về một dãy ba tỉ số bằng nhau bằng cách biến đổi y ở hai dãy tỉ số về cùng mẫu sau đó làm giống ví dụ 4

Giải:

4 6 9 4 12 27



   







Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

1

4 12 27 4 12 27 19

 

1 4.1 4

4

x

x

1 6.1 6

6

y

9 1 9.1 9

z

Vậy: x 4; y 6; z 9

Ví dụ 10: Tìm x, y, z biết 3 4 5

x y z

và 2x2 2y2 3z2 100

Phân tích đề bài: Để áp dụng được tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta phải biến

đổi dãy tỉ số bằng nhau làm xuất hiện x y z2; ;2 2 bằng cách bình phương các tỉ số sau đó làm giống ví dụ 4

Giải:

Từ:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

4

 x2 9.4 36  x6

y2 16.4 64  y 8

z2 25.4 100  z 10

Từ 3 4 5

x y z

 

 x, y, z cùng dấu Vậy: x6;y8;z 10 Hoặc x6;y 8;z10

Ví dụ 11: Tìm x, y, z biết 2 3

x y



; 4 9

x z



(1) và x3 y3 z3 1009

Phân tích đề bài: Đưa hai dãy tỉ số 2 3

x y



; 4 9

x z



về một dãy ba tỉ số bằng nhau giống ví dụ 8 rồi lập phương các tỉ số để xuất hiện x y z3; ;3 3 sau đó áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm x, y, z

Giải:

Ta có: 2 3 4 6

4 6 9 64 216 729

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

1

64 216 729 64 216 729 1009

 x3 64 1  64 x4

y3 216 1  216 y 6

z3 729 1  729 z 9

Vậy: x 4; y 6 và z 9

Ví dụ 12: Cho

a b c

b  c a và a b c    0; a 2012 Tính: b, c.

Phân tích đề bài: Vì a b c    0 ta áp dụng ngay tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm giá trị của dãy tỉ số này rồi từ đó tìm ra giá trị của a, b, c

Giải:

Vì a b c    0

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

a b c a b c 1

 

 

Mà a 2012  b2012

b2012 c2012

Vậy: a b c  2012

Ví dụ 13: Cho ba tỉ số bằng nhau

b c a c a b khi a b c    0 Tính giá trị mỗi tỉ số đó

Phân tích đề bài: Vì a b c  0 nên không thể áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau với ba tỉ số Ta chỉ có thể áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau với hai tỉ số

Giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

a b a b 1

b c a c b c



a c a b c b



Vậy mỗi tỉ số đã cho bằng có giá trị bằng -1

Ví dụ 14: Tìm x biết.

x

 1

Phân tích đề bài: Ta nhận thấy tử số của tỉ số thứ ba bằng tổng hai tử số của hai

tỉ số đầu do đó, áp dung tính chất dãy tỉ số bằng nhau của hai tỉ số đầu để tìm x

Giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

x y x y

 2

Từ  1 và  2  6x12

 x2

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Tìm x, y biết.

a) 6 9

x y



và x y 30 b) 19 21



và 2x y 34 c) 4 5

x y



và x y . 180 d) x y : 4 : 5 và x y . 5

e) 2 4

x y



và x y 2. 2 4 f) 2 4

x y



và x y 4. 4 16 Bài 2: Tìm x, y, z biết.

a) 2 3 4

x y z

và x y z  9

b) 4 3 9

x y z

và x 3y4z 62

c) 10 6 21

 

và 5x y  2z 28

d)

và x y z  49

e)

9 7

x

y  ;

7 3

y

z  và x y z  15 f) 2 3 5

x y z

 

và x y z  . 810 Bài 3: Tìm x, y, z biết.

a)

7 20

x

y  ;

5 8

y

z  và 2x5y 2z100

b)

x y z

và 2x3y z 50

c)

12 15 20 12 15 20

và x y z  48

Bài 4: Tìm các số t t1 , , , 2 t9 biết

và t1 t2  t9  90

Dạng II: Chia tỉ lệ.

I - Chú ý:

1) x, y, z tỉ lệ thuận với a, b, c  x y z a b c: :  : : ( Hay

x y z

a b c )

2) x, y, z tỉ lệ nghịch với a, b, c

1 1 1 : : : :

x y z

a b c

( Hay ax by cz  )

II – Bài tập:

Ví dụ 1: Chu vi của hình chữ nhật bằng 28 dm Tính độ dài mỗi cạnh, biết rằng

chúng tỉ lệ với 3; 4

Phân tích đề bài: Trong hình chữ nhật có hai kích thước là chiều dài và chiều

rộng (còn được gọi là hai cạnh của hình chữ nhật) chiều rộng thì ngắn hơn chiều dài Hai cạnh của chúng tỉ lệ với 3; 4 vậy cạnh ngắn tỉ lệ với 3 còn cạnh dài tỉ lệ với 4

Nếu gọi hai cạnh của hình chữ nhật là a và b 0 a b   Vì hai cạnh hình chữ nhật ti lệ với 3 và 4 nên ta có: 3 4

a b

 Chu vi hình chữ nhật là 2 a b   nên ta có: 2a b  28 a b 14

Như vậy ta đã đưa bài toán về dạng bài áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Giải:

Gọi hai cạnh của hình chữ nhật là a và b 0 a b  

Theo bài ra ta có: 3 4

a b



và 2a b  28

Từ 2a b  28 a b 24

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

14 2

a b a b

  a3.2 6 ;  b4.2 8

Vậy độ dài hai cạnh hình chữ nhật là 6cm và 8cm

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có số đo các góc   A B C, , lần lượt tỉ lệ với 1; 2; 3 tính số đo các góc của tam giác ABC

Phân tích đề bài: Ở bài này cho các góc   A B C, , lần lượt tỉ lệ với 1; 2; 3

Vậy ta lấy luôn   A B C, , là số đo ba góc cần tìm

Vì số đo các góc   A B C, , lần lượt tỉ lệ với 1; 2; 3 nên ta có:

  

Áp dụng định lí tổng ba góc của một tam ta có: A B C  1800

Giải:

Gọi ba góc trong và góc ngoài của tam giác ABC lần lượt là:   A B C, ,

0 0   A B C, ,  180 0

Theo bài ra ta có:

A B C

và A B C  1800

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

0

180

30

A B C A B C 

   A1.300 300;

B  2.300 600;

C  3.300 900

Vậy số đo ba góc   A B C, , của tam giác ABC lần lượt là: 30 ;60 ;900 0 0

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có các góc A, B, C tỉ lệ với 7: 5: 3 Các góc ngoài

tương ứng tỉ lệ với các số nào

Phân tích đề bài: Nếu gọi ba góc của tam giác ABC lần lượt là:   A B C, ,

Vì ba góc   A B C, , tỉ lệ với 7: 5: 3 nên ta có

A B C

Tổng ba góc của một tam giác bằng 1800 nên ta có: A B C  1800

Từ đó ta tìm được số đo các góc của tam giác,

Mà tổng của góc ngoài và góc trong tại một đỉnh của tam giác bù nhau

Giải:

Gọi ba góc trong và góc ngoài của tam giác ABC lần lượt là:   A B C, , và A B C1 ; ; 1 1 0 0   A B C, ,  180 0

Theo bài ra ta có:

A B C

và A B C  1800

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

0

180

12

A B C A B C 

   A7.120 840  A11800 840 960

B  5.120 600  B1 1800  600 1200

C  3.120 360  C1 1800  360 1440

 A B C1:1:1 96 :120 :1440 0 0 4 : 5 : 6

Vậy các góc ngoài tương ứng tỉ lệ với: 4 : 5 : 6.

Ví dụ 4: Có 16 tờ giấy bạc loại 2000 đồng, 5000 đồng và 10000 đồng, trị giá

mỗi loại tiền trên đều bằng nhau Hỏi mỗi loại có mấy tờ

Phân tích đề bài:

Gọi số tờ tiền loại 2000 đồng, 5000 đồng và 10000 đồng lần lượt là a, b, c

Vì giá trị mỗi loại tiền đều bằng nhau nên ta có: 2000a5000b10000c

Có 16 tờ giấy bạc các loại nên: a b c  16

Giải:

Gọi số tờ tiền của loại 2000 đồng, 5000 đồng và 10000 đồng lần lượt là a, b, c Theo bài ra ta có: 2000a5000b10000c và a b c  16

Từ: 2000 5000 10000

5 2 1

a b c

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

16 2

5 2 1 5 2 1 8

a b c a b c 

   a 5.2 10 ; b 2.2 4 c 1.2 2

Vậy số tiền loại 2000 đồng, 5000 đồng, 10000 đồng lần lượt là 10 tờ, 4 tờ và

2 tờ

Ví dụ 5: Độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2: 3: 4 Hỏi ba chiều cao

tương ứng ba cạnh đó tỉ lệ với số nào

Phân tích đề bài: Nếu gọi ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó là: h h h1, ,2 2.

Vì cạnh và chiều cao tương ứng của một tam giác là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có

3

h

h h

h  h  h   

 h h h1: 2 : 3  6 : 4 : 3

Giải:

Gọi ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó là: h h h1, ,2 3. h h h 1, ,2 3 0 

Theo bài ra ta có: 2 h1  3 h2  4 h3 

3

h

h h

 h h h 1: 2 : 3 6 : 4 : 3

Vậy ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó của tam giác tỉ lệ với 6 : 4 : 3.

Ví dụ 6: Một lớp học có 35 em, sau khảo sát chất lượng số học sinh được xếp

thành ba loại: Giỏi, khá và trung bình Số học sinh giỏi và khá tỉ lệ với 2 và 3, số học sinh khá và trung bình tỉ lệ với 4 và 5 Tính số học sinh mỗi loại

Phân tích đề bài: Nếu gọi số học sinh giỏi, khá, trung bình của lớp đó lần lượt

là: a, b, c a b c N, ,  *

Vì số học sinh giỏi và khá tỉ lệ với 2 và 3 nên ta có: 2 3



Số học sinh khá và trung bình tỉ lệ với 4 và 5 nên ta có: 4 5

b c

 Lớp học có 35 em nên ta có: a b c  35

Giải:

Gọi số học sinh giỏi, Khá trung bình của lớp đó lần lượt là: a, b, c a b c N, ,  *

Theo bài ra ta có: 2 3

a b



; 4 5

b c



và a b c  35

8 12 15

a b a b

a b c

b c b c







Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

35 1

8 12 15 8 12 15 35

a b c a b c 

 a8.1 8 ; b 12.1 12 ; c 15.1 15

Vậy số học sinh giỏi, khá, trung bình của lớp đó lần lượt là: 8 em, 12 em, 15 em

Ví dụ 7: Độ dài các cạnh góc vuông của một tam giac vuông tỉ lệ với 8: 15,

cạnh huyền dài 51cm Tính độ dài hai cạnh góc vuông