SKKN -Rèn kỹ năng giải toán qua baif toán đã có

§ã chÝnh lµ thµnh c«ng cña ngêi thÇy... VËy chØ cßn ph¶i tÝnh hai gãc n÷a lµ BAK vµ BKA..[r]

Phòng giáo dục đào tạo huyện kinh môn Trờng Trung Học Cơ Sở thái thịnh

========

kinh nghiệm :

Rèn kỹ năng giải toán cho học sinh

qua việc mở rộng, khai thác

bài toán đã có

Môn Toán 7

ý kiến đánh giá của nhà trờng

ý kiến đánh giá của phòng giáo dục

Mục lục A/ Đặt vấn đề

I Cơ sở lý luận

II Cơ sở thực tiễn

B/ Giải quyết vấn đề

I Cơ sở lý luận

II Biện pháp thực hiện

III Kết quả thực hiện đề tài

IV Bài học kinh nghiệm

V Phạm vi áp dụng đề tài

VI Hạn chế của đề tài

VII Đề xuất và hớng nghiên cứu tiếp

C/ Kết luận

Tài liệu tham khảo

 Toán và và các chuyên đề Đại số, Hình học 7

 SGK Toán 7

 Toán phát triển Đại số, Hình học 7

 Toán cơ bản và nâng cao Đại số , Hình học 6, 7

 Một số đề thi học sinh giỏi qua các năm

A đặt vấn đề :

I Cơ sở lý luận :

 Dạy học, là tập hợp những hành động liên tiếp của giáo viên

và học sinh Trong đó ngời thầy có vai trò hết sức quan trọng

đó là : Tổ chức, hớng dẫn học sinh tự nắm các kiến thức, kỹ năng, kỹ sảo và phát huy tốt đợc năng lực nhận thức của bản thân, khơi dậy và phát triển năng lực tự học Nhằm hình thành cho học sinh t duy tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao năng

lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào hoạt động thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm tin, hứng thú cho học sinh

 Để làm tốt quá trình đó thì ngời thầy cần có sự hớng dẫn, gợi

mở và dẫn dắt học sinh bằng nhiều con đờng giúp học sinh tự tìm ra kiến thức mới

 Trong quá trình giảng dạy bộ môn Toán 7 ở trờng Trung học cơ

sở và đặc biệt trong công tác bồi dỡng học sinh giỏi toán cấp tr-ờng, cấp huyện, tôi nhận thấy trong việc dạy học Toán, thì việc giải các bài tập toán có vai trò quan trọng và đã từ lâu là một trong những vấn đề trọng tâm của phơng pháp học Toán nh :

 Sử dụng kết quả của bài toán để giải các bài toán khác phức tạp hơn

 Giải bài toán bằng nhiều phơng pháp khác nhau

 Nhìn bài toán dới nhiều góc độ và khai thác triệt để kết quả của bài toán

 Đó là việc làm cần thiết, hữu ích và có hiệu quả Nhng đối với mỗi loại bài tập nói trên, ngời dạy phải định ra cho học sinh h-ớng giải quyết nh thế nào cho phù hợp ở đây tôi chỉ xin đề cập đến một phần của cách giải quyết của hai loại bài tập đầu

đó là : Loại bài tập sử dụng kết quả bài toán cũ để giải bài toán mới; Loại bài tập giải bằng nhiều cách Hai loại bài tập này đòi hỏi học sinh phải biết nhìn nhận và tạo ra các dữ kiện mới từ bài toán cũ Nhng trong thực tế, việc định hớng để xác định xem nên khai thác nh thế nào cho hiệu quả, hợp lý thì học sinh còn gặp nhiều khó khăn và đây là một vấn đề mà giáo viên cần phải hình thành cho học sinh ngay từ lớp 7 để các em phát triển t duy Toán học của mình

II Cơ sở thực tiễn :

 Bản thân tôi là giáo viên dạy bộ môn Toán, trong những năm qua tôi luôn đặt ra cho mình những câu hỏi, những trăn trở về vấn

đề : Làm thế nào để giúp học sinh phát huy cao độ tính tích cực,

độc lập, sáng tạo Tự xây dựng cho bản thân niềm ham mê giải bài tập Toán nói riêng và học Toán nói chung, để từng bớc nâng cao chất lợng học Toán

 Mặc dù kinh nghiệm còn hạn chế, nhng tôi xin mạnh dạn trình bày một số ví dụ cụ thể, khi dạy học sinh lớp 7 làm bài tập Toán

Và đó cũng là lý do mà tôi chọn đề tài “Rèn kỹ năng giải toán

cho học sinh lớp 7 qua việc mở rộng, khai thác bài toán đã có”.

B Giải quyết vấn đề :

I Cơ sở lý luận :

Trong quá trình tiếp xúc, trao đổi và trực tiếp giảng dạy bộ môn Toán cho học sinh lớp 7 nói chung và bồi dỡng học sinh giỏi nói riêng, thì tôi thấy tình trạng :

 Số học sinh có học lực trung bình và yếu còn là vấn đề nan giải, đa số các em lời làm bài tập, ngại đọc sách nâng cao Nhìn chung các em cố gắng làm hết bài tập thầy cho và chỉ vừa lòng với một cách giải, ít có học sinh tự tìm ra cho mình nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán Đặc biệt khi gặp bài tập tơng tự các em còn gặp nhiều khó khăn trong việc giải bài toán đó

 Còn đối với ngời thầy, nặng về số lợng bài chữa, cha quan tâm nhiều tới việc mở rộng, phát triển bài toán đã giải Hơn nữa cha đầu t nhiều về thời gian cho việc nghiên cứu, tìm tòi phơng pháp dạy và cách giải cho những bài toán khó

II Biện pháp thực hiện :

 Để đạt đợc kết quả tốt trong công tác giảng dạy học sinh nói chung, học sinh giỏi nói riêng và đặc biệt là trong thời kỳ đổi mới chơng trình SGK các khối lớp (đã làm đối với lớp 6,7), thì ngời thầy giáo trớc hết phải có sự chuẩn bị chu đáo cho bản thân mình về hành trang, kiến thức khi lên lớp, phơng pháp giảng dạy phù hợp đối với từng đối tợng học sinh Các bài tập đa ra cho học sinh cần đợc chọn lọc, bài dễ chuẩn bị kiến thức cho bài khó, bài trớc gợi ý cho bài sau

 Tôi thiết nghĩ : “Lời nói gió bay” Muốn lời nói không tựa gió bay thì :

“Nói đi phải đôi với làm” Để chứng minh cho lời nói trên tôi xin đa ra một số loại bài toán sau :

Loại I : Sử dụng kết quả của bài toán để giải các bài toán phức tạp hơn.

1 Bài toán 1 :

Trong các số sau, số nào là số nguyên tố, số nào là hợp số ?

51 ; 53 ; 67 ; 69 ; 87 ; 91 ; 99

 ở bài toán này, đối với học sinh lớp 7 không có gì khó khăn và đặc biệt học sinh lớp 7 hiện nay, các em đợc tiếp xúc với những kiến thức cực kỳ chắt lọc từ sự đổi mới của nội dung, chơng trình SGK Do đó các em chỉ cần

sử dụng dấu hiệu chia hết là tìm đợc các số nguyên tố và hợp số

 Tuy nhiên cần khắc sâu cho học sinh bản chất số nguyên tố và vấn đề nảy sinh là số P phải xét đợc cho bằng biểu thức đại số thì cách giải sẽ nh thế nào ?

Vậy yêu cầu học sinh giải bài toán sau :

 Bài toán 11

Tìm tất cả các số tự nhiên x để P (x) = (x-1)(x+5) là số nguyên tố.

 Đối với bài toán này, trớc hết yêu cầu học sinh tìm các ớc của P (x), khi

học sinh đã tìm đợc các ớc của P (x) rồi ta yêu cầu học sinh tìm tiếp các điều

kiện để P (x) là số nguyên tố

Lời giải :

Rõ ràng để P (x) là số nguyên tố thì :

x-1 = 1 hoặc x+5 = 1

Ta tìm đợc x = 2 hoặc x = -4

Vì x N nên giá trị x = -4 không thoả mãn điều kiện đầu bài Với x=2 => P (x) = 1.(2+5) = 7 là số nguyên tố

Vậy với x=2 thì P (x) = (x-1)(x+5) là số nguyên tố.

Qua bài toán này học sinh hoàn toàn có thể giải đợc loại bài tập : Tìm“

x N để P (x) = A (x) B (x) là số nguyên tố Với A (x) ,B (x) là 2 đa thức có hệ

số nguyên.”

Thực chất là ta phải tìm x để : A (x) = 1

hoặc B (x) = 1

Để tạo ra tình huống mới, ta cho học sinh giải bài toán mà số P phải xét

là một đa thức với hệ số nguyên

 Bài toán 12 :

Tìm tất cả các số tự nhiên x để P (x) = x 2 + 4x – 5 là số nguyên tố.

Bớc đầu học sinh tởng rằng đây là một loại bài toán mới, song nếu

ta gợi ý để cho học sinh viết P (x) dới dạng : P (x) = A (x) B (x) thì bài toán trở

lên đơn giản (Bài toán 1.1 - đã giải)

Sau khi giải xong bài tập này học sinh sẽ đa ra đợc phơng pháp

chung để giải loại bài tập : Tìm x“ N để một đa thức f(x) với hệ số nguyên là số nguyên tố.”

Ta có thể làm theo các bớc :

B

ớc 1 : Viết f(x) = A (x) B (x)

B

ớc 2 : Tìm x để A (x) = 1 hoặc B (x) = 1

2 Bài toán 2 : Chứng minh rằng :

Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3.

 Đây là một bài toán số học rất quen thuộc với học sinh cấp 2

 Sau khi học sinh giải xong bài này chúng ta đa ra bài toán sau :

 Bài toán 21 :

Đây chính là Bài toán 2 đợc đa ra với hình thức khác Để học sinh

thấy đợc điều này, giáo viên chỉ cần hớng dẫn học sinh biến đổi

(a 3– a) dới dạng tích

Ta có : (a 3– a) = a (a 2– 1) = (a - 1).a.(a + 1)

Nhận thấy (a - 1).a.(a + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên nó

chia hết cho 3

Từ đó suy ra : (a 3– a) ⋮ 3

Tiếp đó ta đa thêm bài toán sau :

 Bài toán 22 :

Bài toán này thực chất cũng là Bài toán 2 Để thấy đợc điều này, chúng

ta hớng dẫn học sinh biến đổi :

a 3 b – ab 3 = (a 3 b – ab) - (ab 3 - ab)

Ta có (a – 1).a.(a + 1) và (b – 1).b.(b + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp, nên chúng chia hết cho 3

Vậy (a 3 b – ab 3 ) ⋮ 3

Tiếp tục đa ra bài toán sau :

 Bài toán 23 :

Chứng minh rằng :

(Với a 1 , a 2 ,a 3 , … , a n là các số tự nhiên) Điều ngợc lại có đúng không.

Bài toán này cũng thực chất là Bài toán 2, nếu nh học sinh thấy đợc:

B – A = (a 1 – a 1 ) + (a 2 – a 2 ) + … + (a n – a n )

Theo Bài toán 2 2 thì các hiệu a i 3 – a i với (i = 1 .n ) là tích của

3 số tự nhiên liên tiếp Do đó (a i 3– a i ) ⋮ 3 với (i = 1 .n )

Từ đó suy ra (B – A) ⋮ 3.

Do vậy : nếu A ⋮ 3 (hoặc B ⋮ 3) thì B ⋮ 3 (hoặc A ⋮ 3)

Không dừng lại ở đây mà tiếp tục đa ra cho học sinh bài toán sau :

 Bài toán 24 :

Chứng minh rằng : Nếu p là số nguyên lẻ, không chia hết cho 3

và |p| >5 thì : (p 2 - 1) ⋮ 24

Đây là bài toán tuy không thực chất là bài toán 2 nhng nó lại gần

gũi với Bài toán 2, chúng ta có thể hớng dẫn cho học sinh thấy đợc điều

này qua việc biến đổi sau :

Bài giải :

Vì p là số nguyên lẻ => (p – 1)(p + 1) là tích của hai số chẵn liên tiếp

Do đó (p 2– 1) ⋮ 8 (1)

Mặt khác p lẻ và p ⋮ 3 nên (p,3) = 1

Mà (p-1).p.(p+1) ⋮ 3 (theo bài toán 2)

Từ đó suy ra (p-1)(p+1) ⋮ 3 hay (p 2– 1) ⋮ 3 (2)

Do (3,8) = 1 và từ (1) và (2) suy ra (p 2– 1) ⋮ 24

Tiếp tục, giáo viên cho học sinh giải bài toán tiếp theo

 Bài toán 25 :

(với n là số tự nhiên lớn hơn 2)

Đây là một bài toán khó, song nếu học sinh thấy đợc cội nguồn

của nó chính là Bài toán 2 thì có thể đọc ngay đợc lời giải của nó.

Ta có thể hớng dẫn học sinh giải nh sau :

Bài giải :

Ta có (2 n – 1).2 n (2 n + 1) ⋮ 3

Mà (2,3) = 1 suy ra (2 n ,3) = 1 và với n >2

Thì 2 n – 1>3 do đó với 2 n – là số nguyên tố thì (2 1 n – 1;3)

= 1

Từ đó suy ra (2 n + 1) ⋮ 3 mà 2 n + 1>3

Do đó 3 là ớc thực sự của 2 n + 1.

Vậy 2 n + 1 là hợp số.

Một loạt các bài toán mà chúng ta xét ở ví dụ trên tuy hình thức có khác nhau, song giữa chúng có mối quan hệ chặt chẽ, vì chúng đều có từ một nguồn gốc, từ một bài toán đơn giản “Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3” bằng cách đa ra một loạt các bài tập nh vậy, chúng ta không những tạo ra một bầu không khí say mê học tập, phát huy đợc tính tích cực của các em mà còn có tác dụng rèn cho học sinh có con mắt nhạy cảm toán học, có khả năng tìm ra lời giải của bài toán thông qua việc phân tích các mối liên hệ giữa các bài toán đó với những bài toán khác mà các em đã biết

Loại 2 : Rèn cho học sinh có thói quen giải bài toán

bằng nhiều cách khác nhau Một bài toán thờng có nhiều cách giải khác nhau và đặc biệt là đối với các em học sinh giỏi Sau khi giúp học sinh tìm đợc lời giải của một bài toán, chúng ta hớng dẫn các em suy nghĩ tìm đợc lời giải của một bài toán theo các cách khác Đây là một hoạt động trí tuệ có tác dụng rất lớn trong việc giúp học sinh vận dụng các thao tác t duy nh phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tợng hoá, khái quát hoá, … đồng thời rèn cho học sinh các phẩm chất của trí tuệ nh sự linh hoạt, độc lập sáng tạo Để cụ thể vấn

đề này chúng ta xét các ví dụ sau :

3 Bài toán 1 :

cạnh AB lấy điểm E sao cho AE = BC Tính số đo góc ACE ?

 Đây là một bài toán Hình học lớp 7 mà qua thực tế giảng dạy ta thấy, đại đa số học sinh ngại làm bài tập Hình Bởi vì : Hình học khó hơn

Đại số giờng nh đã “ăn sâu” vào tâm trí của mỗi học sinh kể cả các em học sinh giỏi Để khắc phục điều đó thì giáo viên phải hớng dẫn các em trớc hết phải nắm vững lý thuyết, sau đó tìm tòi, vẽ hình và phân tích đề bài để tìm hớng giải quyết bài toán bằng nhiều con đờng Cụ thể nh sau :

 Phân tích :

Trớc tiên để học sinh tự suy nghĩ, tìm kiếm cách giải

giáo viên có thể gợi ý cho các em đi tìm

mối liên hệ giữa các góc của tam giác ABC.

Có thể các em sẽ phát hiện thấy (hoặc E

giáo viên chỉ ra ) tam giác cân ABC

đã cho có các góc 800, 800, 200

Mà 800 - 200 = 600 chính là

góc của tam giác đều

Từ đó hớng dẫn học sinh thử đi vẽ thêm một tam giác đều nào đó, xem có nhận thấy điều gì không ?

A Từ sự gợi ý trên, trong lớp bồi

dỡng học sinh giỏi của tôi, đa số các

em đều làm nh sau :

E Vẽ BDC đều nằm trong ABC để tạo ra DCA = ^A = 200

D Khi đó EAC = DCA (c.g.c)

=> ACE = DAC = 1

2BAC = 100.

Vẽ ADE đều nằm ngoài

ABC, tạo ra DAC = B^ = 800 D

=> CD = CA

Do đó CEA = CED (c.g.c)

=> C^1=^C2= 1

2DCA =

1

2BAC = 100.

Sau khi phân tích, hớng dẫn các em làm hai cách trên, tôi đã hớng dẫn các

em thêm cách sau :

 Cách 3 :

A

Vẽ DAC đều nằm ngoài ABC, tạo ra EAD =B= 800

E D Khi đó : AED = BCA (c.g.c)

=> DE = AC và ^D1=^A1= 20 0

Vậy DEC cân tại D có góc ở đỉnh ^D2=60 0−200 =40 0

=> góc đáy ECD = (1800 – 400):2 = 700

B C Do đó ECA = 700 – 600 = 100

 Cách 4 :

Vẽ ABD đều (D, C nằm cùng phía A

đối với AB) tạo ra góc CBD = ^A =

200

Khi đó : CBD = EAC (c.g.c) E

=> ^D1=^C1

D

Dễ thấy ADC cân tại A có góc ở

đỉnh

1

=> góc đáy ADC = (1800 – 400):2 = 700 B C

Mà ^D2=60 0 (góc tam giác đều) => ^D1 = 700 – 600 = 100

Vậy ECA = 100

Nh vậy qua ví dụ này, bớc đầu các em đã biết tính số đo góc trong một tam giác (Loại bài tập coi là hắc búa nhất trong Hình học) bằng phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong tam giác để giải quyết (Vẽ tam giác đều) và cách triển khai

ph-ơng hớng đó Tuy nhiên, để tiếp tục hình thành cho học sinh kỹ năng vẽ thêm tam giác đều, giáo viên cần hớng dẫn các em giải tiếp các ví dụ sau :

4 Bài toán 2 :

Cho tam giác ABC vuông cân ở A và điểm I nằm trong tam

 Phân tích : B

Cũng nh ở ví dụ 1 Nhng ở ví dụ này

các em sẽ sớm phát hiện thấy

BAI = 750, IAC = 150

Mà 750 – 150 = 600 là góc của tam giác đều

( Cũng có thể Nhận xét góc BCA=450 I

ICA = 150 và 450 + 150 = 600) A C

 Còn đối với những em cha xác định đợc điều gì, ta cũng gợi ý, hớng dẫn các em đi tính số đo các góc trong bài rồi tìm mối liên quan giữa các góc đó

Từ đó có thể hớng dẫn các em các cách vẽ tam giác đều nh sau :

Bài giải : Cách 1 :

B Vẽ AKI đều nằm trong ABI, tạo ra

BAK = IAC = 150

Khi đó BAK = CAI (c.g.c), dẫn đến

ABK cân tại K và có góc đáy bằng 150

K => ^K1=180 0−2 150 =150 0

Mà AKI = 600

I =>

2

A C Vậy AKB = IKB (c.g.c)

=> BIK = BAK = 150

Vậy AIB = 150 + 600 = 750

 Cách 2 :

B

Vẽ CKI đều nằm phía ngoài

ACI, tạo ra ACK = BAI = 750

Khi đó KCA = AIB (c.g.c) K

=> AIB = AKC

Lại có ^I1 =1800− 2 150=1500

^I2=60 0 I

Do đó AIC = AIK (c.g.c) A C

=> AKI = ACI = 150

Vậy ACK ¿150+600=750 => AIB = 750

Cách 3 :

Vẽ AKB đều nằm (K, C nằm cùng

B phía đối với AB), tạo ra IAK = IAC =150

Khi đó IAC = IAK (c.g.c) => IC = IK Vậy ABI = KBI (c.c.c)

K => ABI = KBI = 1

2 AKB =

1

2 600 =

300

Nh vậy BAI có : ABI = 300, BAI = 750

=> AIB ¿ 180 0−(750

+ 30 0 )=75 0

I (Hoặc AKC cân tại A có góc ở đỉnh

A C bằng 300 => góc ở đáy)

ACK = AKC ¿ (1800−300) :2=750 ;

Mà ICA = 150 => ICK = 600

Vậy ICK đều => KC = IC = IA

=> ABI = CAK (c.g.c)