Download ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHÓI 11 MÔN TOÁN

Lưu ý: Học sinh có cách làm khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa câu đó..[r]

TRƯỜNG THPT YJUT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHÓI 11 NĂM HỌC 2012-2013

TỔ TOÁN (Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề)

Bài 1(4đ): cho n số : a a a a1, , , , 2 3 4 a  n 0;1

Chứng minh rằng:

(1a1a2a3a4 a n)2 4(a12a22a32 a42 a2n)

Bài 2(4đ):Giải phương trình :

2

Bài 3(4đ): Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong khai triển (1x)ncó hai hệ số liên tiếp có tỉ số là

7 15

Bài 4(4đ): Cho hình vuông ABCD, H là trung điểm của AB, K là trung điểm của AD Trên đường thẳng vuông

góc với (ABCD) lấy điểm S khác H CMR:

a) AC(SHK)

b) Tính góc gữa CK với mặt phẳng (SDH)

Bài 5(4đ)

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a vàB BA B BC' ' ABC600

Chứng minh A’B’CD là hình vuông

HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 2012 – 2013.

Bài 1

(4đ)

Xét tam thức

f x x  a a a a  a x a a a a  a

Ta có

(1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

Mặt khác a a a a1, , , , 2 3 4 a  n 0;1

nên

1 1

2 2

3 3

( 1) 0 ( 1) 0 ( 1) 0 (1) 0

( 1) 0

a a

a a

a a

 











 



Mà f(0)a12a22a32a42 a n2  0 f(1) (0) 0f 

Do đó phương trình f(x)=0 có nghiệm trên 0;1vậy

0,5

0,5 0.5

0.5 0.5

0.5 0.5 0.5

Bài 2

(4đ)

3

2 3

2

3

2

3

2

c x

c x c x

x x











12

0

x 

Ta nhận thấy

2012

2012 2012 2012

3

2

2

x x R











Vậy pt(2) vô nghiệm

Phương trình có nghiệm là: x 4 k 2(k Z)

0.5

0.5

0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5

1 1 1 1

Bài 3

(4đ)

0

(1 )n n k k

n k



số hạng liên tiếp là C C n k; n k1

ta có 1

k n k n



Do n k , ¥ đặt

1 7

k

t 

khi đó n22 1t đế n là số nguyên dương bé nhất thì t cũng phải là số nguyên dương bé nhất vì k 0nên

1

7

t   t  t

(vì t là

số nguyên dương bé nhất) vậy n 22.1 1 21 

Bài 4:

(4đ)

I

S

H

K

a) Cm: AC(SHK)

Vì H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD nên HK là đường trung bình của tam giác ABD nên HK//BD mà ACBD HK AC(1)

Mặt khác SH (ABCD) SH AC(2)từ (1);(2) ta có AC(SHK)

b) Tính góc gữa CK với mặt phẳng (SDH)

Ta có CDK DAH c g c( ) CKD DHA· ·

mà

HDA DHA   CKD HDA   KID CKDH I hay

CK DH(1)mặt khác

SH  ABCD  SH CK từ (1); (2) ta có CK (SDH) hay góc giữa CK và mặt phẳng (SDH) bằng 900

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5 0.5 0.5

Bài 5:

(4đ)

D A

Theo giả thiết ta có tứ giác A’B’CD là hình thoi

'

CB CD BB BC BA BB BA BC BA a a a a

CB CD

uuuruuur uuur uuur uur uuuruuur uuur uur

Hay A’B’CD là hình vuông

1 1 1 1

Lưu ý: Học sinh có cách làm khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa câu đó.