GIẢI TOÁN LƯỢNG GIÁC 11 NÂNG CAO (LÊ HỮU TRÍ - LÊ HÔNG ĐỨC)

SÁCH DO LÊ HỮU TRÍ - LÊ HÔNG ĐỨC BIÊN SOẠN CỦA NXB ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘIGỒM HAI CHƯƠNG :CHƯƠNG 1 : CÁC DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCCHƯƠNG 2:CÁC DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

* LÊ HỮU TRÍ -LÊHỒNG ĐỨC

|: "GIẢI TOÁN LƯỢNG GIÁC -

'NÂNG CAO

CHUONG I

PHƯƠNG TitÌNH LƯỢNG GIÁC

CHỦ ĐỀ I PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

1.PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BAN

Bài toán 1: Giải và biện luận phương trình:

sinx =m

PHUONG PHAP CHUNG

Ta biện luận theo các bước sau:

Bước !: Nếu Iml> 1 phương trình vô nghiệm

Bước 2: Nếu Iml < 1, xét hai khả năng:

Khả năng 1:.Nếu m được biểu diễn qửa sin của góc đặc biệt, giả

sử œ, khi đó phương trình có dạng :

sinx = sina => ,keZ

X=N-Q+2kn + Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua sin của góc đặc

vs biệt, khi đó đặt m = sinơ, ta được:

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

XVídu2: Giải phương trình sin(xsin2x) = 1

Giải

siN(wsin2x) =1 © nsindx = 5 + 2kn ey sindx= + +2k,keZ - (1)

Phuong trinh (1) c6 nghiém khi va chi khi:

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

Bài toán 2: Giải và biện luận phương trình:

cosx =m

PHUONG PHAPCHUNG

Tả biện luận theo các bước sau:

Bước ï: Nêu Iml > 1 phương trình vô nghiệm

Bước 2: Nếu Iml < 1, xét hai trường hợp:

Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua cos của góc đặc biệt, giả sử

œ, khi đó phương trình có dạng :

[x=œ+2kz CosX = cOSừ <> »keZ

|x=-œ+2kn `

Khả năng 2: Nếu m không biểu điễn được qua cos của g6c đặc biệt,

khi đó đặt m = cosœ, ta được:

Ví du 3: Giải các phương trình sau:

„ —a Sin3x=cos2x : b cos(2x— 3 + sin(x+ *) =,

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

Vidu4: Giải phương trình:

(i ae cos{ > cos(x ¬ y= he

Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua tg của góc đặc biệt, khi đó

dat m = tga, ta được:

tgx = tgœ ©> x = œ + ktt, keZ

Trong cả hai trường hợp ta đều kết luận phương trình có một họ nghiệm

Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trìnb:luôn có nghiệm

8

‘Midu §: Giải phương trình:

tel 5 (cosx +sinx)] = 1

© (eosx + sinx) = a + km > cosx + sinx = 1 + 4k, keZ (i)

Phuong trinh (1) có nghiệm khi va chỉ khi:

lI+4kI< 2 pe ug! Fine

cotgx = cotga <> x =a +kz, keZ

Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua cotg của góc đặc biệt, khi đó

đặt m = cotgœ, ta được:

cotgx = cotga => x = œ + kĩ, keZ

Trong cả hai trường hợp ta đều kết luận phương trình có một họ nghiệm

Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình luôn có nghiệm.

Ví duó6: Giải các phương trình sau:

a cotg(= ~x)= ale b cosx = V3 sinx:

cotg(— — x) =colg BGG HRS cogs <=> — —xX= Oe — +km 3

ex=- = — k keZ thoả mãn điều kiện (*)

Vậy phương trình có một họ nghiệm

b Tacó:

'cosx = v3 sinx ©> cotgx = 43 = cotg = x= s + kn, keZ

Vậy phương trình có một họ nghiệm

Bài toán 5: Biện luận theo m số nghiệm thuộc (ơ, B) của phương trình

lượng giác cơ bản

Giả sử với phương trình:

sinx =m

“Ta lựa chọn một trong hai cách sau:,

Cách I: Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: _ Biểu diễn (œ, B) trên đường tròn đơn vị thành cung AB

Bước 2: Tịnh tiến đường thẳngm Song song với trục cosin, khi đó số giao

điểm của nó với cung AB bằng số nghiệm thuộc (œ, B) của

phương trình

Cách 2: Thực hiện theo các bước sau:

Bước !: Vẽ đô thị hàm số y =sinx, lấy trên (œ, B)

Bước 2: Tịnh tiến đường thẳng y = m song song với trục Ox, khi đó số

giao điểm của nó với phần đồ thị hàm số y = sinx bằng số nghiệm thuộc (œ, B) của phương trình `

Chú ý: Phương pháp trên được mở rộng tự nhiên cho:

1 Phương trình cosx = m, với lừu ý khi sử dụng cách 1 ta tịnh tiến đường

thẳng m song song với trục sin

2 Với các phương trình tgx = m va cotgx = m ta chỉ có thể sử dụng cách 2

Vidu7: Biện luận theo m số nghiệm thuộc G ` =) của phương trình

"® - Với Iml> Ï, ‘nice on vô nghiệm

»® Với m=~—], phương trình có I nghiệm thuộc D

Với —1 <m<> hoặc m= 1, phương trình có 2 nghiệm phân biệt thuộc D

"Với 3 <m< ` phương trình có 3 ghiệm phân biệt thuộc D

= V6i a <m < ], phương trình có 4 nghiệm phân biệt thuộc D

Vídu8; Biện luận theo m số nghiệm thuộc c= „t) của phương trình

(m + ])sinx = (m — Ï)cosx (i)

Gidi

Bién déi phương trình về dang:

sinx + cosx = m(cosx — sinx) > v2 sin(x + 2} m2 cos(x + =

& tg(x + 4)=m

Ta có kết luận:

* V6im 2 1 hoặc m <0, phương

trình có 2 nghiệm phân biệt

II CÁC BÀI TOÁN THỊ

Bail: (ĐHSPII — 2000): Tìm các nghiệm nguyên của phương trình:

Vậy phương trình có hai nghiệm nguyên x = -7 vax = — 31."

Bài 2: (ĐH Tổng Hợp Lômônốp — 1982): Giải phương trình

a? a sin? x+a-2 em a2 = tg?x + (a? —2)(1 + tg?x)

1~tg2x cos” x ~sin? x 1-tg?x I~tg2x

= Véia-1=0@a=+41, khi đó (1) vô nghiệm

13

= Với lal<I hoặca=#++/3, phương trình vô nghiệm ‘

"© V6i aE(—0, -1)U(I, + o\ +3 }, phương trình có hai họ nghiệm

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài tập 1: Giải các phương trình sau:

a sin(mccs2x) = 1 b cos(mcos3x) = 1

Bai tap 2: Giải các phương trình sau:

a cos(msinx) = 1 ° cos[ 2 cos(x _ zy

a 7U

b sin— =cos(7x)

x

Bài tập 3: Giải các phương trình sau:

a tg[ 2 (e0sx —sinx)] = l b cotg[ ^ (cosx +sinx)] = 1 ‘

Bài tập 4: Giải và biện luận các phương trình sau:

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

‘DOI VOI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC `

LPHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC ĐẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC HAI

Q) |

Ta,biện luận theo các bước sau:

e Bước ï: Dat sinx = t, diéu kién It! s 1, khi đó phương trình có dạng:

f) =a.Ẻ +b.t+c=0 ì (2)

*_ Bước 2: Xét tùỳ theo yêu cầu của bài toán: :

1 Nếu bài toán yêu cầu giải phương trình thì ta giải phương

trình (2) theo t và chọn nghiệm t„ thoả mãn điều kiện ltl < 1

2 Nếu bài toán yêu cầu giải và biện luân phương trình theo

tham số thì ta giải và biện luận phương trình (2) theo t, điều kiện ltl < 1, cụ thể:

“Ta tinh cdc biểu thức A, af(1),af(~ 1), Š — 1, Š +l

Bài toán 1: Giải và biện luận phương trình :

Từ đó dựa vào tính chất nghiệm của phương trình sinx = siny

và đường tròn đơn vị biểu diễn khoảng (œ, ), ta có được điều

kiện cần và đủ cho phương trình (2)

3 Thông thường phương trình ban đầu chưa phải phương trình bậc iil theo |

hàm số lượng giác, khi đó ta cần thực hiện một vài phép biến đổi lượng giác dựa trên nguyên tác:

"Nếu phương trình chứa nhiều hàm lượng giác khác nhau thì biến đổi

tương đương về phương trình chỉ chứa một hàm

“Nếu phương trình chứa các hàm lượng giác của nhiều cung khác

nhau thì biến đổi tương đương về phương trình chỉ chứa các hàm

lượng giác của một cung

Ví du 1: (CDSP Hà Nội — 1997): Giải ie trình:

cos2x + sin*x + 2cosx + 1 = 0

Giải

Biến đổi tương đương phương trình về dạng:

2cos”x — Ï + 1 — cos?x + 2cosx + 1 =0 > cos?x + 2cosx + 1 =0

© (cosx + l)Ì=0@©©cosx= - lx=n+ 2km, keZ

Vậy phương trình có một họ nghiệm x = t + 2kt, keZ

Ví du2: - Cho phương trình:

4sin°2x.+ 8cos*x — 5 +3m=0 = :

a - Giải phương trình với m = -+ i

b Tim m nguyên dương để phương trình có nghiệm

Giải

Biến đổi phương trình về dạng:

4(1 ~cos32x) + 4(1 + cos2x) — 5 + 3m =0 © 4cos?2x — 4cos2x — 3 — 3m =0

Dat t = cos2x, điều kiện ltl < 1

Khi đó, phương trình có đạng:

4 ~4t— 3~— 3m =0 4U -4t~3=3m —, ` @

16

eins + Pin ex = 25 + 2kn, keZ

Vậy với m= -5 phuong trinh có hai họ nghiệmi

b Ta lua chọn một trong hai cách sau:

Cách I: Phương trình (1) có nghiệm <> (2) có pata thuộc I—tL+ÓH

Vậy với m = +l hoặc m = 0 phương trình có ý nghiệm

Cách 2: Phương trình (1) có nghiệm đường thẳng y = 3m cắt đồ thị hàm sể y= 4¢ — 4t — 3 trên doan [= 1, 1]

Xét hàm số y = 4t ~ 4t~ 3 trên đoạn | — 1, 1|

Đạo hàm

ý! =8L~4,y`=0 C84 =0 1= 7

Bảng biến thiên'

Dựa vào bảng biến thiên, ta được điều kiện là:

a Giải phương trình với m = I

b Tìm m để phương trình có đúng 4 nghiệm thuộc 5 ; * }

a Với m = 1, phương trình (2) có dạng: & je

sin3x = 3 vô nghiệm é :

Vậy để phương trình (1) có đúng 4 nghiệm thuộc I> 3 điều kiện là

phương trình (2) có đúng 3 nghiệm khác = thưộc (2, = L

vi xe, =) ©3xe[2n, An],

do đó điều kiện là:

-sin3x =0 ©>4— m?=0<»m=+42 '

khi đó ta được các nghiệm 3xe[2rt, 3, 4] © xel TL cản

“Vay vai m'= +2 phương trình (1) có 4 nghiệm thuộc (2, +)

18

Bước 1: Dat diéu kién cosx #0 x # 7 +kn, keZ

Bước 2: “Pat tgx =t, khi đó phương trình có dạng: :

* voi diéu kiện sinx # 0 ©>xx # km, keZ

2 Uu tiên lựa chọn phương pháp hàm số để giải

Wídu 4; Giải phương tình:

a Giải phương trình véi m = 2

50) đổi i phuong trinh vé dang:

Vậy với m = 2, phương trình có hai họ nghiệm

*b Để phương trình có đúng ba nghiệm thuộc ( ~ 7, > é

| Bai 1: (DHCSND -— 99): Tìm các nghiệm thoả mãn điều kiện cosx > 0 của

| phương trình: 1 - Ssinx + 2cos’x

Biến đổi phương trình về đạng:

1 —5sinx + 2(1 — sin’x) = 0 <> 2sin2x + 5sinx — 3 =0

(=m cosx =m €osx=m (*) seit tens 3%

a Vớim= 3, phương tíình (*) vô nghiệm ` ‘a ẹ

Vậy với m = ; phương trình cé hai họ nghiệm x = +: + 2km, keZ `

b Với xeLT Fl Hl Scosx <0

ương trình (1) có nghigm thuge [= =) « —1<m<0

a Giải phương trình với m = =

b Tim m để phương trình:có 4 nghiệm thuộc [O, 2m]

Cách 1: Phương trình (1) có 4 nghiệm thuộc [0, 2z] © phương trình (2) có 2

tị hàm 56 y= 22-1 trén (-1, L) tại 2 điểm phân biệt ;

Biến đổi phương trình về dạng:

(3cotg?x — 32/2 cosx) + (2 V2 sin’x — 2cosx) = 0

2 3( OS® ~ JZ)cosx sin°x - + 2( J2 sin?x ~ cosx) =

+ @3(cosx — J2 sin?x)cosx + + 2(./2 sin’x — costbinÖx = 0

< (cosx ~ x2 sin2x)(3cosx — 2sin?x) = 0

ƒ, 2 cos” x +cosx~ v2 =0 2 I> cosx = — x =t—+2kn

` |2 cos“ x+3cosx =2= 0 ‘ cosx = 7 x=#<+2km

Vậy phương trình có bốn họ nghiệm

i5: (Đề 95): Giải và biện luận phương trình:

, (m — 1)sin?x — 2(m + 1)cosx + 2m -

Biến đổi phương trình về dạng: :

*% (mp Had - cos*x) ~ 2(m.+ 1)cosx + 2m ~ l =0

" Vớim< -i „ phương trình vô nghiệm

" Vớim= -t „ phương trình có nghiệm

tạ= —Ì€©x=zr+ 2kn,keZ.

= V6i m= 1, phuong trình có nghiệm

tat ecosx= 5 =cosB => x = +B + 2kn, keZ

= V6i m> 1, phuong trình có nghiệm

—m~—1+ 4m” - 3m +3 :

Ox= +y+ 2kn, keZ

BAI TAP DE NGHI

Bai tap i: Cho phuong trinh:

5 — 4sin?x — Bos" = 3m

a Giải phương trình với m = :

b Tìm m nguyên dương để phương trình có nghiệm

Bài tập 2: Cho phương trình:

cos2x + 5sinx + m = Ö,

a (ĐHNN Hà Nội ~ 97): Giải phương trình với m= 2

b Tìm m nguyên dương để phương trình có nghiệm

Bài tập 3: Cho phương trình:

/ 4cos*x — 2(m — 1)cosx -m = 0

a - Giải phương trình với m = 43

b Tim-m nguyén duong để phương trình có nghiệm

Bài tập 6: Giải và biện luận theo a, b phương trình:

cosax + cos2bx — cos[(a+2b)x] = 1

Bài tập 7: Biện luận số nghiệm của phương trình:

cosx + (1 — m)cosx + m - Ì =.0với0<x<1t

tuỳ theo các giá trị của m a

24

CHUDE3

PHUONG TRINH BAC CAO

ĐỐI VỚI MỘT HẦM SỐ LƯỢNG GIÁC

ta lựa chọn một trong ba hướng:

Hướng 1: Nếu xác định được nghiệm tọ thì:

l G6 )e#+ Bọ O=0©]

„ Khi đó việc giải (1) được dẫn về việc giải (2)

Hướng 2: Sử dụng phương pháp hằng số biến thiên

Hướng 3: Sử dụng phương pháp hàm số đồ thị

2 Đối với phương trình bậc 4: :

Hưởng 1: Nếu xác định được nghiệm tạ thì:

Ví dul: (ĐH Thái Nguyên - 97): Giải phương trình:

4cos?x ~ cos3x = 6cosx + 2(1 + cos2x)

Giải

Biến đổi phương trình về dạng:

4cos*x ~ (4cos*x — 3cosx) = 6cosx + 4cos?x

Á& 4cos”x + 3cosx =0 © (4cos?x + 3)cosx = 0

©cosx =0 œx= 2 + km, keZ

Vậy phương trình có một họ nghiệm.

er A

Xídu2: Cho phuong trinh:

C0S3x — cos2x + mcosx ~ 1 = 0 net ()

- Giải phương trình với m = I `

b (ĐH Y&D TPHCM - 99): Tìm m để phương tình có đúng 7 nghiệm

thuộc khoảng i „ 21)

Giải

Biến đổi phương trình vé dang:

Ácos% — 3cosx — (2oos2x — 1) + moosx— 1 =0>4oos% —-2o0ex + (m'—3)oosx = 0

Dat t = cosx, diéu kién It! < 1, phuong trinh’cé dang: :

Vậy, với m = 1, phương trình có 4 họ nghiệm A eats

b Trước hết ta tìm các nghiệm thoả mãn điều kiện đâu bài từ i (*), wage:

Vậy để phương trình (1) có đúng 7 nghiệm thuộc (~ =, 2n)

£ phương trình (2) có nghiệm thoả mãn ~ l <t¡ <0 <1;< Ì

<> 4af(0)<0 © jm-3<0 ©1<m<3

|ara)>0 ‘la -1>0 Vay voi 1 <m.<3 thoa man điều kiện dau bai

'Với t,€(0, 1), thi _bang cách dựng đường thẳng qua t, vuông góc với trục

cosin ta được ba nghiệm œ¡, Ø và œ; thuộc cung AB

2 Với t,e(— 1, 0), thi bang cách dựng đường thẳng qua t, vuông góc với trục

cosin ta được hai nghiệm đ¿ và œ; thuộc cung AB

26

_Viduâ: - Cho phương trình:

a V6im =—1, phương trình có mấy nghiệm thuộc (0, = )?

b Timm để phương trình có ba nghiệm phân biệt se (0, T)

a - Với m = — 1, đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số tại một điểm có hoành độ

tị >2, suy ra phương trình (1) nghiệm duy nhất thuộc (0, 5)

b Dé phuong trinh có ba nghiệm phân biệt thuộc (0, x) điều kiện là:

-4<-m<0€©œ0<m<4 |

| Ví du 4: Cho phương trình:

a Giải phương trình với m= - 1

b Xác định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thuộc ( — z2 )

Gidi

_ Diéu kiện:

cosx #0 eox# 2 +km,keZ:

Dat tgx = t, khi dé phuong trinh cé dang:

: Để tiếp tục phân tích (2), ta viết lại (2) dưới dạng:

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

b Để phương trình có 4 nghiệm phân biệt xecT 5)

= (3) c6 2 nghiém phân biệt khác I và l — m và l ~mzl A,>0 mỶ +2m~3 >0 3

:Vậy với me( ~ œ, ~ 3)L/(1, +sNŠ } phương trình có 4 nghiệm phân biệt : ‘ a

I.CÁC BÀI TOÁN THỊ = TES

Bài 1: @HNN ~ 2000): Giải phương trình:

Biến đổi phương trình về dạng:

[2(2cos?x — 1) — 8cosx + 7]cosx = 1 <> 4cos*x — — 8cos"x ; + 3 osk -1=0

28

Vay phuong.trinh cé ba ho-nghiém

Bài 2: (ĐHQG TPHCM Khối D - 99): Cho phương trình: „

(cosx + 1)(cos2x — mcosx) = m.sin?x

a Giai phuong trinh véi m = -2

b Tim m dé phuong trình có đúng 2 nghiệm thuộc [0, a }

BAI GIAI

Biến đổi phương trinh vé dang:

(cosx + 1)(cos2x —mcosx) = m(I — cos?x) :

© (cosx + 1)[cos2x — mcosx — m(I — cosx)]=0 >(cosx + 1Xcos2x —m) =0

cosx=—l ˆ x=z+2km

<cos2x =m cos2x =m (*)

a ae ~2, phương trình (*) vô nghiệm :

ven = =~2, phương trình có một hẹ ne x =n + 2kn, keZ

b Dé phuong trình có đúng 2 nghiệm thuộc {O, =I

© phương trình cost = m (với t = 2x) có đúng 2 nghiệm thuộc {O, = ]

© -l<m<- AY

2

Vậy với -1<m<~ > thoả mãn điều kiện đầu bài

Chú ý: Để các em học sinh tiện theo đối ta có thể lý

giải điều kiện trên có được bởi:

" Nếu “5 < m< I, thì bằng cách dựng đường thẳng vuông góc với: trục

cosin ta được hai nghiệm ơ, và œ¿ nhưng khi đó dễ thấy œ; không thuộc

cung AB, tức là chỉ 1 nghiệm được chấp nhận

* Nếu -l<m<- > thì bằng cách dựng đường thẳng vuông aie với

trục cosin ta được hai nghiệm x¡„ xạ và cả hai nghiệm này đều thuộc cung

AB, tức là có 2 nghiệm được chấp nhận

29

Bài 3: (ĐHSP TPHCM Khối A — 2000): Cho phương trình:

sin3x — mcos2x — (m + 1)sinx + m =0

Tìm m để phương trình có đúng 8 nghiệm thuộc (0, 3: )

BÀI GIẢI

Biến đổi phương trình về dang: :

3sinx — 4sin?x - m(1 - 2sin’x) — (m+ 1)sinx +m =0

© (4sin?x — 2msinx + m - 2)sinx = 0

Vậy để phương trình có đúng 8 nghiệm thuộc (0,3m)

© phương trình (1) có 6.nghiệm thuộc (0, 3 )M #, 2}

© phương trình (2) có nghiệm thoả mãn - 1 <t, <0 <t; < l'

af(-1)>0 ° {3m+2>0

© 4af(0)<0

|af4) >0 m-2<0 -m+2>0 @ ~' <m<2

Vậy với — = <m< 2 thoả mãn điều kiện đâu bài

: ~ Để các crn học sinh tiện theo dõi ta có thể lý giải điều kiện trên có được bởi:

._ Với t;e(0, 1), thì bằng cách dựng đường thẳng qua t; vuông góc với trục sin

ta được bôn nghiệm œ;, œ;, œ; va œ„ thuộc cung AB

2: Với t,e(—1, 0), thi bằng cách dựng đường thẳng qua t, vuông góc với trục

sin ta được hai nghiệm œ; và œ¿ thuộc cung AB

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài tập 1: Giải phương trình:

4(sin3x — cos2x) = 5(sinx — 1)

Bài tập 2: Cho phương trình:

sin3x + sinx = 2cos”x =m

a Giải phương trinh véi m = 0 ’

b Tim m dé phuong trình có 6 nghiệm phân biệt thuộc [0, z]

Bài tập 3: Xác định m để phương trình:

cos*x + (m-2)sinx + 4 = 0 vô nghiệm

30

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT DOI VO! simx VA cosx

1 Néu a? + b? <c? phuong trinh vỡ nghiệm

2 .Nếu a? + bˆ>c, khi đó để tìm nghiệm của phương trình (1) ta

thực hiện tiếp bước 2

Chia hai vế phương trình (1) se dã? +bˆ , ta được:

- Với cos =0 <x =72+ 2kn, kiém tra vào phương trình:

Với cos #0 <> x40 + 2kn, dat t= te » Suy ra:

Khi đó phương trình (1) 2 dang:

2t, 2 +b I-Ẻ z =£@(e+b)Ể— 2at+c—b=0 (2) +t +

Giải phương trinh (2) theo t

Với những yêu cầu biện luận số nghiệm của phương trình trong (œ, B), ta có thể lựa chọn phương pháp hàm số đồ thị

31

Cách 4: Với những yêu cầu biện luận tính chất nghiệm của phương trình

trong (a, Ö) ta có thể lựa chọn phương pháp điều kiện cần và đủ

Nhận xét quart trọng:

1 Cách I thường được sử dụng với các bài toán yêu cầu giải phương trình va |

tim điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm, vô nghiệm hoặc giải

và biện luận phương trình theo tham số

2 Cách 2 thường được sử dụng với các bài toán yêu cầu giải phương trình và

tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thuộc tập D với

Dc{0 2=] l

3 Cách 3 thường được sử dụng với các bài toán yêu cầu biện luận theo tham

số để phương trình k có nghiệm:thuộc tập D với D/a[0, 2x] @Ø

4 Từ cách giải I ta có được kết quả sau: :

— Va? +b? <asinx + beosx < Va? +b?

kết quả đó gợi ý cho bài toán về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm

số đạng y = a.sinx + b.cosx, y= A.sin x+Peo£X và phương pháp đánh

8 sinx =cosx=Ú€©©x = 7 +kn,keZ

Vídul; Giải phương trình:

¥3 sin3x +cos3x = V2

Giải

Biến đổi phương trình về dạng:

XÃ gu3x + Lcos3x= * ©sin3x.cos“ + cọs3x sin2 = va 2 2 2 6 6 2

esinGx+Z)asntao| 6 4 © 4 2 ‘ef T T 3 3 kez Tn , 2kn

6 4 „, đổ: 3

Vậy phương trình có hai họ nghiệm số

Vidu2: Giải phương trình:

4 : :

Dit : = cosa thi = = sina, khi d6 ta được:

Sinx.cosơ — cosx.sina = "š ©sin(x - ở) = sin(-2)

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

Xídu3: - Giải phương trình:

sin2x — 3cos2x = 3

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Biến đổi phương trình về dang:

Vậy phường trình có hai họ nghiệm

Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng:

sin2x = 3(1 + cos2x) <> 2sinx.cosx = 6cos"x ©> (sinx — nec cosx =0

sinx —3cosx-—0 [tex#3 = ten xearks

wh"

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

Vidu 4: Giải phương trình:

2sinx — 3cøsx = — 2

Giải

“Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Biến đối phương trình về dạng: -

2

—==3inx— ——cosx = - ~—

33

2 3

Dat —— = cosa thi —— = sina, khi dé ta được: Tis Got

sinx.cosa — cosx.sina = — cosa = sin(x — a) = sin(a 7)

x~S®~d+2 +2kg x= T +2kr \

Vay phương trình có hai họ nghiệm

Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng:

2(1+sinx) = 3cosx © (cos = + sinh )?3(cos?” — sin? >

+ [2(cos> + sin) ~ 3(cos> = sin )(cos > +sin>)=0 ề

5sinŠ — cosŠ =0 x Pat age x atk

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

Chú ý: Các em học sinh cần có thói quên kiểm tra điều kiện a? + bˆ>c? ra nhấp trước khi đi giải phương trình bởi có nhiều bài thi đã cố tình tạo ra những

phương trình không thoả mãn điều kiện trên với mục đích kiểm tra kiến thức cơ

bản của các em Cụ thể như đề thi ĐHGTVT - 2000

Vídu 5: (ĐHGTVT - 2000): Giải phương trình:

24J2 (sinx + cosx)cosx = 3 + cos2x

Gidi

Biến đổi phương trình về dạng:

2 sindx + V2 (1 +.0082x)= =34+ pane o> V2 sind + (2: — Noose = 3-2

Chú ý: Việc lựa chọn các phép biến đổi lượng giác phù hợp trong nhiều trường hợp ta

| - sé tim được phép biểu⁄diễn chẵn cho các họ nghiệm Chúng ta xem xét ví dụ sau:

Víidu6: Giải phương trình: :

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

` Cách 2: Biến đổi phương trình về dang:

(Sinx + cosx) + 3 (sinx — cosx)=2> Ý2 sin(x + =) — V6 cos(x + £)=2

1 Như vậy bằng cách I ta tìm được nghiệm của phương trình không tường minh,

-trong khi đó nếu sử đụng cách 2 ta thấy nghiệm của phương trình rất chắn

2 Một vài tài liệu tham khảo giải phương trïnh bằng cách đặt t = tạ; „ dẫn tới

phương trình

@—-Š2-1+ õyv 6+i<0euskL vu et ; ‘ ⁄3 43-1

35-

Vídu 7: Giải phương trình:

2( 3 sinx — cosx) = 3sin2x + v7 cos2x

Giải

Biến đổi phương tình về dạng:

223 sinx — 2cosx = 3sin2x + V7 cos2x

Vậy phương trình có hai họ nghiệm —

Chú ý: Ví dụ trên đã mình hoạ cụ thể phượng pháp giải:phương trình dang:

a.sin(kx) + b.cos(kx) = c.sin(x) + d.cos(x) a +

Và sự mở rộng khác cho dạng phương trình trên như sau:

a.sin(kx) + b.cos(kx) = Va? +b? -sin(Ix) : ` (il)

dé minh hoa ta xem xết ví dụ sau: :

Vidu 8: ` Giải phương trình:

2sinx(cosx — 1) = v3 cos2x

Giải

Biến đổi phương trình về dạng:

2sinx.cosx — 2sinx = x/3 cos2x < sin2x — x3 cos2x =2sinx - (*)

36

1 : B š R aE

5 sin2x — “zy cos2x =sinx © sin2x.cos> ~ cos2x.sin= = sinx

ae 2x-Zx+2ke x= 5 +2kr

in(2x — =) = sinx <> ° »keZ

2x——=nẽ—x+2km x=—+——

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

Nhận xét: Như vậy bằng một vài phép biến đổi lượng giác thông thường ta đã chuyển phương trình ban dau về (*) và đó chính là dạng (II) :

Nidu9: Giải phương trình:

⁄2 (sinx + 3 Osx) = 43 cos2x — sin2x

| |

Gidi

._ Biến đổi phương trình về dạng:

J2 kẻ sinx + XÃ osx) = 3 osx — *sin2x

2 2 VI 2

| =2 (sinx.cos = + cosx.sin=) = sin = -CO82x ~ cos = sin2x

> V2 sin(x + F)=sin(S —.2x) =sin(2x + `)

© v2 sin(x + = ) = 2sin(x + F ).co8(x + xì

Vay phương trình có ba họ ñghiệm

| Wídu 10: Cho phương trình:

† 43 sin2x mcos2x =f ˆ

a Giai phuong trinh véi m = 1

b Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm với mọi m

Vậy phương trình có nghiệm với mọi m

Xídu 1H: (ĐHKT - 2001): Giải và biện luận phương trình:

4m(sinx + cosx) = 4mẺ + 2(€osx — sinx) + 3 “3

Giải

Biến đổi phương trình về dạng:

2(2m + 1)sinx + ae 1)cosx= 4m? + 3

Xét hiệu:

a'+t)~c=42m+ ean 1fe aac = ~(l6mf~8Mf+ D= ta 13<0

Vậy phương trình chỉ có nghiệm

a Giải phương trình với m= - 2 ,

b Timm dé phương trình có nghiệm thuộc cễ ;0]-

Vậy với m = — 2, phương trình có hai họ nghiệm

b Vixe[- s:0]© sel~ =,0) suy ra te{[ = 1, 0]

Cách I: Đề (1) có nghiệm thuộc [~ Z 0] > (2) có nghiệm thuộc [ ~ 1, 0]

Vậy với — : <xm<- ; phương trình có nghiệm

Cách 2: Viết tại phương tĩnh dưới dạng:

ar 7 >0 với Vte[ — 1,0] hàm số đồng biến trên [ — 1, 0]

Đo đó đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (C) trên đoạn [ — 1, 0]

4 1

©y(-1)<m <y(0) © ¬a “mo:

Vậy với + sms =5 phương trình có nghiệm

Ví du 13: Cho phương trình:

a Giai phuong trinh véi m= - 1

b Bign luan theo m s6 nghiém thuéc (- =, 2n] của phương trình

Vậy với m = — l phương trình có hai ho nghiém ¬

b Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đường thẳng y= m với |

phần đồ thị hàm số y = +3 sinx + cosx trên D = ( 2 „ 2n]

= Với lml > 2, phương trình vô nghiệm

= V6i m = +2, phuong trình có 1 nghiệm thuộcD ”*

40

= Véi -2<m<0hoặc l <m< 2, phương phos 2 nghiệm thuộc D

" Với 0<m <1, phương trình có 3 nghiệm thuộc D

« _- Với Iml> ~_, phương trình vô nghiệm 8

" Véim= ae hoặc Ô <m < — ; „ phương trình có 1 nghiệm thuộc D 5

"_ Với aoe <msOhoge + sm<—, pug tinh <2 Dugan D

Giải

Điêu kiện cân: Giả sử-phữơng trình có nghiệm x = œe[0, fy Khi d6 x =

cũng l nghiệm, như vậy:

—coœsGŒ + v3 sin œ š 2—3cosơ ~ V3 sin œ

2(2- 3cosơ ~ 3 sing)cosữ = (= cosa + ¥3 sina)(I— 3 3 sino.)

<=> 3cos2a + 3 si2œ = 3cosœ — 3 sina :

= Với œ= ©, thay vao'phuon; trinh 3 8 ta duge:

2 "3 sin + moos* = 1e>m-= ~I

= V6i a@=0, thay vao phuong trinh ta được: >

¥3 sin0 + mcos0 = 1<¢> m= 1 A

= Véia = 2%, thay vio phuong thay trình ta được:

¥sin 2 + moos = | e>m= |

-

Nay véi m= 41 là điều kiện cần

42