[r]
Trang 1n
c nă
ONTHIONLINE.NET
Trường thpt cẩm thuỷ i Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp trường
Khối 11 THPT - Năm học 2007-2008
Môn thi: Toán
(Thời gian làm bài: 180 phút )
Bài 1(5 điểm)
a) Giải phương trình: cos cos ( 2 ) sin (2 3 ) 1
2 2
2
b) Cho a ,b R Chứng minh rằng trong hai phương trình sau phải có ít nhất một phương trình có nghiệm:
b x a
sin 2008
b x
a
tan
Bài 2 ( 5 điểm)
a) Dãy số u1,u2,u3, ,u n được xác định như sau:
1 , ,
1 ,
1 ,
1 u u u u u n u n
u
1 )
(
1
2
1u u n
u
b) Tìm giới hạn của dãy số có số hạng tổng quát:
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
n
u
Bài 3 (5 điểm)
a) Trên mặt phẳng cho đa giác lồi 10 cạnh T A1A2 A n. Xét các tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của
đa giác T Hỏi trong số các tam giác đó có bao nhiêu tam giác mà 3 cạnh của nó đều không phải là ba cạnh của đa giác T?
b) Tìm các giá trị nguyên dương của x thoả mãn
x k
k
C C
C C
C C
1
2007 2008
2007 2008 2008
2005 2006
2 2008
2006 2007
1 2008
2007 2008
0
Bài 4 (5 điểm)
Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1
a) Hãy tìm điểm M trên đường chéo BD của mặt ABCD và điểm N trên đường chéo CD1 của mặt bên CDD1C1 sao cho MN//AC1
b) Gọi I và J lần lượt là trung điểm của A1D1 vµ B 1 B Chứng minh rằng IJ AC1.
Họ, tên thí sinh: ……… SBD: ………….
Trang 2Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Trường thpt cẩm thuỷ i Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp trường
Khối 11 THPT - Năm học 2007-2008
Đề thi chính thức
đáp án – hướng dẫn chấm môn Toán
(Thời gian làm bài: 180 phút )
a)
Giải phương trình: cos cos ( 2 ) sin (2 3 ) 1
2 2
2
(1)
2 điểm
+) Ta có (1) cos2 cos2 2 cos23 1
4 3 2 1
0 0
) 3 10 8 ( 2
t t
t t
t
+) Kết luận: Nghiệm của phương trình đã cho là:
Z m m x
Z l l x
Z k k
6
; , 2 4
; ,
*) Có hai trường hợp xảy ra:
+) Trường hợp 1: 20082 a 2 b2 thì (1) có nghiệm 0.5 +) Trường hợp 2: 20082 a 2 b2
Ta có
0 sin
) 3 ( 0 tan
2 tan
2008 )
2
x
a x b
Nhận xét: (2) có nghiệm khi và chỉ khi (3) có nghiệm tan x 0 0.5
Ta có: *) (b 2)2 4a.20082(a2 20082 2a.2008)2(a 2008)2 0
*) 2008 0
2
b S
(luôn đúng, do có 20082 a 2 b2 nên b0
Do đó (3) có nghiệm khác 0
1
Ta chọn số u n 1 sao cho u n1 u n 1
Khi đó ta có:
0.25
Trang 3n
c nă
( 1) 2 1
1 2 ) 1 ( 1 2 ) 1 ( 0 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 3 1 2 1 2 1 2 2 2 1 n n n n u u u u u u u u u u u u u 1 Suy ra: 2 1 )
( 1 )
( 2 )
( 2
3 2 1 2 1 3 2 1 3 2 1 2 2 3 2 2 2 1 2 1 2 3 2 2 2 1 n n n n n n u u u u n n n u u u u u n u u u u u u u u u u u u 0.5 +) Kết luận: 0.25 b) Ta có: 1
3 2 2 cos 2 2 2
2 2
2 cos 2 8 cos 2 2 2 2 cos 2 4 cos 2 2 n 0.75 (Chứng minh bằng quy nạp) 0.5 Ta có 1 1 1 4 3 2 2 sin 2 2 sin 2 sin 2 2 cos 1
2 cos 1 2 cos 1 2 cos 1 n n n n n n u 1
2 ) 2
2
sin 2 ( lim lim
1
n
n n
n
+) Số tam giác phân biệt có 3 đỉnh là 3 trong các đỉnh của đa giác T là C103 120 0.5 +) ứng với mỗi cạnh của đa giác T sẽ có 8 cách chọn các đỉnh còn lại để tạo thành
một tam giác chứa cạnh này Suy ra số tam giác có ít nhất một cạnh là cạnh của đa
giác T là 80 (tam giác)
0.5
+) Trong 80 tam giác trên có 10 tam giác có 2 cạnh là 2 cạnh của đa giác T được lặp
+) Kết luận: Số các tam giác cần tìm là (120 – 80) + 10 = 50 (tam giác) 0.5 b) Tìm các giá trị nguyên dương của x thoả mãn
x k
k
C C
C C
C C
1
2007 2008
2007 2008 2008
2005 2006
2 2008
2006 2007
1 2008
2007 2008 0
Trang 4+) Ta có
k k
k
k
k k
k C
2008
)!
2007 (
! 2008 ( )!
2008 (
! 2008
) / ( 2007
2 2
2
2 2008 )
( 2008
2 2008
2007
2007 2007
2 2007
1 2007
0 2007
2007 2007
2 2007
1 2007
0 2007
0 1
2007 2008
2007 2008 2008
2005 2006
2 2008
2006 2007
1 2008
2007 2008
0
2008
m t x
C C
C C
C C
C C
C C C
C C
C C
C C
C
x
x
x
x k
k k
+) Kết luận:
0.75 0.75
0.5
Đặt ABa, ADb, AA1 c Ta có AC1 abc
Vì MN//AC1 nenkR*:MN k AC1 hay MN k ak bk c (1)
1
) 2 ( )
1 ( ) ( ) ( )
(
1
c m b n a
m n a c m b b a n
CD m BC DB n CN BC MB MN
0.75
Từ (1) và (2) ta suy ra
3 2 3 1 3 1 1
n m k
k m
k n
k m n
0.75
D
A 1
B 1
C
C 1
D1
M
N I
J
Trang 5Vậy với 3 1
1 3
2
CD CN
va DB
b)
Gọi I và J lần lượt là trung điểm của A1D1 vµ B 1 B Chứng minh rằng IJ AC1. 2 điểm
+) IJ a b 2c
1 2
1
1 2
1 ( AC1 a b c abc