giải toán 12 phương pháp tọa độ trong không gian - tác giả Trần Đức Huyên

sách do tác giả Trần Đức Huyên ( trường trung học phổ thông chuyên Lê Hồng Phong TP.Hồ Chí Minh) của NXBGDSách gồm 4 chương :Chương 1 : hệ tọa độ trong không gianChương 2 : Mặt phẳng trong không gianChương 3 : Đường thẳng trong không gianChương 4 : Các bài toán tổng hợp

TRAN ĐỨC HUYỆN (Chủ biên) - NGUYÊN DUY HIẾU NGUYEN LE THUY HOA - NGUYEN ANH TRƯỜNG (TRUONG TRUNG HOC PHO THONG CHUYEN LE HONG PHONG TP.H6 CHi MINH) -

GIAI TOAN

TOA DO TRONG KHONG GIAN

Lời Nói ĐẦU

Grong thời gian vừa qua, được sự giúp đỡ của Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, trường Trung học phổ (hông chuyên Lê Hong Phong TP: Hé Chi Minh đã biên soạn bộ sách “Giải toán

đành cho học sinh lớp chuyên” theo định hướng bám sát sách giáo khoa, bổ sung các chủ đề nâng cao theo trình độ trường

chuyên và các nội dung thi đại học Bộ sách đã được đông đảo học sinh và giáo viên các trường chuyên sử dụng và tin cậy

Trong quá trình đổi mới giáo dục, đáp ứng yêu cầu mới

của sách giáo khoa chuyên ban, xây dựng phương pháp kiểm

tra kết hợp giữa tự luận và trắc nghiệm khách quan, chúng

tôi biên soạn lại bộ sách Giải toán đành cho học sinh các

trường chuyên và học sinh khá giỏi ở các trường Trung học

phổ thông trên toàn quốc Bộ sách “Giải toán lớp 12” được

biên soạn nhằm đáp ứng tốt nhất cho các kì thi Tốt nghiệp THPT và đặc biệt là kì thi Tuyển sinh Đại học - Cao đẳng

Bộ sách này gồm năm quyển:

— Giải toán 12 - Hàm số mũ - lôgarit và số phức;

Giải toán 12 ~ Phương pháp toạ độ rong không gian;

~ Giải toán 12 - Khảo sát hàm số;

~ Giải toán 12 ~ Khối đa diện và khối trön xoay;

- Giải toán 12 ~ Tích phân - nguyên hàm

Nội dung quyển “Giải toán 12 — Phường pháp toạ độ trong không gian” bám sát theo cấu trúc của sách giáo khoa Hình học

12 (Nâng cao) và được trình bày theo bốn chương như sau:

+ Chương I: Hệ toạ độ trong không gian;

s Chương II: Mặt phẳng trong không gian;

s Chương II: Đường thẳng trong không gian;

s Chương IV: Các bài toán tổng hợp.

Trong mỗi bài học, chúng tôi xây dựng hệ thống bài tập

rèn luyện dựa theo các vấn để cụ thể, một số bài tập là các đề

thi đại học để bạn đọc tham khảo Chúng tôi có cung, cấp đáp

án và hướng dẫn giải sơ lược của một số bài tập tiêu biểu

nhằm giúp các bạn đọc ôn tập, nâng cao kiến thức, rèn luyện

kĩ năng giải toán

Hi vọng quyển sách sẽ giúp ích cho các bạn học sinh trong

quá trình học tập, rèn luyện nâng cao bộ môn Toán lớp 12,

chủ động và tự tin bước vào kì thi Đại học - Cao dang dé dat

được kết quả tốt nhất; quyển sách này cũng là tài liệu hỗ trợ

cho giáo viên Toán các trường Trung học phổ thông trong

công tác đào tạo học sinh giỏi ˆ

Mọi ý kiến đóng góp xin được gửi về địa chỉ sau:

® trưởng trung học phổ thông chuyên Lê Tổng Phong 235 Nguyễn

Van Gk, Quin 5, TP Hé Chi Minh

a Man biểu tập sách Coán - Cin, Cong ty EP Dich vu xuat ban gido ‘duc Gia

2jnh - Nhà xuất ban Gido due Viet Nam, 237 Nouyén Var Ci, Quan 5

Tp Hé Chi Minh

Trân trọng cảm on !

CÁC TẮC GIÁ

§1 DIEM VA VECTO TRONG KHONG GIAN

A TOM TAT GIAO KHOA

1 Hệ trục toạ độ trong không gian

= Hệ gồm ba trục toạ độ Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc nhau được gọi là hé

trục toa độ vuông góc trong không gian

= Ta thường gọi các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là i, j

và K,

= Diém O goi 1a gốc tog dé, trục Ox gọi là rực hoành, trục Oy gọi là trục tung

va truc Oz goi 1a true cao

" Các mặt phẳng chứa hai trục toạ độ được gọi là mặt phẳng toạ độ, ta kí hiệu chúng lân lượt 14 (Oxy), (Oyz) va (Ozx)

- +2 ¬2 = =>

Chú ý: 1i =j =k =1, ij=jk= ki= 0

1I Toạ độ của vectơ

= Với mọi a, tồn tại duy nhất bộ ba số (ay:2a:2a) sao cho 2=aii+asj+asK,

Ta gọi bộ ba số (ay;aa;a;) là toạ độ của veclơ a (theo thứ tự là hoành độ,

tung độ, cao độ) Kí hiệu a=(a)3a93a5) hay 8(a,3a,583)

Vay a=(Ai;aa;aa) ©2(Ay;aa:8) eS anaita,jragk

Chit §: 7=(1;0;0) , j=(0;1,0) và k =(0;0;1).

1V Toạ độ của điểm

= Voi mọi điểm M, tồn tại duy nhất bộ ba số (x; y; 2) sao cho

OM = xiryj+zE Ta gọi bộ ba sé (x; y; z) là toa độ của điểm M Kí hiệu

1a M(x; y; z) hay M = (x; y; z)

Vay M=(x;y;z) OM=xityj+zk

Nếu điểm M có toa 49 Ja (xs y; 2) thi x goi Ia hoanh 46, y goi 1a tung dé, z

-' gọi là cao độ của diém M

Chú ý: Me Ox © M(x;0;0);

MeOy<>M(0,y;0);

MeOz>M(0;0;z)

V Liên hệ giữa toa độ của vectơ và toạ độ của hai điểm mút

Cho hai điểm A(x,; Ya32q)> BÍxp;yp;zp)), ta có:

° AB=(xp—XuiYp—YA¡Zp —ZA)i

“ AB= (xa—xa) +(vạ—va } +(zg=za } -

VỊ, Tích có hướng của hai vectơ

“ Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a=(ay;aa:as) và ÿ=(b,;bạ;b;)

Ta gọi tích có hướng của hai vecto a va b, kỉ hiệu là [=5] hay AAB, là

VIII Nhimg tmg dung ciia tich cé huéng

= Xét su đồng phẳng cia ba vecto: a,b,c ding phang <> 5 ble c=0

8ˆ Tính diện tích hình bình hinh ABCD: S pcp -[aãm]

» Tính diện tích tam giác: Sanc, =- | AB, AC |

= Tinh thé tích hình hộp: Vạpcpa.xcp: =|| AB.ÄD | AI

= Tinh thé tich tt dién: Vanco = 4] ABAC | aa).

B PHUONG PHAP GIA! TGAN

# Để tìm toạ độ của một vectơ.x (hay điểm M) 1s cần xác định một hệ thức

vectơ liên hệ giữa vectơ a (hay điểm M) với các vectơ hay các điểm đã biết

Từ đó ta xác định được một hệ phương trình chứa các toạ độ của veetơ a

(hay điểm M) Giai hệ này ta tìm duce toa dé vecto a (hay diém MỊ cần tìm

Vi du 1 Trong không gian Oxyz, cho bà vectơ +=Œ 7;2), b=(3; 0:4),

': c=(_—6;1;~1) Tìm toạ độ và độ đài vectơ m,n biết m=3a— 2b+c va n=5a+6b+4c—3ï

{n, = 5a, 6b, + 4c, -3i, =5.546.3+44(-6)—-3=16

> 4 ny =52q + 6b, + 40 ~3iy =5.746.044.1=39

In =5a5-+6b, +4¢,—3i, =3.24+6.444.(-1) =26

Vậy n = (16; 39; 26)

Suy ra [al =fn? +n} +n} =Vi6? +39? + 26? = 2453

Vi du 2 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; -2), B(2; 1; -1) và

C(1; —2; 2) Tim toa độ điểm M sao cho AM =2AB+38C—~ÔM - —— ~

a) Chimg minh A, B, C không thẳng hàng

b) Tìm toạ độ hình chiếu B” ota B trén AC

©) Tìm toạ độ chân đường phân giác trong của góc A của AABC,

giả

9

a) Ta có: AB =(Ễ:~8:0) AC =(4;~3; 0) Vì ‡x nên AB, AC không

cùng phương = A, B, C.không thẳng hàng

b) Goi toa d6 cha B’ là B’(x; y; z) Ta có:

AC= (4; -3; 0), AB'= (x + 2; y-3;z- 1) và BBÌ=Œ— SiMWZ~1)

UU BAI TAP

1,

3

Trong không gian Oxyz, cho 2 =(1,-3;4)

a) Tim y, z dé vecto b= (2:y:z) cùng phương với a

b) Tìm € biết ¢ nguge hudng v6i b va l|=sE+8

Cho a =(15251),b =(-3;5;2} va ¢=(0;4;3)

Tìm toạ độ và độ đài vectơ mụn biết:

a) m=2a-3b+4e+5];

b) n=a+b—26-3k

Cho diém M(x93¥9325) Hay tim toa d6 cia các điểm:

a) Mi, Mo, Mg lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các mặt phẳng t toa

a6 (Oxy), (Oyz), (Oxz)

b) M’, M” ln lwot 18 cde điểm đối xứng của M qua O va qua trục Oy

Cho ba điểm A(I; 1; 1), BC1; —1; 0) và CG; 1;—1)

a) Tìm điểm M thuộc trục Oy và cách đều hai điểm B, C

b) Tìm điểm N thuộc (Oxy) cách đều A,B,C * - the

c) Tim điểm P thuộc (Oxy) sao cho PA + PC ngắn nhất

Cho hai điểm A(1; 1; 2) và B1; 3; —9)

a) Tìm điểm M trên trục Oy sao cho tam giác ABM vuông tại M

b) Gọi N là giao điểm của đường thang AB voi mat phẳng (Oyz) Hỏi N chia đoạn AB theo tỉ số nào? Tìm toạ độ điểm N

©) Gọi a, B, y là các góc tạo bởi đường thẳng AB và các trục toạ độ Hãy tính

2 giá trị của biểu thức P = cos Œ+cos? + cos? y

11

" Dla chan dudng phan gide trong của góc A của AABC œ DB= "SGDC

= Elà chân đường phân giác ngoài của góc A của AABC œ EB= =i

Xét tứ điện ABCD, ta có các điểm đặc biệt sau:

II CAC Vi DU

Vidal Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 0; 2), BC2; l; 3)

va C(3; 2; 4)

a) Tim toa d6 trong tam G của AABC

b) Tim toạ độ trực tâm H của AABC

c} Tim toa độ trọng tâm Gọ của tứ điện ABCD biết D@; 9; —5)

Vậy trọng tâm của tứ diện ABCD là Go(2; 3; 1)

Vi dy 2 Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1; ~l; 0), B(2; 2; 1) và

C(13; 3; 4) ,

a) Ching minh A, B, C 14 ba dinh của một tam giác

b) Tìm toạ độ điểm E là chân đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC

c) Tim toa độ chân đường cao H vẽ từ D của tứ điện ABCD với D(1; 1; 1)

2) Tacs: AB = (1; 3; 1y AC =(12; 4 4)

Vi " 2h nên AB, AC không cùng phương

_ Suy ra ba điểm A, B, C không thing hàng nên A, B, € là ba đỉnh của một tam giác b) Ta có: AB = vil; AC = 4411 E là chân đường phân giác trong góc A

của AABC

II BÀI TẬP

1 Tinh độ dài đường phân giác trong của góc A của AABC, biết:

a) A(1; -2; 2), B-5; 6; 4) và C(0; TL -2)

b) AQ; -1; 3), B(4; 0; 1) và C(-10; 5; 3)

CHo bốn điểm A(-1; 2; 4), B(2; 1; 3), C(O; 0; 5) va D(3; 0; 2)

a) Chứng minh ABCD là một tứ diện Tính thể tích của tứ điện và độ dai

b) Xét hình hộp ABCD”.A'B'C'D, tìm toạ độ của các định A’, B’, C* va D’

của hình hộp đó

c) Tim toa độ của điểm 1 là chân đường phân giác trong của góc Á của AADE trong đó E(1; 3; 7)

d) Tìm toạ độ điểm K nằm trong mặt phẳng (ABC) sao cho ABCK vuông tại

B va AACK vuéng tai A -

= Tỉnh diện tích tem giác: Sane = 2Ì ac]

= Tinh thé tich hinh hOp: Vegcpa-prcp’ =| 48, Ap]AAl ;

= Tinh thể tích tứ dié: Vasop = q

Suyra a,b,c không đồng phẳng

Vi dy 2 Cho bên điểm AQ; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(-2; 1; —1)

a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện

b) Tính thể tích của tứ điện ABCD và độ đài đường cao của tứ điện xuất phát

b) Tả có: Vancp c|Pe.BP ]BA|= 5355:

Goi AH là đường cao vẽ từ A của tứ điện Ta có:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; 2), B(2; 1; —1) và C(1; —2; 2)

a) Tìm toạ độ điểm M sao cho AM =2AB—5BC

b) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác Tìm chu vi và điện tích AABC

©) Tìm toạ độ trung điểm của các cạnh của tam giác ABC

d) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC

Cho bồn điểm A(; 2; 3), B(0; 1; 4), C(0; 2; 1) và D; 1; 1)

a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đình của một tứ điện

b) Tính thể tích ABCD và độ đài đường cao của tứ điện xuất phát từ A

Cho bốn điểm A(0; 0; 1), B(1; 4; 0), C(Q; 15; 1) va D2; 75 3)

a) Chứng minh ABCD là hình thang

b) Tính thể tích của hình chóp SABCD với S(1; 2; 3)

b) Tìm điểm M sao cho MC vudng géc (BCD) va MC = V211

Cho hình hộp ADCB.A'B'C?D' có đỉnh là A(1; 0; pe B(2; 3; 5), CG; 2; 7),

D’(3;-3; 5)

a) Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp

b) Tinh thé tích của hình hộp và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC va B’D.

% Văn đề 4

Chứng minh bất đẳng thức đại số

1 PHƯƠNG PHÁP

Áp dụng các bất đẳng thức sau, ta có thể chứng minh một số bắt đẳng thức đại

sô đưới đây:

~¬

” =+E+d<l+|+|4 (dấu đẳng thức xảy ra.©> a,b,c cùng hướng)

" fai < fl P| (dau ding thức xây ra ©> a, being phuong)

(No ¥a- 3)? +4y7 +(z~ 5)? ty(xt1? +(2y+3)) +(z+7)? z13

Với mỗi cặp (x; y; 2), ta xét các VeCtƠ Sau: -

a =(x-3; -2y,5-2),b =(=x-L 2y+3; z+7) va dab = = (+4; 3; 12)

=js|=ý&- 3)2+4y? +(z~%)ˆ dị +(2y +3)? +(z+7)?

a) fx? +y? 442? —4x —4y— 2424.44 +x? + y2 +4z2—12x—2y+8z +41 >9;

b) fx? +4y? +27 44x —24y +40 +4/x? +4y? +27 —4x 4+ 16y—82+48 2 2/38

Chứng minh bất đẳng thức BCS bằng phương pháp toạ độ:

§2 MAT CAU

A TOM TAT GIAG KHOA

™ Trong khéng gian Oxyz, mit odu S(I; R) véi tim I(x93¥93zq) va ban kinh

R có phương trình là:

3 2 2

(x-x9} +(y-¥o) +(z-z9) =R2

= Phương trình x +y?+z?—2axS—2by—2cz+d=0 là phương trình của mặt

cầu khi và chỉ khi a2+b2+c? >.d Khi đó mặt cầu nhận l(a; b; c) làm tâm

và R=va?+b2 +c?—đ là độ đài của bán kính

B PHUGNG PHAP GIAI TOAN

Í $ Vấn đề 1

| Điều kiện để phương trình dang x" +y +z?~2ax— 2by—2cz+d=0

| là phương trình của một mặt câu

I PHUONG PHAP

m Xác định a, b, eva d

« Phuong trinh x? +y? +z? —2ax -2by—2cz+d= “0 Biphuong trình của mặt

cAu khi va chi khi a7 +b? +07 >d

m Khi đó mặt cầu nhận I(a; b; c) làm tâm và R =xja?+b” +e? ~d là độ dài

của bán kính

II CÁC Vi DU

%X ấy 1 Mỗi phương trình sau đây có phải là phương trình mặt cầu hay

không? Nếu phải thì hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu đó

a) x2+ty2+z2+2x~4y+]I=0 qa)

b) 3x? +3y? +327 -2x =0 Q)

21

c) Ta có: (3) ©x)+y°+z~ 2xy ~2x + 1= 0 Suy ra phương trình (3)

không là phương trình của mặt câu

đ) Ta có: (4) €> x” + +2” = 1 Suy ra phương trình (4) là phương trình của

mặt cầu có tâm 14 O(0; 0; 0) và bán kính R = 1

4Ã đụ 2 Định m để phương trình sau là phương trình mặt cầu Khi đó hãy tìm tâm và bán kính của các mặt cầu

1 Mỗi phương trình sau phải là phương trình của mặt cầu không? Nếu phải, tìm

tâm và bán kính của các mặt cau dé

= Dinh lí: Trong không gian Oxyz, mat cdu 8G R) với tâm l(a; b; c) và bán kính R có phương trình là: (- ay +(y-— by +(z- ø? =R?,

II VÍ ĐỤ

Lập phương trình mặt cầu (S) biết:

3) (S) có tâm là I(1; 3; 6) và đi qua điểm A(3; 2; 8)

b) (S) có tâm nằm trên mặt cầu (S”): (œ&~ĐW +ớ- ay +2 = 13 va qua ba

điểm M(0; 0; 1), N(1; 0; 0) và P(0; 1; 0)

Giải a) Vì (S) có tâm I va di qua A nên (S) có bán kính là:

1A = |ŒXA —xg)Ê+(yA —yg)” tứ —z)Ê = VÍ22 +12 +22 =3

Vậy (S): &—1)”+(y~3)”+ø— 6ˆ=9,

b) Gọi J(a; b; c) là tâm của (S) Ta có:

a2+bˆ +(@—1J? =(a—D2 +b2+e2

2 ze 2 JA?=JB?=JC? SG

b) (S) có tâm 1Q; 4; 12) và đi qua gốc toạ độ

c) (S) qua A(2; 3; -4) và có tâm I(1; =2; 3)

d) (S) qua ba điểm A(1; 2; 4); B(1; -3; —1); CÓ; 2; —3) và có tâm nằm trên (Oxy)

2, Cho hình tứ điện đều ABCD có A(1; 4; 5), BC— 3; ~2; 4) và tâm m đường tròn

ngoại tiếp tam giác BCD là 1(2; 3; 5) Hãy lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp

của tứ điện ABCD

3 Cho tứ diện SABC có SA vuông góc với (ABC), tam mác ABC vuông tại B,

biết toạ độ các điểm SQ; 4; 7) và C3; 2; 5) Hãy viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện

4 Cho hình chớp đều SABCD có tất cả các cạnh bằng nhau ,Đấy là hình vuông -

ABCD có tâm là I(3; ~4; 6) và độ dài cạnh AB = 5 Hãy viết phương trình mặt

cầu ngoại tiếp hình chóp

m Phương trình mặt cầu (S): x ah y +z?—2ax— 2by~ 2cz + d= 0

# (S) qua bến điểm A, B, C, D nên ta có hệ phương trình:

XÃ +y2 +Z2— 2ax, —2by, ~2ez, +d=0

XB +R +2p —2aXp —2by_ —2ezp td =0 a

Xế +y2 +23 ~2axc —2byc —2czc +d=0

> (S) qua bén diém A, B, C, D nên ta có hệ phương trình:

Vay (S): x2 +y2 422 4 420, 19 y 18S 2135 so, 23° 23 23 23

%# đụ 2 Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm Ă-2; 3; 3), B(-1; 1; 2),

C(4; 2; 2) và có tâm thuộc (Oyz)

1 Lập phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:

a) (S) qua 4 điểm Ẵ1; 0; 2), B(0; 4; 0), C3; 1; 0), D(; 1; 1)

b) (8) qua 4 điểm AQ; 3; 0), B2; 0; 4), C(O; -3; 5}, D(1; 7; 3)

26

2

3

Lập phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:

a) (S) qua 3 điểm A(1; 3; 2), BG; 4; 4), C(-3; 2; 0) và có tâm nằm trên (Oxy)

b) (S) qua 2 điểm A(1; 3; 1), B(~2; ~2; 4) và có tâm nằm trên trục Ox

Cho A(1; 0; 1), BC]; 1; 2), CC1; 1; 0) và D@; —1; =2)

a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của tứ điện

b) Tính đường cao của ABCD kẻ từ D

e) Tỉnh góc CBD và góc giữa hai đường thẳng AB và CD

4) Tính thể tích tử diện ABCD và độ đài đường cao của tử điện vẽ từ A

._ 9) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ điện ABCD

E (S) tiếp xúc với (Oxy) <> R = |zị|

# (S) tiếp xúc với (Oyz) © R = |xị

# (S) tiếp xúc với (Ozx) © R.= fy

a(S) tiếp xúc với ba mặt toạ độ và đi qua A thì XqX > 0, yay, > 0 va zz, > 0

= (S) tiép xtc voi mat phing (a) <= dd, (a) = R

* (S) tiếp xúc trục đường thẳng A <> d(I, A) =R

1 CÁC VÍ DỤ

%# đụ 1 Viết phương trình mặt cầu (S) biết (S) tiếp xúc với các mặt phẳng toạ

độ và (5)

a) di qua điểm A(1; -3; 2)

b) tiếp xúc (Oxy) tại BQ; 2; 0)

28

Do d6 (8): (x-a)* + (y tay +a =a,

Mà (S) qua A nên ta có: (1 — a)? + (-3 + a)” + (2— a}? = a2

Vậy ): &-3- V2) + +3 +2) +(œ~3-2)Ì= + v2

hoặc (8): (x~3 +2} + @+3—2)2+@g—3+V42)ˆ=@— V53”,

b) (S) tiếp xúc (Oxy) tại B(2; 2; 0) nên (8) có tâm 12; 2; c):

Mặt khác we) tiếp xúc với các mặt phẳng toạ độ nên

= bad = byl = bại © |e|=2=R ©c=2 =R hay R =2 = ~c

Suy ra H(4; 2; 10)

Ta c6: R°= AH’ = (4-1) + (2 + 2)? + (10+ 4)" =25 + 196 = 221,

Vay (S)(x— 1) + (y +27 + (+4 = 221

i BAL TAP

1 Lập phương trình mặt cầu (S) biết rằng:

a) (S) qua A(1; —1; 4) và tiếp xúc với các mặt phẳng toạ độ

b) (§) qua B(1; 3; 9) và tiếp xúc với (Oxy) tại M; 4; 0)

2 Lập phương trình mặt cầu (S) biết rằng:

a) (S) tiếp xúc trục Ox và có tâm là I(3; -4; 2)

b) (S) qua A(1; 2; 2), B(-2; 1; 3), C(3; 1; 2) và tiếp xúc Oy

©) (S) qua A(%; 1; 6), tiếp xúc với trục Ox tại điểm M(4; 0; 0) và tiếp xúc trục

Oy tại điểm N(0; 4; 0)

3 Trong không gian Oxyz cho bốn điễm A(0; 0; 3), B(; 1; 5), C(-3; 0; 0) và

D(0; -4; 0)

a) Chimg minh rang bén diém A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện

b) Viết phương trình của mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD)

Tìm toạ độ tiếp điểm

4 Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 3; 0), C(O; 0; 6) va

ĐÓ; 4; 8)

a) Chimg minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện Tính thê tích của tứ

điện ABCD

b) Tính độ dài đường cao của tứ điện vẽ từ D

e) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ điện ABCD Xác định toạ độ

tâm I va ban kink của (S)

đ) Viết phương trình mit cdu (S’) tiếp xúc với Oy tại B, tiếp xúc Oz tại C và

di qua A :

29

# Phuong trình tổng quát của mặt phẳng (œ) có pháp vectơ ñ=(A;B;C) là:

Ax+By+Cz+D=0 với A}+B2+C2 >0

11 Các trường hợp riêng

30

* Cho mặt phẳng (œ): Ax + By + Cz+D=0 Tacé:

a) (a) qua O ©D=0.,

b) (ơ) song song hay chứa trục Ox <> A =0

©) (œ) song sơng hay tring vdi (Oxy) @ A=B=0.

Ghi chú: Nếu mặt phẳng (œ) cất ba trục toạ độ tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0),

C(O; 0; c) thi phương trình (ơ) là:

n2

abe

Phương trình này được gọi là phương trành mặt phẳng theo đoạn chắn

II Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

w Cho hai mặt phẳng (œ): Ax +By+Cz+D =0

Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua điểm A và có vectơ pháp

tuyến n hay vuông góc với đường thẳng d

1 PHƯƠNG PHÁP

" Chọn vectơ pháp tuyến (vipt) của mặt phẳng (œ) là n =(A;B;C) (nếu (a)

vuông góc với đ thì n là vectơ chỉ phương 2 của đường thẳng d);

qua A(Xp:Yo:Z2}

nhận n=(A; B; Cc) lam vtpt

A(x-x9)+B(y-y)+C(z-z))=0

Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là I(0; > 3-1), AB =(-2;-16)

Mặt phẳng trưng trực (œ) của đoạn AB đi qua I và nhận AE làm vectơ pháp

tuyến nên phương trình của (œ) có dạng:

(a): -2(x-0)-(y-3} +-0(241)= 0 <> 4x4 2y-12z-17=0

Vi du 3 Viet phương trình mặt phẳng (di) qua M(2; - 5; 3) và vuông góc với đường thẳng OM

giải

Ta có: OM =(2;~5;3) Mặt phẳng (œ) đi qua M2; -5; 3) và nhận na =OMÍ

làm vectơ pháp tuyến => (œ): 2(x—2)—5(y+5)+3(z~3) =0

©2x-5y+3z-38=0

II BÀI TẬP

1

32

Viết phương trình mặt phẳng (œ) biết:

3) (œ) đi qua A(4; 1; 3) và có vectơ pháp tuyến là n =(3;~4;1)

b) P(2; —[; ~2) là hình chiếu của gốc toạ độ lên (a)

2, Viết phương trinh mat phiing (a) biét:

a) (a) qua M(1; 4; 3) và vuông góc với Oy `

B) (4) qua MÔ; 0; 1) và vuông góc với AB với A(0; 2; -3), B(1; —4; 1)

3 Trong không gian Oxyz cho ba điểm AC 1; 1; 2); BG; -1; 0); CÓ; 1; 1) Viết

phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với BC ˆ

4, Viết phương trình niặt phẳng trùng trực của đoạn AB với:

a) A(1; —4; 2) và B(7; 1; ~5) :

b) AC3; 2; 1) va BO; 4; 3)

5 Viết phương trình mặt phẳng (œ) biết:

a) (œ) chứa diém AQ; 1;- 1) va vuông góc với đường thẳng di qua hai diém

m Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (oœ) là n= [AB aC] =(a;b;0)

quaA(x, ;Ÿại 5a) (có thể chọn B hoặc Œ)

1 Viết phương trình mặt phẳng (œ) biết:,

a) (œ) đi qua ba điểm A(1; ~ 1; 2), B(0; 3; 0) và C(2; 1; 0)

b) (œ) đi qua ba điểm A(2; 0; 3), B(4; — 3; 2) và C(0; 2; 5)

c) (a): di qua ba diém AQ; 1; 3), B-1; -2; 4) va C(4; 2; 1)

Viết phương trình mặt phẳng (ơ) biết:

- 8) (œ) đi qua ba điểm A(1; 1;— 1), B(— 2; — 2; 2) và C(; — 1; 2)

34

b) (œ) đi qua ba điểm AQ; 4; 1), B(—1; — 2; 5) và ca; 731)

c) (a) đi qua ba điểm A(1; — 2; 4), B(3; 2; —1) và C(—2; 1; —3)

Cho tứ diện ABCD với A(C7; 9; 1), B(2; -3; 2), C@; 0; 4) và D(6; 2; 5) Gọi

G là trong tâm của tứ điện và I là điêm cách đêu các đỉnh Lập phương trinh

mat phang qua ba diém B, G, I

Gọi I, 1, K lần lượt là các hình chiếu vuông góc của điểm MQ; 3;—5) trên các rnặt phẳng Cà (yO2), (xO2) Tìm phương trình của mặt phẳng (K)

% Vấn dé 3

Viết phương trình mặt phẳng (œ) đi qua điểm A và đường thing d

không chứa điểm A

1 PHƯƠNG PHÁP

= Giả sử đường thẳng d đi qua B và có vectơ chỉ phương là ä

w Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (o) là n= [AB, al = (ny; nạ;na) +

Mặt phẳng (œ) đi qua E(— 4; 3; ~2 ) và chứa trục Oy

=> (a) 1a mat phẳng qua E và có vectơ pháp tuyến là [oi] =(230;-4)

= phương trình có dang: (x +4)+0(y-3)-2(z+2}=0.x ~2z=0

Te

|S Van dé 4

Viết phương trình mặt phẳng (œ) đi qua hai điểm A, B và song song

với đường thắng d không chứa điểm A và B |

|

L PHUONG PHAP

w Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là a

= Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (œ) là n = [ AB.a] =(a;b;c)

Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm E(1; 3; - 5), F(- 2; — 1; 1) và

song song với trục x'Ox

Ta có: EF=(-3;~%6); ï=(I;0;0)= [EE7]=(064)

Mặt phẳng (œ) đi qua hai điểm E(; 3; -9); F(-2; -1; 1) va song song với trục x’Ox nén (a) qua E và nhận [mi] =(0;6;4)=2(0; 3; 2) làm vectơ pháp tuyển Phương trình (œ) có dạng: `

0(x~1)+3(y~3)+2(z+5) =0 <3y+2z+1=0

II BÀI TẬP

1 Cho tứ diện ABCD với các đỉnh A(5; 1; 3), Bq; 6; 2), C@; 0; 4) và D(4; 0; 6)

a) Tim phương trình mặt phẳng (ABC)

b) Tìm phương trình của mặt phẳng qua AB va song song với CD,

2 Viết phương trình mặt phẳng (œ) biết:

a) (a) di qua hai diém A(4; ~1; 1), B(3; 1; -1) va song song voi truc Ox

36

b) (a) di qua hai diém.C(3; -2; 4), D(1; 3; 6) va song song với trục Oy

©) (a) di qua hai diém E(-2; 3; =4), F(3; 1; 6) và song song với trục Oz

3 Cho tứ diện ABCD c6 A(3; 1 5), B(2; 6; 1), C(4; 0; 5) va D(6; 0; 4)

a) Viết phương trình các mặt phẳng (ACD) và (BCD)

b) Viết phương trình mặt phẳng (œ) qua AB và song song với CD

e) Viết phương trình mặt phẳng () qua trọng tâm-G của tứ điện và nhận Œ

làm hình chiếu của A trên (B):

nên phương trình có dạng: a(x~xg}+b(y=ya}+e(z~Za} =0

Chú ý: Nếu AB cùng phưởng với ng thì bài toán sẽ có vô số nghiệm

Mặt phẳng (œ) đi qua hai điểm M(3; -2; 5) và N(1; —1; 3) và vuông góc với

1 Viết phương trình mặt phẳng (œ) biết:

2) (œ) chứa A2; —1; 4), BG; 2; —I)

và vuông góc với mặt phẳng (P): x + y + 2z— 3 = 0

b) (œ) chứa A(2; 1; L), BG; 2; 2)

và vuông góc với mặt phẳng (Q): x + 2y— 5z— 3 = 0

c) (a) chita A(1; -2; 2), B(-3; 1; 2)

Viết phương trình mặt phẳng (œ) đi qua điểm M và vuông gốc với

hai mặt phẳng không song song (P), (Q),

1 PHƯƠNG PHÁP

™ Gia sit hai mặt phẳng (P) và (Q) có vecto pháp tuyển lần lượt là np và nọ

w Chọn vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (a) là n= [ng 9 |= (A;B;C) @ì

38

Viét phuong trình mặt phẳng (œ) biết (œ) qua M(3; —1; —5) và vuông góc với

hai mặt phẳng (P):3x—2y +2z+7 <0, (Q):5x—4y+3z+1=0

Giải

Tacó: (P):3x—2y+2z+7 =0 = (P) nhận np =(3;~2;2) làm vipt;

(Q):5x—4y+3z+1=0 = (Q) nhận no = (5;—43) làm vớt

Ta có: [mpg | =(Œ;I;—4) Vì (œ) vuông góc với hai mat phang(P) va (Q)

sển (dealin n=| my ng ]=(21;—9 Tim voẻ Ngôi ve, Gs qua Mona

phương trình mặt phẳng (œ) có dạng:

2(x-3)+(y+1)—4(z~5) =0 <9 2x+y—4z-15=0

WI BAI TAP

1 'Viết phương trình mặt phẳng (œ) biết:

a) (œ) qua M(1;.0; -2) và vuông góc với hai mặt phẳng:

Viết phương trình mặt phẳng (œ) biết:

a) (œ) qua MQ; ~4; 5) và vuông góc với hai mặt phẳng: '

{P):x-2y+3z—1=0, (Q):3x+y—2z+5 =0,

39

b) (a) qua E(~4; 1; 2) và vuông góc với hai mặt phẳng:

™ Giả sử mặt phăng (B) có vectơ pháp tuyến là n =(A;B;C)

# Chọn vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ơ) là n (vi (a)//(B))

= ping (| (oa) |nhận n=(A;B;C) làm vtpt

nên có phương trình là: A(x-x9)+B(y-yp)+ C(z—zạ)=0