Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cung chắn một cung thì bằng nhau.. Xét đường tròn (O): .[r]
Trang 1GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG
A - Lý thuyết cần nhớ
1 Khái niệm góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
Cho đường tròn tâm O, bán kính R
- xy là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A
- Tiếp điểm A là gốc chung của hai tia đối
nhau là tia Ax, tia Ay Mỗi tia đó là một tia
tiếp tuyến
- BAx có:
+ đỉnh A nằm trên đường tròn
+ cạnh Ax là một tia tiếp tuyến
+ cạnh AB là dây cung của đường tròn
Ta gọi: BAx là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và
dây cung.
Tương tự: ta có BAy là góc tạo bởi tia tiếp
tuyến và dây cung
y
x
B
O
A
BAx chắn cung AB nhỏ
BAy chắn cung AB lớn.
y
x
B
A O
2 Định lý
Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn
Trang 23 Hệ quả
Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cung chắn một cung thì bằng nhau
Xét đường tròn (O):
BAx là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung AB nhỏ
BCA là góc nội tiếp chắn cung AB nhỏ
BA x BCA sd A B
Lưu ý: (tham khảo)
a) Cát tuyến của đường tròn là đường thẳng cắt đường tròn đó tại hai điểm phân biệt.
cát tuyến
b) Phương tích của một điểm nằm ngoài đường tròn
Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn, kẻ cát tuyến ABC đến đường tròn thì tích
A B A C không đổi, không phụ thuộc vào vị trí của B, C: A B A C A O2 R2
Ta gọi tích này là phương tích của điểm A đối với đường tròn
Ứng dụng: Với hai cát tuyến ABC và AMN tùy ý thì ta có: A B A C A M A N
y
x
B
A O
C
Trang 3M O
A
C
N
c) Chứng minh tiếp tuyến bằng quan hệ của góc nội tiếp với góc tạo bởi tia tiếp tuyến –
dây cung
x
O
A
C
B
Ta có:
ABC là góc nội tiếp chắn cung AC nhỏ
Ax là tiếp tuyến của (O)
B - Bài tập luyện tập (có hướng dẫn)
Bài 1 Cho đường tròn tâm O, đường kính AB Lấy điểm P khác A và B trên đường tròn Gọi
T là giao điểm của AP với tiếp tuyến tại B của đường tròn Chứng minh: A PO PBT
Hướng dẫn làm bài
Trang 4A
T Để chứng minh A PO PBT , ta cần trả lời
được các câu hỏi sau:
APO bằng với góc (A) nào?
Góc (A) đó được gọi là góc gì? Chắn cung nào?
Từ đó dựa vào hệ quả (mục 3) để dẫn đến điều cần chứng minh
Bài 2 Cho đường tròn (O;R) và dây cung BC = R Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, C
cắt nhau ở A Tính A BC BA C ,
Hướng dẫn làm bài
A
C
B
O
a) Tính ABC
ABC là góc gì? Chắn cung (A) nào?
Tính được số đo cung (A) không?
b) Tính BAC Dựa vào kết quả tính được của ABC để tính
BAC
Bài 3 Cho A, B, C là ba điểm trên một đường tròn At là tiếp tuyến của đường tròn tại A
Đường thẳng song song với At cắt AB tại M và cắt AC tại N Chứng minh rằng:
A B A M A C A N
Hướng dẫn làm bài
Trang 5N B
O
A
C M
Để chứng minh A B A M A C A N ta cần chứng minh được tỉ lệ thức (I) nào?
A B A M A C A N
A N A M Muốn có được tỉ lệ thức (I) ta cần chứng minh cặp tam giác nào đồng dạng với nhau?
A B A C
A BC A NM
Cặp tam giác trên đồng dạng với nhau trường hợp nào?
Từ những câu hỏi gợi ý đó, HS giải bài tập hoàn chỉnh
Bài 4 Cho đường tròn (O) và một điểm M nằm ở ngoài đường tròn Qua M kẻ các cát tuyến
MAB và MCD đến (O) (A, B, C, D thuộc (O)) Kẻ tiếp tuyến MT của (O) (T là tiếp điểm) Chứng minh rằng:
2
)
Hướng dẫn làm bài
C
A
O
T
M B
D
a) Chứng minh 2
Để chứng minh đẳng thức này ta cần có
được tỉ lệ thức (I) nào?
b) Chứng minh
Ở câu a, ta đã chứng minh 2
Trang 6
MA MT
Muốn có được tỉ lệ thức (I) ta cần chứng
minh cặp tam giác nào đồng dạng với
nhau?
MA MT
MAT MTB
MT MB ∽
Cặp tam giác trên đồng dạng với nhau
trường hợp nào?
Từ những câu hỏi gợi ý đó, HS giải bài tập
hoàn chỉnh.
Vậy để chứng minh MA MB MC MD
ta cần chứng minh điều gì?
Tìm mối liên hệ giữa 2
Bài 5 Cho đường tròn (O;R) và một điểm S nằm ngoài đường tròn Kẻ tiếp tuyến SA với (O)
(A là tiếp điểm) và cát tuyến SCD (SD > SC)
a) Chứng minh: SA2 SC SD
b) Đường thẳng qua A và vuông góc với SO tại I và cắt (O) tại B Chứng minh
SC SD SI SO và SB là tiếp tuyến của (O)
c) Gọi F là trung điểm CD, OF cắt AB tại T Chứng minh bốn điểm T, F, I, S cùng thuộc một đường tròn
d) Chứng minh TC2 TF TO và TC là tiếp tuyến của (O)
Hướng dẫn làm bài
Trang 7F
B
I
C O
A
S
D
a) Tự làm b) Tự làm c) Tự làm d) Chứng minh TC2 TF TO và TC là tiếp tuyến của (O)
Câu c ta có bốn điểm T, F, I, S cùng thuộc một đường tròn Từ đó ta chứng minh được
OF OT OI OS A O R
OF OT R OC
Để chứng minh đẳng thức TC2 TF TO ta cần có được tỉ lệ thức (I) nào?
2
TC TF TO
TF TC
Muốn có được tỉ lệ thức (I) ta cần chứng minh cặp tam giác nào đồng dạng với nhau?
TC TO
TCF TOC
TF TC ∽
Cặp tam giác trên đồng dạng với nhau trường hợp nào?
Từ những câu hỏi gợi ý đó, HS giải bài tập hoàn chỉnh.