VHH HÌNH học OXYZ tài liệu đại học 2021

Lời giải Chọn C Vì là điểm đối xứng với qua nên là trung điểm của nên ta suy ra được Câu 4: Trong không gian cho ba điểm , , Tìm tọa độ điểm Lời giải Chọn D Câu 6: Trong không gian với

Trang 1

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

A.1.Hệ tọa độ trong không gian Oxyz:

+ Là hệ gồm 3 trục Ox Oy Oz, , đôi một vuông góc với nhau

+ Các véctơ i j k, , lần lượt là 3 véctơ đơn vị trên

( ) ( ) ( )

1; 0; 01

Trang 2

+ Tích vô hướng của hai vectơ:Cho u =(x y z1; 1; 1) và v=(x2;y2;z2)

Tích vô hướng của 2 vectơ là: u v =|u| |v| cos ( , )u v u v =x x1 2+y y1 2+z z1 2

Suy ra: u ⊥ v u v = 0 x x1 2+y y1 2+z z1 2 =0.

B BÀI TẬP

❑ DẠNG TOÁN 1: TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ VEC TƠ THỎA ĐK

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ a =(3; 2;1− ), b = −( 1;1; 2− ),

Trang 3

Chọn B

( 4; 2; 4)

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho OM =(1;5; 2), ON =(3;7; 4− Gọi ) P là điểm

đối xứng với M qua N Tìm tọa độ điểm P

A P(5;9; 3− ) B P(2;6; 1− ) C D

Lời giải Chọn C

Vì là điểm đối xứng với qua nên là trung điểm của nên ta suy ra được

Câu 4: Trong không gian cho ba điểm , , Tìm tọa độ điểm

Lời giải Chọn D

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ cho hình hộp Biết ,

B C −( 1; 4; 7− ) D(6;8;10) B

(8; 4;10)

B B(6;12; 0) B(10;8; 6) B(13; 0;17)

Trang 4

Giả sử ,

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hình hộp Biết ,

a b c

DD = BB=(a−4; ;b c ) ABCD A B C D     DD =BB13

017

a b c

Trang 5

Phương trình mặt phẳng Kiểm tra tọa độ các điểm ta thấy

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm , , , số

điểm sao cho điểm là đỉnh của một hình bình hành là

a b c

Trang 6

❑ DẠNG TOÁN 2: TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG, VÉC TƠ

Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm và Khi đó:

Câu 13: Trong không gian với hệ toạ độ , cho vectơ Tìm độ dài của vectơ

Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm , là điểm thuộc

tia đối của tia sao cho Tìm tọa độ của điểm

Trang 7

là điểm thuộc tia đối của tia sao cho nên là trung điểm

Hình chiếu của lên trục là nên

Tổng khoảng cách từ đến ba trục tọa độ bằng

Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hình vuông , , Biết

đỉnh thuộc mặt phẳng ( ) và có tọa độ là những số nguyên, khi đó bằng:

Lời giải Chọn A

Ta có trung điểm là , và điểm thuộc mặt phẳng nên

là hình vuông

hoặc A(1; 2; 0) hoặc (loại)

Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ , cho tam giác với

Chu vi của tam giác bằng:

( )

35

32

M

M M

M

M M

x

x y

z z

a b

Trang 8

A B C D

Lời giải Chọn B

Vậy chu vi tam giác là :

Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ , cho các điểm Gọi là tâm đường

tròn ngoại tiếp tam giác , tính độ dài đoạn thẳng

Ta có nên tam giác vuông tại Vậy, chính là trung điểm , suy ra:

Trang 9

❑ DẠNG TOÁN 3: XÉT SỰ CÙNG PHƯƠNG, SỰ ĐỒNG PHẲNG

Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm và Điểm nào thuộc

đoạn trong điểm sau?

Vì các vectơ , , không đồng phẳng nên:

Vậy bốn điểm đồng phẳng

Chú ý: Có thể lập phương trình sau đó thay để có kết quả

Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm Điều kiện để nằm

về hai phía của mặt phẳng là

Trang 10

Ta có phương trình mặt phẳng là

Do vậy và nằm về hai phía của mặt phẳng khi và chỉ khi hoành độ của điểm

và hoành độ của điểm trái dấu Điều này xảy ra khi

Câu 25: Trong không gian với hệ trục toạ độ , cho , , và

Đẳng thức nào đúng trong các đẳng thức sau ?

A Hai vectơ và cùng phương B Hai vectơ và không cùng phương.

Ta có suy ra hai vectơ và không cùng phương

phẳng.

m n p

0;1; 21; 2;1

OA

OB

= OA OB,  = (5; 2 1− − )

Trang 11

Câu 28: Trong không gian , cho các vectơ , , Giá trị của

khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A Bốn điểm là bốn điểm của một hình thoi

B Bốn điểm là bốn điểm của một tứ diện

C Bốn điểm là bốn điểm của một hình chữ nhật

D Bốn điểm là bốn điểm của một hình vuông.

suy ra Bốn điểm là bốn điểm của một tứ diện đúng

Câu 30: Cho bốn điểm , , , Nhận xét nào sau đây là đúng?

A là bốn đỉnh của hình tứ diện B là hình thang

C Ba điểm thẳng hàng D Ba điểm thẳng hàng.

Không có cặp vectơ nào cùng phương nên không có bộ 3 điểm nào thẳng hàng

nên 4 điểm tạo thành tứ diện

AB AC

 = − − D 0

Trang 12

❑ DẠNG TOÁN 4: BÀI TOÁN VỀ TÍCH VÔ HƯỚNG, GÓC VÀ ỨNG DỤNG

Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai vectơ và Tính

Câu 32: Trong không gian cho hai vector khác là biểu

thức nào sau đây?

Câu 33: Trong không gian với hệ trục tọa độ cho ba vectơ , ,

Mệnh đề nào dưới đây sai?

Câu 34: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho véctơ Tìm tọa độ của véctơ biết

rằng véctơ ngược hướng với véctơ và

Vì véctơ ngược hướng với véctơ và nên ta có

Câu 35: Trong không gian với hệ tọa độ , cho vectơ , Tìm để góc giữa hai

vectơ bằng

Ta có:

(điều kiện )

(O i j k; ; ; ) a =(2; 1; 4− ) b = −i 3k a b 11

−

+2

Trang 13

Câu 37: Trong không gian Oxyz, cho có độ dài lần lượt là 1 và 2 Biết khi đó góc giữa

vectơ là

Ta có :

Câu 39: Trong không gian với hệ tọa độ , cho và các điểm , , thuộc các trục ,

, sao cho hình chóp có các cạnh , , đôi một vuông góc với nhau Tính thể tích khối chóp

34336

3436

34318

( ; 0; 0)

A a B(0; ; 0)b C(0; 0; )c

( 1; 2; 3)

SA= a− − − SB= − ( 1;b− − 2; 3) SC = − − ( 1; 2;c− 3)

Trang 14

Vì , , đôi một vuông góc nên

là tập hợp tất cả các điểm trong không gian thỏa mãn đẳng thức Biết rằng là một đường tròn, đường tròn đó có bán kính bằng bao nhiêu?

Gọi là tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán Ta có

Trang 15

❑ DẠNG TOÁN 5: BÀI TOÁN VỀ TÍCH CÓ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG

Câu 41: Trong không gian với hệ tọa độ cho ba vectơ:

Tính để đồng phẳng?

Câu 43: Trong không gian với hệ tọa độ , cho bốn điểm , , và

Độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh xuống mặt phẳng bằng

Câu 44: Trong không gian , cho , , và nằm trên trục và thể

tích tứ diện bằng Tọa độ của là.

9

7 2

97

914

92

1

3 , 6

1,2

D D

Trang 16

Câu 45: Cho tứ diện biết Tính chiều cao của

tứ diện.

Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ , cho , , Tính diện tích

của tam giác

D −

Trang 17

Thể tích khối hộp đa cho

Câu 50: Trong không gian , cho hình hộp chữ nhật có trùng với gốc tọa độ

trung điểm của cạnh Thể tích lớn nhất của khối tứ diện bằng

6427

7532

245108

(0; 0; 0)

A B m( ; 0; 0) D(0; ; 0m ) A(0; 0;n) C m m( ; ; 0) B m( ; 0;n) C m m n( ; ; ) (0; ; )

, 6

=

Trang 18

LOẠI 1 LOẠI 2 Phương Trình

Xác Định

Tâm Lấy hệ số tự do trong ngoặc chia

cho . Lấy hệ số trước chia cho .

Bán

Điều kiện tồn tại mặt cầu:

cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn có tâm và bán kính

Trang 19

ĐƯỜNG THẲNG

Đường thẳng tiếp xúc mặt cầu tại

;4

d I Oxz y T iep xuc Oxz

d I Oyz x T iep xuc Oyz

Trang 20

– Từ và là thỏa hệ:

– Gọi là tọa độ tâm mặt cầu cần tìm

– Mặt cầu đi qua 4 điểm

tọa độ

– Mặt cầu có tâm và bán kính

❑ DẠNG TOÁN 1: TÌM TÂM – BÁN KÍNH – ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH MẶT CẦU

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ , tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu

.

Trang 21

C và D và

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu Tìm tọa độ

tâm và tính bán kính của

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Hãy xác định tâm của mặt cầu có phương trình:

, suy ra tâm của mặt cầu là

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ , Tìm độ dài đường kính của mặt cầu ( )S có phương trình

Trang 22

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu 2 2 2

Ta viết lại mặt cầu ( )S như sau ( ) ( ) (2 ) (2 )2

S x− + y+ + z− = Mặt cầu ( )S có tâm I a b c( ; ; ), bán kính R có phương trình

( ) ( ) (2 ) (2 )2 2

S x−a + y−b + z−c =R Dựa vào đó, ta thấy ngay mặt cầu ( ) ( ) (2 ) (2 )2

S x− + y+ + z− = có tâm I(2; 1;1− ) và bán

kính R = 9=3

Câu 8: Trong không gian với hệ trục toạ độ , cho các phương trình sau, phương trình nào không

phải là phương trình của mặt cầu?

Xét C

Suy ra không là phương trình đường tròn

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ , trong các phương trình sau, phương trình nào không phải

là phương trình của một mặt cầu?

Vì hệ số của không bằng nhau

Câu 10: Trong không gian với hệ trục toạ độ , cho các phương trình sau, phương trình nào

không phải là phương trình của mặt cầu?

Trang 24

❑ DẠNG TOÁN 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU BIẾT TÂM, DỄ TÍNH BÁN KÍNH

Câu 11: Trong hệ tọa độ , phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu tâm

bán kính ?

Mặt cầu (S) có tâm , bán kính có phương trình:

Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu

tâm và thể tích của khối cầu tương ứng bằng

Ta có

Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ , viết phương trình mặt cầu có tâm và đi qua

.

:

S x−a + y−b + z−c =R

Oxyz I(1; 0; 2− ) R =5( )2 2 ( )2

x− +y + z+ + = ( )2 2 ( )2

x+ +y + z− =( )2 2 ( )2

Trang 25

Câu 15: Trong không gian với hệ trục toạ độ , Mặt cầu có tâm và đi qua điểm

có phương trình là

Mặt cầu có tâm và bán kính có phương trình là:

Theo giả thiết mặt cầu có bán kính bằng nên có bán kính , Tâm mặt cầu là

Ta có: Mặt cầu có tâm tiếp xúc nên có bán kính sẽ là khoảng cách từ

Mặt cầu có phương trình

Oxyz ( )S I(3; 3;1− ) (5; 2;1)

Trang 26

Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ , viết phương trình mặt cầu có tâm và

Ta có

Từ đó ta có phương trình mặt cầu có tâm và đi qua điểm là:

Câu 20: Trong không gian với hệ trục , cho điểm Mặt cầu có tâm

và đi qua có phương trình:

Mặt cầu có tâm và đi qua suy ra bán kính mặt cầu là

Oxyz ( )S I(1; 0; 3− ) (2; 2; 1 )

Trang 27

❑ DẠNG TOÁN 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU BIẾT 2 ĐẦU MÚT CỦA ĐƯỜNG

KÍNH

Câu 21: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai điểm Phương

trình nào sau đây là phương trình mặt cầu có đường kính ?

Theo đề ta có mặt cầu đường kính có tâm là trung điểm của và bán kính

Nên phương trình mặt cầu là:

Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm Mặt cầu đường kính

có phương trình là

- Gọi là trung điểm

- Khi đó, mặt cầu có tâm và bán kính

Câu 24: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai điểm Phương trình

nào sau đây là phương trình mặt cầu có đường kính ?

x+ + y+ + z+ = ( ) (2 ) (2 )2

x− + y− + z− =

Trang 28

Mặt cầu đường kính có tâm là trung điểm của và mặt cầu có bán kính

Vậy phương trình mặt cầu là:

Câu 26: Trong không gian , Cho hai điểm Phương trình của mặt cầu

đường kính là

Trang 29

C D

Tâm mặt cầu là trung điểm nên và bán kính

Câu 29: Trong không gian , cho hai điểm và Mặt cầu đường kính có

phương trình là

Mặt cầu đường kính có tâm là trung điểm và bán kính

Do đó mặt cầu này có phương trình

Câu 30: Trong không gian với hệ trục toạ độ , cho các điểm Phương trình mặt

cầu đường kính là:

Gọi là tâm mặt cầu, nên I là trung điểm AB

Suy ra tọa độ điểm

x + y− + z− =( ) (2 )2

x + y− + z− =

Trang 30

❑ DẠNG TOÁN 4: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP TỨ DIỆN

Câu 31: Trong không gian với hệ trục toạ độ , Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm

Giả sử phương trình mặt cầu có dạng:

Vì mặt cầu đi qua và nên thay tọa độ bốn điểm lần lượt

Gọi là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ

Vì nên ta có hệ phương trình

Suy ra , do đó bán kính mặt cầu là

Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ , cho tứ diện có , , ,

Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là:

Trang 31

Câu 34: Trong không gian với hệ trục toạ độ , Cho , là hai số thực dương thỏa mãn

Gọi , , lần lượt là giao điểm của mặt phẳng với các trục tọa độ , , Khi mặt cầu ngoại tiếp tứ diện có bán kính nhỏ nhất thì có giá trị bằng

Do , , lần lượt là giao điểm của mặt phẳng với các trục tọa độ , , nên

; ; khi đó tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện :

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện nhỏ nhất khi

mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Viết phương trình mặt cầu có tâm trùng với tâm của mặt cầu và có bán kính gấp lần bán kính của mặt cầu

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

35

Trang 32

Vì là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện nên ta có:

a b c d

Trang 33

❑ DẠNG TOÁN 5: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU QUA NHIỀU ĐIỂM &THỎA ĐK

Câu 36: Trong không gian , viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm

Giả sử phương trình mặt cầu có dạng:

Vì mặt cầu đi qua và nên thay tọa độ bốn điểm lần lượt

Gọi là phương trình mặt cầu thoả yêu cầu bài toán

Vì có tâm nằm trên và đi qua ba điểm , , nên ta có

A 2; 0; 1 B 1; 0; 0( ) C 1; 1; 1( ) (a+2b+3c R)

( ) :S x +y +z −2ax−2by−2cz+ =d 0( )S I a b c( ; ; ) ( )P :x+ + − =y z 2 0 A B C

x+ +y +z =

Trang 34

Tâm , đi qua nên:

Bán kính của là

Phương trình của mặt cầu là:

Câu 39: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm , , Tập

hợp các điểm thỏa mãn là mặt cầu có bán kính là:

Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn là mặt cầu có bán kính là

Câu 40: Trong không gian cho ba điểm , , và là tâm

đường tròn ngoại tiếp tam giác Tính

31 3

a+ + =b c

Trang 35

Câu 41: Trong không gian cho các điểm , , Gọi là mặt cầu có

đường tròn lớn cũng là đường tròn ngoại tiếp tam giác Mệnh đề nào sau đây đúng

A Điểm nằm trên B Điểm nằm trong

C Điểm nằm ngoài D Điểm là tâm của

Ta có đều nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là

Khi đó : ; Vì nên điểm nằm bên trong mặt cầu

Câu 42: Trong không gianvới hệ tọa độ cho mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng

Câu 43: Trong không gian cho ba điểm , , và là tâm

đường tròn ngoại tiếp tam giác Tính

31 3

a+ + =b c

Trang 36

Câu 44: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho ba điểm , ,

Tính đường kính của mặt cầu đi qua ba điểm trên và có tâm nằm trên mặt phẳng

Gọi tâm mặt cầu là :

Câu 45: Hai quả bóng hình cầu có kích thước khác nhau được đặt ở hai góc của một căn nhà hình

hộp chữ nhật Mỗi quả bóng tiếp xúc với hai bức tường và nền của căn nhà đó Trên bề mặt của mỗi quả bóng, tồn tại một điểm có khoảng cách đến hai bức tường quả bóng tiếp xúc và đến nền nhà lần lượt là , , Tổng độ dài mỗi đường kính của hai quả bóng

đó là:

Chọn hệ trục toạ độ gắn với góc tường và các trục là các cạnh góc nhà Do hai quả cầu đều tiếp xúc với các bức tường và nền nhà nên tương ứng tiếp xúc với ba mặt phẳng toạ độ, vậy tâm cầu sẽ có toạ độ là với và có bán kính

Do tồn tại một điểm trên quả bóng có khoảng cách đến các bức tường và nền nhà lần lượt là , , nên nói cách khác điểm thuộc mặt cầu Từ đó ta có phương trình:

Giải phương trình ta được nghiệm hoặc

Vậy có 2 mặt cầu thoả mãn bài toán và tổng độ dài đường kính là

Trang 37

❑ DẠNG TOÁN 6: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU BIẾT TÂM, TIẾP XÚC VỚI MẶT PHẲNG

Câu 46: Trong không gian , mặt cầu ( )S có tâm I −( 1; 2;1) và tiếp xúc với mặt phẳng

Ta có ( )S là mặt cầu có tâm I(1; 2; 3 − ) và bán kính R

Vì ( )S tiếp xúc với mặt phẳng ( )P : 2x+ 2y− − =z 3 0 nên ta có

( ) ( ; ) 2

Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới dây là phương trình mặt cầu

có tâm I(1; 2; 1 − ) và tiếp xúc với mặt phẳng ( )P :x− 2y− 2z− = 8 0?

S x− + y− + z+ = ( ) ( ) (2 ) (2 )2

S x− + y− + z+ =

Trang 38

( )

( ) ( )2 2 2

Chọn B

Do mặt cầu tiếp xúc với nên ta có

Câu 51: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; 1; 2− ) và mặt phẳng ( ) :x− −y 2z=3 Viết

phương trình mặt cầu ( )S có tâm M tiếp xúc với mặt phẳng ( )

Gọi là hình chiếu của trên

Mặt cầu tâm và tiếp xúc với trục có bán kính

Câu 52: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( )P có phương trình là

2x+2y− +z 16=0 Viết phương trình của mặt cầu ( )S có tâm I −( 3;1; 0), biết ( )S tiếp xúc với mặt phẳng ( )P

Vì ( )S tiếp xúc với ( )P nên ( )S có bán kính ( ( ) ) ( )

x− + y− + z+ =

Trang 39

Câu 53: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1; 2; 4) và ( )P : 2x+2y+ − =z 1 0 Viết

phương trình mặt cầu ( )S tâm I tiếp xúc với mặt phẳng ( )P

Vì mặt cầu tâm I tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ nên

trường hợp còn lại vô nghiệm

Câu 55: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho mặt cầu đi qua điểm và tiếp

xúc với các mặt phẳng , , Bán kính mặt cầu bằng

Gọi là tâm mặt cầu

Trang 40

- Với thay vào

Định dạng
Số trang	142
Dung lượng	5,97 MB