BÀI TẬP QUAN HỆ SONG SONG A.HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG : Dạng 1 : Chứng minh hai đường thẳng a và b song song : Sử dụng một trong các cách sau : Chứng minh a và b đồng phẳng và không c
Trang 1BÀI TẬP QUAN HỆ SONG SONG A.HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG :
Dạng 1 : Chứng minh hai đường thẳng a và b song song :
Sử dụng một trong các cách sau :
Chứng minh a và b đồng phẳng và không có điểm chung
Chứng minh a và b phân biệt và cùng song song với đường thẳng thứ ba
Chứng minh a và b đồng phẳng và áp dụng các tính chất của hình học phẳng (cạnh đối của hình bình hành , định lý talet … )
Cho tam giác ABC gọi M và N là 2 điểm trên AB và AC sao cho
AM
AB =
AN
AC => MN // BC
Cho tam giác ABC , gọi G là trọng tâm tam giác và M là trung điểm của BC=>
AG
AM=
2
3
MG
MA=
1 3
Thí dụ 1:
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không nằm trong cùng một mặt phẳng Gọi M trên AC và N trên BF sao cho
AM
AC=
BN
BF=
1 3
1.Chứng minh CD//EF và AB ;DM l EN đồng qui.
2.Chứng minh MN//DE.
GIẢI
2.Trong tam giác IED ta có :
IM
ID=
IN
IE=
1
3=> MN // DE Thí dụ 2:
Cho tứ diện ABCD Gọi M ,N,P,Q,R,S lần lượt là trung điểm AB ; CD; AD;BC; AC và BD
1.Chứng minh tứ giác MPNQ là hình bìh hành
2.Chứng minh MN ;PQ;RS đồng qui
GIẢI
1.CD//AB và EF//AB=>CD // EF
Gọi O ACBD=>O là trung điểm của AC và BD
AM
AC=
1
3=>
AM
AO=
2
3= > M là trọng tâm ABD
=>DM cắt AB tại trung điểm I của AB
Gọi O’ BFAE=>O’ là trung điểm của AE và BF
BN
BF=
1
3=>
AM BO'=
2
3= > N là trọng tâm ABE
=>EN cắt AB tại trung điểm I của AB
Vậy DM ; EN; AB đồng qui
1)Tam giác ABD có MP là đương trung bình
=>MP//BD và MP = BD/2
Tam giác BCD có QN là đường trung bình
=>QN // BD và QN =BD/2
=>MP//QN và MP = QN => MPNQ là hình bình hành
2)MPNQ là hình bình hành =>MN và PQ cắt nhau tại trung
điểm I của mỗi đường
Tứ giác QRPS là hình bình hành => PQ và RS cắt nhau tại
trung điểm I của mỗi đường
Tứ giác MRNS là hình bình hành => MN và RS cắt nhau tại
trung điểm I của mỗi đường
Trang 2Vậy MN ; PQ và RS cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường
Dạng 2: Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q):
–Tìm một điểm chung của 2 mặt phẳng.
–Dựa vào định lý :”Nếu 2 mặt phẳng cắt nhau và lần lượt đi qua 2 đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song hoặc trùng với một trong hai đường thẳng ấy”
Thí dụ 1:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD
1.Xác định giao tuyến của (SAD) và (SBC)
2.Xác định giao tuyến của (SAB) và (SCD).
Bài tập :
1 Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành Gọi A’ ,B’ , C’ ,D’ lần lượt là trung điểm các cạnh SA , SB , SC , SD
a Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành
b Gọi M là điểm bất kì trên BC Tìm thiết diện của (A’B’M) với hình chóp S.ABCD
2 Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy AB và CD (AB CD) Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh SA , SB
a Chứng minh : MN ∕ ∕ CD
b Tìm P = SC (ADN)
c Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I
Chứng minh : SI ∕ ∕ AB ∕ ∕ CD Tứ giác SABI là hình gì ?
3 Cho tứ diện ABCD Gọi I ,J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD.
Chứng minh : IJ ∕ ∕ CD
4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (đáy lớn AB) Gọi I, J lần lượt là
trung điểm AD và BC , K là điểm trên cạnh SB sao cho SN =
2
3 SB
a Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJK)
b Tìm thiết diện của (IJK) với hình chóp S.ABCD
Tìm điều kiện để thiết diện là hình bình hành
5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M ,N ,P , Q lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC , SC , SD ,AD sao cho MN // BS , NP // CD , MQ // CD
a Chứng minh : PQ // SA.
b Gọi K = MN PQ
Chứng minh điểm K nằm trên đường thẳng cố định khi M di động trên cạnh BC.
GIẢI 1.Giao tuyến của (SAD) và (SBC):
S (SAD) (SBC)=> (SAD) (SBC)=Sx
AD //BC =>Sx // AD //BC
Vậy giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường
thẳng qua S và song song với AD và BC
2 Giao tuyến của (SAB) và (SDC):
S (SAB) (SDC)=> (SAB) (SDC)=Sy
AB //DC =>Sy // AB //DC
Vậy giao tuyến của (SAB) và (SDC) là đường
thẳng qua S và song song với AB và CD
Trang 3B.ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG MẶT PHẲNG
Dạng 3 : Chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng () :
Phương pháp
–Tìm trong () một đường thẳng (d)
–Chứng minh (d)//(a)
–Suy ra (a)//(mp
Thí dụ 1:
Cho tứ diện ABCD gọi M ; N lần lượt là trung điểm của AD và AC Chứng minh MN//(BCD) và CD//BMN.
GIẢI
Thí dụ 2:
Cho 2 hình bình hành ABCD và ABEF khơng nằm
trong cùng một mặt phăng.Gọi O và O’ lần lượt là tâm của
ABCD và ABEF.
1.Chứng minh OO’ // (ADF) và OO’//(BCE).
2.Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và
ABE Chứng minh MN //(CDE).
GIẢI
1.Xét tam giác BDF , OO’ là đường trung bình =>OO’//DF
=>OO’//(ADF)
Xét tam giác AEC , OO’ là đường trung bình =>OO’//EC
=>OO’//(BCE)
2.DM cắt AB tại trung điểm I của AB
EN cắt AB tại trung điểm I của AB
=> ¿ { IM ID =
1
¿
¿
Dạng 4:Tìm giao tuyến của 2 mp(P) và mp(Q):
–Tìm một điểm chung của 2 mp(P) và mp(Q).
–Dựa và định lý : “Nếu 2 mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đĩ ”
Thí dụ 1:
Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là một tứ giác lồi .Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và
BD Xác định thiết diện của hình chĩp với mp đi qua O và song song với AB và SC
GIẢI
MN // CD (đường trung bình)
CD (BCD)=> MN // (BCD)
CD //MN
MN (BMN)=> CD // (BMN)
O∈(α)∩(ABCD)=>(α )∩( ABCD)=d1 (O∈d1) (AB //( α ) => d1// AB => d1∩AD={N } ; d1∩BC={M }
=>(α )∩( ABCD )=MN
M∈BC => M ∈( SBC )∩( α)=>( SBC)∩(α )=d2(M ∈d2) ;mà SC //( α)=> d2// SC ; (d2)∩SB={P}
=>(α )∩(SBC )=MP
Trang 4P∈SB => P∈(SBA )∩(α )=d3 ( P∈d3)
AB // (α )=>d3// AB=> d3∩ SA={Q}
=>(α )∩(SAB )=PQ (α )∩(( SAD)=QN
Thiết diện là tứ giác MPQN
QP//AB ; MN//AB=>QP//MN
=>MPQN là hình thang
Thí dụ 2:
Cho tứ diện ABCD , gọi M ; N lần lượt là trung
điểm của AB và AC.Tìm giao tuyến của (DBC) và (DMN)
GIẢI
D∈( DMN )∩( DBC)
=>(DMN )∩(DBC )=Dx
MN // BC (đường trung bình)
Giao tuyến là đường thẳng đi qua D và song song
với BC
Bài tập :
1 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình bình hành Gọi M ,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD
a Chứng minh MN // (SBC) , MN // (SAD)
b Gọi P là trung điểm cạnh SA Chứng minh SB và SC
đều song song với (MNP)
c Gọi G 1 ,G 2 lần lượt là trọng tâm của ABC và SBC
Chứng minh G1G2 // (SAB)
2.Cho hình chĩp S.ABCD M,N là hai điểm trên AB, CD Mặt phẳng () qua MN // SA
a Tìm các giao tuyến của () với (SAB) và (SAC).
b Xác định thiết diện của hình chĩp với ()
c Tìm điếu kiện của MN để thiểt diện là hình thang.
3 Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AD lẩy trung điểm M , trên cạnh BC lẩy trung điểm N bất kỳ Gọi ( α ) là mặt phẳng chứa đường thẳng MN và song song với CD
a Hãy xác định thiết diện của mặt phẳng ( α ) với tứ diện ABCD.
b Xác định vị trí của N trên CD sao cho thiết diện là hình bình hành
4 Cho hình thang ABCD cĩ đáy lớn AB và S là một điểm ở ngồi mặt phẳng của hình thang
Gọi M là một điểm của CD ; () là mặt phẳng qua M và song song với SA và BC
a Hãy tìm thiết diện của mặt phẳng ( α ) với hình chĩp S.ABCD Thiết diện là hình gì ?
b Tìm giao tuyến của () với mặt phẳng (SAD).
5 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là một điểm trên cạnh SC và () là mặt phẳng chứa AM và song song với BD.
a Hãy nêu cách dựng các giao điểm E, F của mặt phẳng () lần lượt với các cạnh SB, SD.
b Gọi I là giao điểm của ME và CB , J là giao điểm của MF và CD Hãy chứng minh ba điểm I,J, A thẳng hàng
