PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau với đúng với ∀ n∈ N ❑.[r]
Trang 1ÔN TÂP CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau với đúng với ∀ n∈ N❑
1/ 2+5+8+ +(3 n −1)= n(3 n+1)
2 2/ 3+9+27 + .+3
n
=3n +1 −3
2
3/ 2 n− 1¿
2
=n(4 n2− 1)
3
12
+22+32+ .+¿
4/
n+1¿2
¿
n2
¿
13+23+33+ +n3=¿ 5/ 12+22+32+ .+n2=n (n+1)(2n+1)
6 6/
1
2+
1
4+
1
8+ +
1
2n=
2n −1
2n
Bài 2: Chứng minh rằng ∀ n∈ N❑
Ta có:
1/ n3 – n chia hết cho 3 2/ n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3 3/ 2n3 – 3n2 + n chia hết cho 6 4/ 13n – 1 chia hết cho 6 5/ 4n + 15n – 1 chia hết cho 9 6/ 32n+1 + 2n+2 chia hết cho 7
Bài 3: Chứng minh rằng ∀ n∈ N❑
1/ 2n > 2n + 1 ( n ≥3 ) 2/ 3n > 3n + 1 ( n ≥2 ) 3/ 2n+1 > 2n + 3 ( n ≥2 )
4/ 3n −1>n (n+2)(n ≥ 4) 5/ 2n −3>3 n −1(n≥ 8)
BÀI TẬP VỀ DÃY SỐ Bài 1: Viết 5 số hạng đầu tiên của các dãy số sau :
a/
1
1
2
5
n n
u
u u
1 1
3
n n
u
1
u u
u u u
2
u u
Bài 2: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy số (un) với:
1/ un = 2n2 + 5 2/ u n=2 n3+3 n+1 3/ u n=1
n −2 4/ u n=n −1
n+1 5/
u n=2 −n
n
6/ u n=2 n+1
5 n+2 7/ u n=2 n2− 1
n2+1 8/ u n=
2n
n 9/ u n=
1
4n 10/
u n=√n+1 −√n
Bài 3: Cho dãy số
1 1
2 1 2
n
n
u u
u
(
∀ n≥ 1¿
a/ Viết 5 số hạng đầu của dãy b/ Chứng minh:
1
n
n u n
Bài 4: Cho dãy số
1 1
1 7
n n
u
u u
(∀ n ≥1)
a/ Viết 5 số hạng đầu của dãy b/ Chứng minh: u n 7n 6
Trang 2Bài 5: Cho dãy số
1 1
2 5
u
u u
( ∀ n≥ 1
) a/ Viết 5 số hạng đầu của dãy b/ Chứng minh:
1
2.5n n
BÀI TẬP VỀ CẤP SỐ CỘNG Bài 1: Tìm CSC biết
a/
10 8
u u
2 7
8
u u
u u
c)
10 26
u u
9 153
Bài 2: Hãy tính các tổng sau:
a/ Tổng tất cả các số hạng của 1 cấp số cộng có số hạng đầu bằng 102, số thứ 2 bằng 105, số cuối bằng 999 a/ Tổng tất cả các số hạng của 1 cấp số cộng có số hạng đầu bằng 1/3, số thứ 2 bằng -1/3, số cuối bằng -2007
Bài 3: Cho csc có d > 0: và có u13u153 302094 và tổng 15 số hạng đầu bằng 585 tìm csc đó
Bài 4: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng bình phương của
chúng bằng 120
Bài 5: Tìm 5 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 25 và tổng bình phương của
chúng bằng 165
Bài 6: Cho một cấp số cộng u n
có u5 + u19 = 90 Hãy tính tổng 23 số hạng đầu tiên của u n
Bài 7: Cho một cấp số cộng u n
có u2 + u5 = 42 và u4 + u9 = 66 Hãy tính tổng 346 số hạng đầu tiên của cấp
số cộng đó
Bài 8: Cho dãy số (un) :
¿
u1=1, u2=2
u n+ 1=2un − u n −1(∀ n ≥2)
¿{
¿ a/ Viết 5 số hạng đầu của dãy số
b/ Lập dãy số (vn) với v n=u n+1 −u n Chứng minh dãy số (vn) là cấp số cộng.
c/ Tìm công thức tính un theo n
Bài 9 : Cho dãy số
(u n):
u1=1
u n+ 1=√u n2+2(∀ n ≥1)
¿{
a/ CMR : (v n) với v n=u n2 là một cấp số cộng
b/ Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy (un)
c/ Tính tổng S = u12+u22+ +u1012
BÀI TẬP VỀ CẤP SỐ NHÂN Bài 1: Tìm CSN biết
a)
60 180
u u
u u
728 91
u u
1460 20
u u
u u
325 65
u u
Bài 2: Xác định số hạng đầu và công bội của các cấp số nhân sau:
Trang 35
9
96 192
u
u
3 5
2 6
90 240
u u
u u
20 17
3 5
8 272
u u
2 5
u u
Bài 3: Cho 5 số lập thành một cấp số nhân Biết công bội bằng ¼ số hạng đầu tiên và tổng 2 số hạng đầu
bằng 25
Bài 4 Cho tứ giác ABCD có 4 góc tạo thành 1 cấp số nhân có công bội bằng 2 Tìm 4 góc ấy
Bài 5 Một cấp số nhân có số hạng đầu là 9 số hạng cuối là 2187, công bội q = 3 Hỏi cấp số nhân ấy có
mấy số hạng
Bài 6 Xác định cấp số nhân có công bội q = 3, số hạng cuối là 486 và tổng các số hạng là 728
Bài 7 Tìm cấp số nhân có 6 số hạng, biết rằng tổng của 5 số hạng đầu bằng 31 và tổng của 5 số hạng sau
bằng 62
Bài 8 Tìm cấp số nhân có 4 số hạng, biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 27 và tích của hai
số hạng còn lại bằng 72
Bài 9: cho 3 số x, y, z, theo thứ tự lập thành 1 CSN, đồng thời chúng là số hạng đầu, số hạng thứ 3 và thứ 9
của 1 CSC Tím 3 số đó, biết tổng của chúng bắng 13
Bài 10: cho 3 số x,y,z, theo thứ tự lập thành 1 CSN với công bội q khác 1, đồng thời các số x, 2y, 3z theo
thứ tự lập thành 1 CSC với công sai khác 0 Tìm q
Bài 11: cho 3 số x,y,z, theo thứ tự lập thành 1 CSN, 3 số x, y-4, z theo thứ tự lập thành 1 CSN, và các số
x, y-4, z-9 theo thứ tự lập thành 1 CSC Tìm x,y,z
Bài 12: Cho dãy số
(u n):
u1=1
u n+ 1=5 un+8(∀ n ≥ 1)
¿{
Đặt v n=u n+2
a/ CMR: (vn) là một cấp số nhân Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó
b/ Dựa vào kết quả câu a / hãy tìm số hạng tổng quát của dãy (un)
Bài 13: Cho dãy số
(u n):
u1=10
u n+ 1=u n
5 +3(∀ n ≥ 1)
¿{
Đặt v n=u n −15
4
a/ CMR : (vn) là một cấp số nhân Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó
b/ Dựa vào kết quả câu a/ hãy tìm số hạng tổng quát của (un)
Câu 14 : Cho dãy số
(u n):
u1=1 3
u n+ 1=(n+1)u n
3 n (∀ n ≥ 1)
¿{
a/ Viết 5 số hạng đầu của dãy số
Trang 4b/ Đặt v n=u n
n CMR : (vn) là một cấp số nhân.
c/ Tìm công thức tính un theo n