[r]
Trang 1Sở GD&ĐT tỉnh Yên Bái ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II (2011-2012) Trường THPT Nguyễn Huệ Môn toán – Lớp 11 – nâng cao
(Thời gian 90 phút– không kể giao đề)
Câu 1: (2 điểm): Tính các giới hạn sau:
3
a) lim
3 n 2
2 2
x 1
b) lim
Câu 2: (1 điểm) Chứng minh rằng phương trình :
x 5 5x34x 1 0
Có ít nhất 3 nghiệm
Câu 3:(1Điểm) Tính đạo hàm của hàm số
2 5
cot( 2x-2) ( 1)
x y
x
Câu 4:(2Điểm) Cho hàm số
1
y x
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc
với đường thẳng
4 1
3 3
Câu 5(4điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SC vuông góc với đáy.SB tạo với đáy một góc 450
a)Chứng minh AB vuông góc với (SBC)
b)Mặt phẳng (SAD) vuông góc với (SCD)
c)Gọi O là tâm hình vuông ABCD,hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SO và CD
d)Gọi (α ) là mặt phẳng qua C , (α ) vuông góc với SD.Xác định thiết diện của hình chóp bị cắt bởi (α) và tính diện tích thiết diện
………Hết………
Thí sinh không được sử dụng tài liệu
Họ và tên học sinh :……… Số báo danh………
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM –MÔN TOÁN – KHỐI: 11
1
(2Điểm)
a (1 Điểm)
3
3
3
2
n
1,0
b (1,0 Điểm)
x 1
………
2
(x 3x 2)(3x 2 4x x 2) (x 1)(x 2)(3x 2 4x x 2)
………
2
x 1
lim
2
0,25
0,5
0,25
2
(1Điểm) Chứng minh rằng phương trình :
5 5x3 4x 1 0
x
Có ít nhất 3 nghiệm
Đặt f(x)= x 5 5x34x 1 0 .
Hàm số f(x) liên tục trên R.
………
Ta có :
………
Vì
3 ( 2) ( ) 0 ( ) 0
2
có ít nhất một nghiệm 1
3 2;
2
x
3 ( ) (0) 0 ( ) 0 2
có ít nhất một nghiệm 2
3
;0 2
x
1 (0) ( ) 0 ( ) 0 2
có ít nhất một nghiệm 3
1 0;
2
x
Vậy, phương trình đã cho có ít nhất 3 nghiệm
………
0,25
0,25
0,5
Trang 3(1Điểm)
Tính đạo hàm của hàm số
2 5
cot( 2x-2) ( 1)
x y
x
'
10
cot( 2 2) '.( 1) cot( 2 2) ( 1) '
( 1)
y
x
…
………
2
2 2
10 2
( 2 2) '
.( 1) 5( 1) cot( 2 2)
sin ( 2 2)
( 1)
( 1) sin ( 2 2) ( 1)
x
0,5
0,5
4
(2Điểm) TXĐ: R \ 1
Có
2 2
2x '( )
( 1)
x
f x
x
………
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M (x0; f (x0)) là:
y=f '(x0)(x − x0)+f (x0)
Đường thẳng
4 1
3 3
có hệ số góc k=
4 3
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
4 1
nên 0
4
3
f x
2
0
0 0
2
0 0
1 2x 3
3 ( 1) 4
x x
x x
……… Với x 0 1 ta có
3 (1) 2
tiếp tuyến
3 3
4 4
Với x 0 3 ta có
7 ( 3)
2
tiếp tuyến
3 5
4 4
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn đề bài:
3 3
4 4
và
3 5
4 4
0,5
0,5
0,5
0,5
Trang 4(4 điểm)
Hình vẽ
Không có hình vẽ không cho điểm
………
a) (1 điểm) :Chứng minh AB vuông góc với (SBC)
Ta có hình chiếu của SB trên mặt phẳng (ABCD) là CB do đó SBC 450
Ta có SC(ABCD) SCAB 1
(2)
SC cắt BC tại C, SC,BC nằm trong (SBC) (3)
Từ (1),(2),(3)=> AB (SBC)
………
b)(1 điểm)Mặt phẳng (SAD) vuông góc với (SCD)
.Vì
D ( D) D
}
⇒(SAD)⊥(SC D)
………
c)(1 điểm)Gọi O là tâm hình vuông ABCD,hãy tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng SO và CD
.Gọi I là trung điểm của BC ,OI là đường trung bình của tam giác BCD nên CD//IO
do đó CD//(SIO)
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
I
O
F E
D C
S S
J
Trang 5.d(SO;CD)=d(CD;(SIO))=d(C;(SIO))
vì
( )
.Gọi J là hình chiếu của C lên SI, khi đó
( )
Từ đó: CJ=d(C;(SIO)
Tam giác SCI vuông tại C : 2 2 2 2 2 2
5
a CJ
Vậy : d(SO;CD)= 5
a
………
d) (1 điểm) Gọi (α ) là mặt phẳng qua C , (α ) vuông góc với SD.Xác định thiết
diện của hình chóp bị cắt bởi (α) và tính diện tích thiết diện
.Gọi E là hình chiếu của C trên SD.tam giác SCD vuông cân tại C nên E là trung
điểm của SD
Mặt phẳng (α ) đi qua C và vuông góc SD Ta có CESD CE( )
Mà
D
.Vì
D
D ( D) ( ) / / D D
Từ đó:
( ) ( D)
( ) ( D) EF//AD ( ) ( ) / / D
.Ta thấy :
( D) ( D)
EF / / D
EF ( D) EF
D ( D)
A
Vậy thiết diện là hình thang vuông BCEF
.Diện tích thiết diện là
S= 12(BC +EF) CE + CE=a2√2 ; EF=2
a
;BC=a
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
Trang 6Do đó S= 1
2(a+
a
2)
a√2
2 =
3√2 a2 8
0,25 ( Chú ý : Mọi cách giải khác đúng vẫn cho tối đa điểm)