Chứng minh các tiếp tuyến của (E) tại Nvà M vuông góc với nhau 3.. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đoạn thẳng MN.[r]
Trang 1Đề thi Học sinh giỏi lớp 12
Năm học 95-96
Câu 1: Giải hệ phương trình :
¿
x2+1=2 y
y2+1=2 x
¿{
¿
Câu 2: Cho bất phương trình : m√x2− 2 x +17 −(2 m+1)4√x2− 2 x +17+ m+1>0 (1)
1.Giải phương trình (1) với m = 1
2.Với giá trị nào thì bất phương trình (1) : a.Nghiệm đúng với mọi giá trị x ? b.Có nghiệm ?
Câu 3: Cho parabol y = 0,5x2 và một điểm M(x0 ,y0) với y0 < 0,5 x0 Các tiếp tuyến kẻ từ M tới parabol tiếp xúc với parabol tại N1(x1,y1 ) và N2(x12,y2 )
1 Chứng minh : y0 + y1 = x0x1 ; y0 + y2 = x0x2
2 Giả sử rằng M chạy trên đường thẳng y = - 0,5 Chứng minh khi đó đường thẳng N1N2 đi qua một điểm cố định Tìm toạ độ của điểm cố định đó
Câu 4: Cho đường tròn có pt: x2 + y2 = R2 ( R 0 ) , ABCD là một hình thoi ngoại tiếp đg tròn M ( Rcosa ; Rsina) ; N (Rcosb; Rsinb) (với sin( a – b ) khác 0) lần lượt là tiếp điểm của các cạnh AB và BC với đường tròn
1 Viết phương trình các cạnh của hình thoi ABCD Tính diện tích hình thoi theo R ; a ; b
Với n = 1,2,3 Tìm giới hạn nếu có của S n khi n →+∞
Năm học 96-97
Câu 1: 1 Lập bảng biến thiên ( không vẽ đồ thị ) của hàm số y=2x4+(1 – 2x )4
2 Giải phương trình : 2x4 +( 1- 2x)4= 1
27
Câu 2: Cho elip (E) có phương trình x
2
9+
y2
4 =1
1 Lập phương trình các tiếp tuyến kẻ từ M ( 0; √13¿ tới (E) Xác định góc của 2 tiếp tuyến đó
2 Tìm tập hợp các điểm N sao cho các tiếp tuyến kẻ từ N tới (E) vuông góc với nhau
cos A+cos B+cos C=cos(A+2 B3 )+cos(B+2C3 )+cos(C +2 A3 )
1 Cho hệ phương trình :
¿
x3+2=m.√3 my −2
y3
+2=m √3mz −2
z3+2=m.√3 mx− 2
¿{ {
¿
Năm học 97-98
Câu 1: Cho hàm số : f(x) = x3 –12x-20 (1)
1 Khảo sát , lập bảng biến thiên ( không vẽ đồ thị ) của hàm số (1)
2 Tính f( √34+3
√16)
3 Chứng minh: 369 34 316 370
Trang 2Câu 2: Cho hệ phương trình :
¿
x2−2 x ≤ m− 1
x2− 4 x ≤ 1 −4 m
¿{
¿
Học sinh được chọn một trong hai câu 3a , 3b sau:
Câu 3a: Cho A(x0,y0) là một điểm bất kì thuộc đường tròn x2+y2=25 (E) là elíp có phương trình : x2
16+
y2
9 =1
1 Chứng tỏ rằng A nằm ngoài (E)
2 Chứng minh từ A ta có thể kẻ được haitiếp tuyến của (E) và hai tiếp tuyến đó vuông góc Gọi tiếp điểm của 2 tiếp tuyến đó với (E) là B và C
3 Giả sử h là khoảng cách từ A đến đường thẳng BC Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của h
Câu 3b: Cho ABCDlà một tứ diện đều với các cạnh bằng 1 Hai điểm M và N chuyển động trên các cạnh AB và AC
1 Chứng minh tnp(DMN)luôn đi qua một đường thẳng cố định
3 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất thể tích V của tứ diện ADMN
Câu 4:Cho các số a,b,c thoả mãn : 0 a , b , c ≤ 2 và a + b + c =3
1 Chứng minh : a4+ b4 + c4 17
2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : a1997+ b1997 + c1997
Năm học 98-99
Câu 1: Cho hàm số : y = - 4x3 + 3x (1)
1 Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến của hàm số (1) và tìm điểm cực đại , cực tiểu của đồ thị hàm số đó
2 Chứng minh bất đẳng thức : 13<sin 200<26
75
Câu 2: Cho phương trình cos[π8(3 x −√9 x2+160 x+800) ]=1(2)
1 Giải phương trình (2)
2 Tìm tất cả các nghiệm nguyên của (2)
H c sinh ọ đượ c ch n 1 trong 2 câu 3a ho c 3b d ọ ặ ướ đ i ây
2
16+
y2
trong đó α ; β thay đổi thoả mãn hệ thức : 9 cos α cos β+16 sin α sin β=0
1 Chứng minh các điểm MvàN đều thuộc (E)
2 Chứng minh các tiếp tuyến của (E) tại Nvà M vuông góc với nhau
3 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đoạn thẳng MN
H ∈ mp(ABC)
SH2=
1
SA2+
1
SB2+
1
SC2
3 Giả sử SA = a , SB = b , SC = c thay đổi sao cho ab + bc + ca không đổi Tìm GTLN của đoạn thẳng SH Câu 4: A,B,C là 3 góc của một tam giác bất kì Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
P = cos A + cos B + cos C +
1 sin A
2 +sin
B
2+sin
C
2 năm 1999-2000
Câu1(6đ): Cho hàm số : y=xlnx (1)
1 Tìm tập xác định và khoảng đồng biến nghịch biến và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2 ln x ≥−
1
e x lnx khi x > 0
Trang 33 Tính đạo hàm của hàm số f(x)=
0 khi x=0
Câu2( 4đ): Giải bất phương trình sau: log3(x2+1)+ log5(x4+1) 0
Câu3a(6đ):
Giả sử A (x0; y0 ) là một điểm bất kỳ thuộc đường tròn x2 + y2 =25; (E) là elip có phương trình : x2
16+
y2
9 =1
a Chứng minh từ A có thể kẻ được hai tiếp tuyến tới (E) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau Gọi tiếp điểm của chúng là B và C
b Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của diện tích tam giác ABC
Câu 3b(6đ):Tứ diện ABCD chỉ có cạnh AD lớn hơn 1 đặt BC =x dựng DH và AK vuông góc với BC ( H ,K đều thuộc cạnh BC )
2
4 .
3 Tìm x để thể tích V của tứ diện ABCD là lớn nhất
Câu 4(4đ): Cho phương trình : x4 = 4 4
√4 x +1+1 (2)
1 Giả sử x0 là nghiệm của phương trình (2) chứng minh x0 > 1
2 Giải phương trình (2)
Năm học 2000-2001
Câu1 Cho hàm số : F(x) =
3
( 1)
khi x 1 1
a khi x=1
x x
của a tìm được tìm F’(1)
Câu 2 : Cho tam giác ABC biết rằng trên mặt phẳng (ABC) có điểm M sao cho MA=1 ;MB=MC=6 gọi S là diện tích tam giác ABC Chứng minh rằng : S 10√5 dấu bằng xẳy ra khi nào ?
Câu3: Cho A’(-a;0); A(a;0)và elip có phương trình (E): x
2
a2+
y2
b2=1 Với a > b > 0 Trên (E) lấy điểm M bất kỳ
tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác MA A’ khi điểm M di chuyển trên (E)
Câu 4 : iải hệ sau : sinx + 1
sin y = siny +
1 sin 2000 = sin 2000 +
1
sin x .
Câu 5 : Cho hai phương trình sau : 3 (x2+a2 ) =1 - (9a2- 2)x (1); x +(3a -2 )2 3x =(8a -4)log3(3a - 1/2) - 3 x3 (2) Tìm a để số nghiệm của phương trình (1) không vượt quá số nghiệm của (2)
Năm học 2001-2002
Câu1 :Giải hệ phương trình sau x.2x-y+1 + 3y 22x+y =2
2x 22x+y + 3y 8x+y =1
Câu 3 :Gọi A,B,C là ba góc của tam giác ABC
b Xác định các giá trị của A,B,C để biểu thức sau đạt giá lớn nhất T=(1+ tg A
B
C
2 )
1+m x +
1+ m¿2
¿ (m− 1)(3+m)
¿
với m >0 Tìm tất cả các điểm mà qua mỗi điểm đó có đúng hai đường thẳng của họ đi qua và hai đường thẳng này vuông góc với nhau Câu5: không dùng máytính so sánh hai số sau A =log20002001 và B= log 20012002
Trang 4Năm học 2002-2003
Câu1: Cho hàm số : f(x) = x3 – 3x2 –7x + 6 (1)và M(x0;y0)là điểm thuộc đồ thị hàm số(1) Tiếp tuyến tại M của đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại A và cắt trục tung tại B Tìm toạ độ của M sao cho các điều kiện sau đồng thời được thoả mãn :
1 Hoàng độ của A là số dương
2 Tung độ của B là số âm
3 OB = 2OA ( O là gốc toạ độ
Câu2: 1 Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình : cosx2 cos ( x2 2x1)
Câu3: Cho 2 họ đường tròn có phương trình : (Cm): x2+y2-2mx+2(m+1)y-1=0; (Km): x2+ y2-x+(m-1)y+3=0
1 Tìm trục đẳng phương của đường tròn
2 Chứng minh rằng khi m thay đổi , trục đẳng phương luôn đi qua một điểm cố định
Câu4 : Giả sử tham số a thuộc đoạn [0; ]4
và hàm số ; f(x) = 3x4 + 4x3 (cosa – sina)-3x2 sin2a xác định trên [-sina ; cosa] Tìm a để giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt giá trị lớn nhất
Năm học 2003-2004
Câu1 (5đ):Giải bất phương trình sau : (3x -2x-1)( √x+3 − 2¿ >0
Câu 2(6đ):
1 Cho phương trình : x6 +3x5 -6x4 + a x3 - 6x2 +3x+1 =0 tìm a để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt
2 Chứng minh rằng với mọi giá trị của m hệ luôn có nghiệm (x ; y): mx -2y >m
Câu3 (6đ): Trong không gian cho hai đường thẳng d1,d2 sao cho 0x ,d1,d 2 đôi một chéo nhau và vuông góc với nhau
1 Xét đường thẳng d bất kỳ đi qua 0 gọi α , β , δ thứ tự là góc giữa d với các đường 0x ,d1,d
2 Biết rằng khoảng cách giữa ba đường thẳng bất kỳ trong ba đường 0x ,d1,d 2 cùng bằng 2 đơn vị độ dài một hình hộp ABCD.A’B’C’D’ thoả mãn : B’ và d thuộc 0x ; A’ và C’ thuộc d1;A và D’ thuộc d2 Tính thể tích hình hộp ABCD,A’B’C’D’
Câu 4(3đ):Cho a,b dương chứng minh rằng : (a + 1)ln(a+1) + eb (a +1) (b+1)
Năm học 2004 - 2005
Câu I ( 6 điểm) Cho hàm số f(x) = 2mx x2 2x2m , với m là tham số
1) Khi m =
3 2
; hãy tìm khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số
2) Xác định m để hàm số nghịch biến trên R
Câu II ( 4 điểm) Tính tích phân I =
2 1
1
1
x
dx
Câu III (7 điểm)Trên mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy; cho đường parabol (P) có phương trình: y = x2 và đường tròn (C) có phương trình: x2 + y2 – 2x – 6y + 1=0
1) Chứng minh rằng (P) và (C) có đúng 4 giao điểm phân biệt
2) Cho điểm A(1, 6) thuộc đường tròn (C) Hãy lập phương trình đường tròn đi qua điểm M( 2, - 1) và tiếp xúc với đường tròn (C) tại điểm A
3) Giả sử đường thẳng (d) thay đổi đi qua điểm A sao cho (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt T1 , T2 Gọi (d1) , (d2) thứ tự là tiếp tuyến của (P) tại tiếp điểm T1 , T2 Biết rằng (d1) cắt (d2) ở điểm N; hãy chứng minh điểm N nằm trên một đường thẳng cố định
Câu IV (3 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực x thuộc khoảng ( 0 ; 2 1
) ,
ta đều có: 3cos sin(x x1) 3cos(x1).sinx3cos cos(x x1)