11GT c4 ON TAP CHUONG 4 tiet 1 mai quốc tuấn mathtype

 Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn... 3/ Hàm số liên tụcĐịnh lí 1 Các hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ, các hàm số lượng giác liên tục trên các khoảng xác định của

Ngày soạn: Ngày dạy:

GIẢI TÍCH Chương 4: GIỚI HẠN

ÔN TẬP CHƯƠNG (tiết 1) I/ TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1/ Giới hạn của dãy số

Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số  u n có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu u n

có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi

Kí hiệu: limn u n 0

hay limu  hay n 0 u  khi n   n 0

Một vài giới hạn đặc biệt

a) limu n  0 limu n  ; hay lim0 00  ;

b)

1

1

1

n  ;

c) limq  nếu n 0 q 1; lim c c 

d) Cho hai dãy số  u n và  v n

Nếu u n  với mọi v n nvà limv  thì lim n 0 u  n 0

e) lim n  với k nguyên dương và k lim qn q 1 

Định lí về giới hạn hữu hạn

a) Nếu limu n  và lima v n  và b c là hằng số Khi đó ta có :

 limu nv n   a b  limu n  v n  a b

 limu n.vn a b lim n , 0

n

b

 lim c u nc a

và lim3u n 3a

 Nếu u  với mọi n 0 n thì a  và 0 lim u n  a

b) Cho ba dãy số    u n , v n và w n Nếu u n v n w n,n

và

limu n limw n a a,   thì limv n  (gọi định lí kẹp).a

c) Điều kiện để một dãy số tăng hoặc dãy số giảm có giới hạn hữu hạn:

 Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn

 Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn

2/ Giới hạn của hàm số

Giới hạn đặc biệt

lim k

x x

(với k nguyên dương)

lim k

x x

(với k lẻ)

lim k

x x

(với k chẵn)

Định lí về giới hạn hữu hạn

x x f x L x x g x M

, khi đó:

0

lim

x x f x g x L M

0

x x f x g x L M



 

  0

lim

x x

(với M  )0

 Nếu f x   thì 0, x L  và 0 0  

lim

Quy tắc tính giới hạn của tích

Quy tắc tính giới hạn của thương

  0

lim

x x f x

0

lim

x x g x

0

x x f x g x



0

L 

0

L 

 

0

lim

x x f x

0

lim

x x g x



Dấu

  0

lim

x x

f x

g x



0

0

3/ Hàm số liên tục

Định lí 1

Các hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ, các hàm số lượng giác liên tục trên các khoảng xác định của chúng

Định lí 2

 ,  

yf x y g x

liên tục tại x khi đó0,

 yf x g x 

vàyf x g x   

liên tục tại x0



 

 

f x

y

g x



liên tục tại x nếu 0 g x  0 0

Định lí 3

Hàm số yf x 

liên tục trên a b; 

và f a f b     0

 phương trình f x   0

Có ít nhất 1 nghiệm x0a b; 

Hàm số liên tục trên khoảng/đoạn

Hàm số f x  liên tục trên khoảng K  f x 

liên tục tại mọi điểm thuộc K

Hàm số f x  liên tục trên đoạn a b;   f x 

liên tục tại trên khoảng a b;  và

lim ; lim

x a f a x b f x f b



Hàm số liên tục tại 1 điểm

Cho hàm số f x 

xác định trên khoảng K

 

f x

liên tục tại điểm    

0

x x



II/ CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

1 Giới hạn dãy số hữu tỉ

 

 

n

f n u

g n



2 Giới hạn dãy số chứa mũ – lũy thừa n

3 Giới hạn của dãy số có chứa căn

4 dạng vô định   

5 Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

BÀI TẬP LUYỆN TẬP (Giới hạn dãy số)

Bài 1 (Bài tập 3 SGK, trang 141)

3 1

lim

2

n

A

n





lim

n N

n







3 5.4

lim

1 4

n



Bài giải

2

2

2

lim

l

3

2 1

3

2 2

2

2

2

7 7

3 5.4

lim

1 4

1

n

A

n n

n

N

n

n

n n

O









 









3

5

4 4

n n

n

n n

n

 



 

 

 

 

Mã hóa 1530 được dịch thành HOAN Tên học sinh là Hoan

Bài 2

Tính các giới hạn sau:

   2 

3

) lim

a

  b) lim 2n2 3n

Bài giải

   2  2

3

a

n



Bài 3

Tính các giới hạn sau:

a  n  n  b) lim 3 n 2n2 n 4 c) limn2 n 4n1

Bài giải

3

n n

lim 4

n n

2

n n

Vì lim n  và

2

n n

2

n n

Vì

2

2

n n

2

n n

Bài 4

1 2 3

lim

1

n n

   





Bài giải

Ta có

 1 2

1 2 3

Do đó

2

2

1 1

2

n







Bài 5

Tính tổng

3 9 27

Bài giải

Dãy

là cấp số nhân với 1

1 1,

3

Do đó

1

1

3

u S

q

  

Bài 6

Cho dãy số

1

2 :

n

u u







Bài giải

Cách 1:  Giải tự luận

* Tìm số hạng tổng quát của u n

Đặt u n v n1 *  u n1 v n11

Khi đó u n12u n1 v n1 1 2v n 2 1 v n12v n

Suy ra  v n

là cấp số nhận 1.2n 1 1.2n 1 2n 1

n

Thay vào  *

, ta được u n 2n1 1

1

1

2



Do lim 2n1 và 1

1

2n

Cách 2:  Sử dụng MTCT

Bấm dãy phím

Màn hình sẽ hiển thị

Sau đó bấm phím liên tục

Nhận thấy kết quả tăng lên rất nhanh  limu n 

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1

Cho hai dãy số  u n

và  v n

Biết limu n  và lima v n  Chọn khẳng định sai.b

A

lim n

n

v b

B. limu nv n  a b

C. limu n1 a 1

D. limu n v n  a b

Bài giải

Chọn A.

Theo định lí về giới hạn hữu hạn, ta có đáp án B và D đều Đúng

.lim n 1 lim n lim1 1

C u   u     Đáp án C Đúnga

.lim n

n

A

v b chỉ đúng nếu b   Đáp án A sai0.

Câu 2

Cho hai dãy số  u n

và  v n

Biết limu  và lim n 3 v  Chọn khẳng định đúng n

A

lim n

n

u

v 

B.

lim n 0

n

u

v 

C. lim u v  n n

D.

1

lim n

n

u

v





Bài giải

Theo quy tắc tính giới hạn vô cực của dãy số, ta thấy đáp án C đúng

Chọn C

1 lim n 0,lim n ,lim n 0



Câu 3

Tính giới hạn

1 1

lim

n n









A 4 B 0 C   D 1

Bài giải

Cách 1:  Giải tự luận

1

3

4

lim

3

4

3

4 4

3

4

n

n

n

n

n

n

n

n













 



 

 

 



 

 

Chọn A

Cách 2:  Sử dụng MTCT

Nhập vào biểu thức

Bấm phím CALC X chọn ? X 50 (Vì x là số mũ, nên chọn 100 )

Kết quả

Câu 4

Cho dãy số

1

2 :

n

u u





A limu  n 1 B limu  n 2 C limu  n 2 D limu  n

Bài giải

Sử dụng MTCT

Bấm dãy phím

Màn hình sẽ hiển thị

Sau đó bấm phím liên tục

Nhận thấy kết quả tiến dần đến 2 limu n 2Chọn B.

Câu 5

Tính giới hạn 2

lim

n





A 5 B 3 C 2 D.0 Bài giải

Cách 1:  Giải tự luận

Ta có 3sin 4cos 5 3sin 4cosn 5 cos sin sin cos  5sin 

Suy ra 0 3sin n 4cosn5





Cách 2: Sử dụng MTCT

Nhập vào biểu thức

(thay n bằng X )

Bấm phím CALC ?X chọn X 100000

n



Câu 6

Tính giới hạn lim 2 n243

Bài giải

3

Vì

3 6

2

4 limn 2

n

3

2

4

n

Chọn B

Câu 7

Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,444… dưới dạng một phân số

A

4

0, 444

99



B.

4

0, 444

7



4

0, 444

9

D.

4

0, 444

11



Bài giải

Cách 1:  Giải tự luận

0, 444 0, 4 0, 04 0,004    

Dãy số 0, 4;0, 04;0, 004; là cấp số nhân lùi vô hạn với u 1 0, 4,

0, 444 0, 4 0,04 0,004

0, 4 4

1 0,1 9



Chọn C

Cách 2: Sử dụng MTCT

Bấm dãy phím

Kết quả

DẶN DÒ

1 Xem lại các dạng bài tập về giới hạn hàm số

2 Xem lại phương pháp xét tính liên tục của hàm số tại 1 điểm