kiến thức và bài tập+đáp án hình học vecto

Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đường trịn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam giác và I là tâm đường trịn đi qua các trung điểm của ba cạnh tam giác... a/ Chứng minh rằng: I là trọng

TrÇn §øc Duy_§t: 0988762644

CHUYÊN ĐỀ : VEC – TƠ

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ :

1/Định nghĩa:

nhau.

2/ Tổng của hai vec tơ:

Khi đó: AC gọi là tổng của a và b Ký hiệu : AC a b  

a

Phép toán tìm tổng của hai véctơ còn được gọi là phép cộng véctơ

3/ Hiệu của hai vec tơ:

véctơ đối của véctơ a Ký hiệu véctơ đối của véctơ a là: - a



Phép toán tìm hiệu của hai véctơ còn được gọi là phép trừ véctơ

4/ Tích của một số với một vec tơ:

A

B

C

TrÇn §øc Duy_§t: 0988762644

5/ Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A , B , C tùy ý:

 AB BC AC   

(qui tắc cộng)

 AB - AC CB

(qui tắc trừ) 6/ Qui tắc hình bình hành:

Tứ giác ABCD là hình bình hành AB AD AC 

7/ Các ứng dụng:

a) I là trung điểm đoạn AB :

 IA IB 0

 MA MB 2MI

(Với mọi điểm M) b) G là trọng tâm của tam giác ABC :

 GA GB GC  0

 MA MB MC    3MG

(Với mọi điểm M)

c) a và b ( b0) cùng phương  k / a =kb

d) A, B, C phân biệt thẳng hàng  k≠0 / AB =k AC .

D

A

TrÇn §øc Duy_§t: 0988762644

B.BÀI TẬP:

1) Phương pháp : AB AB



Ví dụ: Cho hình vuơng ABCD cạnh a và điểm E sao cho DB CE

Gọi I là trung điểm đoạn CE

a) Tính DE



2

Giải:

a) Xét tứ giác DBEC: Vì DB CE

(gt) nên DBEC là hình bình hành Gọi O là giao điểm của DE và BC thì O là trung điểm của DE và BC

2



Xét tam giác vuơng DCO, ta cĩ:

2

b) Vì DBEC là hình bình hành nên BE=DC=a

BI là trung tuyến ứng với cạnh huyền CE

1 2

   

2) Phương pháp xác định và tính độ dài của a+ b, a-b:

1/ Xác định: a+ b= AB , a- b=CD

2/Tính độ dài các đoạn AB, CD: Gắn AB, CD vào các đa giác đặc biệt: tam giác vuơng, tam giác đều, hình vuơng, … để tính cạnh của nĩ hoặc bằng phương pháp tính trực tiếp.

3) Các ví dụ:

Bài1: Chứng minh rằng: | a+ b|  | a|+| b|

Giải:

C là 3 đỉnh của tam giác nên AC< AB+BC

a|+|b|

| a+ b| < | a|+|b|

| a|+|b|

B

DẠNG1 : XÁC ĐỊNH VÀ TÍNH ĐỘ DÀI CỦA VEC TƠ

TrÇn §øc Duy_§t: 0988762644

Bài 2: Cho tam giác đều ABC, cạnh a Tính :

a) | AB AC

 

| b) | AB AC

 

| Giải:

 

| =?

 

: Vẽ hình bình hành ABEC, Theo qui tắc

 

 

Vì ABEC là hình bình hành mà AB=ACnên ABEC là hình thoi

2

 

| = a 3

 

4) Bài tập tương tự:

2/ Cho hình vuơng ABCD cạnh a, O là giao điểm hai đường chéo Tính :OA CB AB DC CD DA                                           ,                                            , 

AB AD BA BC OB DC  

1) Phương pháp:

Dùng các quy tắc ba điểm tìm tổng, hiệu của hai vec tơ, tìm vec tơ đối, … để thực hiện một trong các cách sau:

C 1 : Biến đổi vế này thành vế kia

C 2 : Biến đổi cả hai vế của đẳng thức để được hai vế bằng nhau.

C 3 : Biến đổi đẳng thức cần CM đĩ tương đương với một đảng thức vec tơ được cơng nhận là đúng.

2) Các ví dụ:

VD1:

Cho bốn điểm A, B, C, D bất kỳ Chứng minh rằng: AC DB AB DC    

(1) Giải:

C1: Biến đổi vế trái: AC DB AB BC DB AB DC     

C2:Biến đổi vế phải: AB DC AC CB DC AC DB        

C3: Ta cĩ : (1)  AC AB DC DB    BC BC

là đẳng thức đúng.

Vậy (1) được chứng minh

VD2:

Cho G là trọng tâm tam giác ABC Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC và CA

Giải: Biến đổi vế trái:

0

DẠNG2 : CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VEC TƠ

A

E

TrÇn §øc Duy_§t: 0988762644

3) Bài tập tương tự:

Bài1:Cho bốn điểm A, B, C, D bất kỳ Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của đoạn AB, CD,

MN.CMR:

b)IA IB IC ID   0

c) OA OB OC OD   4OI

Bài

Bài

CA Chứng minh rằng :

a)AN BP CM   0

b)GM GN GP    0 c)Tam giác ABC và tam giác MNP cĩ cùng trọng tâm

Bài 5: Cho hình bình hành ABCD Chứng minh:

b/ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD Chứng minh: 2MN  AC  BD BCAD

Bài 6: Cho tam giác ABC Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đường trịn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam giác và I là tâm đường trịn đi qua các trung điểm của ba cạnh tam giác CMR:

1) Phương pháp:

Sử dụng tính chất: Cho ,a b không cùng phương, x, ,k hR/x ka hb  

Hoặc các quy tắc ba điểm , quy tắc hình bình hành , tính chất trung điểm đoạn thẳng, tính chất trọng tâm tam giác.

2) Ví dụ:

Giải:

Vì K, M lần lượt là trung điểm của BC và AC nên ta có:

2AKAB AC  ; 2BM BA BC

2 (1)

2 (2)



 



(3)

(4)

(5)

BC u v BC u v

(6)

AB u v

3) Bài tập :

DẠNG3 : PHÂN TÍCH MỘT VEC TƠ THEO NHIỀU VEC

TƠ

TrÇn §øc Duy_§t: 0988762644

Bài

1 :Cho tam giác ABC Gọi I là trung điểm của cạnh BC, K là trung điểm của BI.

Bài 2 : Tam giác ABC, M là trung điểm của cạnh BC Phân tích AM theo BA và CA

Bài 3 : Cho tam giác ABC Gọi I là điểm thỏa mãn điều kiện IA 2IB 3IC 0

a/ Chứng minh rằng: I là trọng tâm tam giác BCD, trong đĩ D là trung điểm cạnh AC

Bài

4 : Cho t/giác ABCD cĩ M, N, P, Q theo thứ tự là các t/điểm của AD, BC, DB, AC CMR:

2

1

2

1

Bài 5: Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường trịn tâm O Hãy xác định các điểm M, N, P sao

 

 

 

Hướng dẫn:

Các điểm M, N, P tương ứng là các điểm đối xứng của C,A,B

Bài 6: Cho tam gíac OAB Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OA, OB Tìm các số m, n sao cho:

a) OM mOA nOB   

2

/

2

/

/

2

1) Phương pháp: Sử dụng các tính chất:

 Ba điểm A B C thẳng hàng AB và AC cùng phương  AB k AC

.

 Nếu AB kCD

và hai đường thẳng AB, CD phân biệt thì AB // CD 2) Ví dụ :

Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC và trung tuyến AM Gọi I là trung điểm của AM và K là điểm trên

Giải: Đặt u             BA v , BC

ta phân tích BK và BI theo hai vec tơ , u v

BK BA AK

=

= (1)

C B

A

DẠNG4 : CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, HAI ĐƯỜNG

THẲNG SONG SONG.

1

( ) 3

     

1

3

                               

1 3

u     AC

3 u  3 v

1

2

1 1 1 1

( )

2 u 2 v 2 u 4 v

       

1

3



TrÇn §øc Duy_§t: 0988762644

Từ (1) và (2) 

Vậy 3BK  4BI

hay

Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC Hai điểm M, N được xác định bởi các biểu thức :

Chứng minh : MN // AC.

Giải: Ta có: BC MA AB NA    3AC 0

 BC AB MA AN    3AC 0

 AC MN  3AC0

 MN 2AC

Vậy MN cùng phương với AC.

Theo giả thiết ta có BC AM

, mà A, B, C không thẳng hàng nên ABCM là hình bình hành.

 M  AC và MN // AC

3) Bài tập tương tự

Bài 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I là điểm đối xứng với A qua B, J là điểm trên cạnh

Bài 2: Gọi G, O, H lần lượt là trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm tam giác ABC

Chứng minh G, O, H thẳng hàng

HD: Gọi D là trung điểm của cạnh BC; A’ là điểm đối xứng với A qua O

CM: BHCA’ là hình bình hành

(OD là đường trung bình của ∆AHA’, tính chất của trọng tâm tam giác)

Bài 3: Cho tam giác ABC Gọi D, I là các điểm xác định bởi các hệ thức:

b) Chứng minh ba điểm I, A và D thẳng hàng

1) Phương pháp:

Giải:

1 3

3

3

3) Bài tập:

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Dựng điểm M sao cho : 4MA3MB2MC MD 0

Bài 2: Cho tam giác ABC Hãy xác định các điểm M, N, P sao cho:

4 3

2 u v                                            3  BK u v  , 2                  4 BI

DẠNG5: DỰNG MỘT ĐIỂM THỎA MÃN MỘT ĐẲNG

THỨC VEC TƠ

TrÇn §øc Duy_§t: 0988762644

Bài 3:Cho tam giác ABC và M là một điểm tùy ý Hãy dựng điểm D sao cho

CD MA    MB MC

HD: Biến đổi MA  2MB 3MC MA MC    2MB MC CA2CB

Bài 4: Cho hai điểm A, B phân biệt Hãy xác định các điểm P, Q, R biết :

2PA3PB0; 2 QA QB 0; RA 3RB0

Bài 5:Cho tứ giác ABCD Tìm điểm M thỏa mãn đẳng thức:

HD: Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC

BµI TËP VỊ NHµ

D¹ng 1

2/ Cho hình vuơng ABCD cạnh a, O là giao điểm hai đường chéo Tính :OA CB AB DC CD DA                                           ,                                            , 

TrÇn §øc Duy_§t: 0988762644

AB AD BA BC OB DC  

     

D¹ng 2

Bài1:Cho bốn điểm A, B, C, D bất kỳ Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của đoạn AB, CD,

MN.CMR:

a) AB CD AD CB    

b)IA IB IC ID      0



c) OA OB OC OD      4OI

Bài

Bài

CA Chứng minh rằng :

a)AN BP CM   0

b)GM GN GP  0

c)Tam giác ABC và tam giác MNP cĩ cùng trọng tâm

Bài 5: Cho hình bình hành ABCD Chứng minh:

b/ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD Chứng minh: 2MN  AC  BD BCAD

Bài 6: Cho tam giác ABC Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đường trịn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam giác và I là tâm đường trịn đi qua các trung điểm của ba cạnh tam giác CMR:

D¹ng 3

Bài

1 :Cho tam giác ABC Gọi I là trung điểm của cạnh BC, K là trung điểm của BI.

Bài 2 : Tam giác ABC, M là trung điểm của cạnh BC Phân tích AM theo BA và CA

Bài 3 : Cho tam giác ABC Gọi I là điểm thỏa mãn điều kiện IA 2IB 3IC 0

a/ Chứng minh rằng: I là trọng tâm tam giác BCD, trong đĩ D là trung điểm cạnh AC

Bài

4 : Cho t/giác ABCD cĩ M, N, P, Q theo thứ tự là các t/điểm của AD, BC, DB, AC CMR:

2

1

2

1

Bài 5: Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường trịn tâm O Hãy xác định các điểm M, N, P sao

 

 

 

Hướng dẫn:

Các điểm M, N, P tương ứng là các điểm đối xứng của C,A,B

C B

A

TrÇn §øc Duy_§t: 0988762644

Bài 6: Cho tam gíac OAB Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OA, OB Tìm các số m, n sao cho:

a) OM mOA nOB   

2

/

2

/

/

2

D¹ng 4

Bài 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I là điểm đối xứng với A qua B, J là điểm trên cạnh

Bài 2: Gọi G, O, H lần lượt là trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm tam giác ABC

Chứng minh G, O, H thẳng hàng

HD: Gọi D là trung điểm của cạnh BC; A’ là điểm đối xứng với A qua O

CM: BHCA’ là hình bình hành

(OD là đường trung bình của ∆AHA’, tính chất của trọng tâm tam giác)

Bài 3: Cho tam giác ABC Gọi D, I là các điểm xác định bởi các hệ thức:

3DB  2DC              0;IA3IB 2IC0

b) Chứng minh ba điểm I, A và D thẳng hàng

D¹ng 5

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Dựng điểm M sao cho : 4MA3MB2MC MD 0

Bài 2: Cho tam giác ABC Hãy xác định các điểm M, N, P sao cho:

Bài 3:Cho tam giác ABC và M là một điểm tùy ý Hãy dựng điểm D sao cho

HD: Biến đổi MA  2MB 3MC MA MC    2MB MC CA2CB

Bài 4: Cho hai điểm A, B phân biệt Hãy xác định các điểm P, Q, R biết :

2PA3PB0; 2 QA QB 0; RA 3RB0

Bài 5:Cho tứ giác ABCD Tìm điểm M thỏa mãn đẳng thức:

HD: Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC