BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ LỚP ĐẠI SỐ Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài 1 BẤT ĐẲNG THỨC LỚP 10 NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC I CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG ĐỊ
Trang 1BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ
LỚP
ĐẠI SỐ
Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1 BẤT ĐẲNG THỨC
LỚP
10
NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
I
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG ĐỊNH NGHĨA
II
BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN
III
BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI
IV
BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
V
Trang 2BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ
LỚP
CÁC DẠNG TOÁN
GTLN (Max) GTNN (Min)
Chứng minh
BĐT
Biến đổi tương đương
Dùng BĐT phụ
(Côsi, Bunhiaxcopki, trị,…)
Trang 3BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ
LỚP
Định lí
Chứng minh: Ta có
Tên Nội dung Dấu “=” xảy ra
Bất đẳng thức
Bunhiacopxki
đối với 2 cặp
số thực
𝑎
𝑥 =
𝑏
𝑦 ( 𝑥𝑦 ≠ 0 )
Bất đẳng thức
Bunhiacopxki
đối với 2 bộ
n số thực
Với hai cặp số thực và ta có
Với hai bộ số thực , ta có
(luôn đúng với ) Dấu bằng xảy ra khi ⇔ 𝑎𝑦=𝑏𝑥 ⇔ 𝑎
𝑥 =
𝑏
𝑦 ( 𝑥𝑦 ≠ 0 )
Trang 4BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ
LỚP
Ta sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số và ta được:
Vậy Dấu bằng xảy ra
Cách 2: (trắc nghiệm)
Lấy thử vài giá trị thế vào biểu thức các đáp án ta sẽ loại trừ dần các đáp áp sai Đáp án còn lại cuối cùng sẽ là đáp án đúng
Ví dụ 1 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng với
A B C D
Lời giải
Cách 1: (tự luận)
Chọn A
Chọn
¿ ( 1 𝑎+ 2.𝑏 )2≤ (12 +22 ) ( 𝑎2+ 𝑏2 )
⇔ 𝑎
1 =
𝑏
2
¿ 5 ( 𝑎2 +𝑏2 )
Chọn
Đáp án B: 1 > 5
Đáp án C: 1 Đáp án D:
loại đáp án B,C
loại đáp án D Vậy đáp án A đúng
( 𝒂𝟏 𝒃𝟏 + 𝒂𝟐 𝒃𝟐 + + 𝒂 𝒏 𝒃 𝒏 )𝟐 ≤ ( 𝒂𝟏 𝟐+ 𝒂𝟐 𝟐 + + 𝒂 𝒏𝟐 ) ( 𝒃𝟏 𝟐+ 𝒃𝟐 𝟐 + + 𝒃 𝒏𝟐 )
Trang 5BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ
LỚP
Ví dụ 1 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng với
A B C D
Mở rộng
Cho
4 ≤ 5 ( 𝑎2 + 𝑏2 )
⇔ 𝑎2+ 𝑏2 ≥ 4
5
Dấu bằng xảy ra khi
{𝑎+ 2 𝑏=2 𝑎
1 =
𝑏
2
⇔ {𝑎 = 2
5
𝑏= 4
5
Vậy giá trị nhỏ nhất của là
Bài tập 1: Cho
Tìm giá trị nhỏ nhất của
( 𝒂𝟏 𝒃𝟏 + 𝒂𝟐 𝒃𝟐 + + 𝒂 𝒏 𝒃 𝒏 )𝟐 ≤ ( 𝒂𝟏 𝟐+ 𝒂𝟐 𝟐 + + 𝒂 𝒏𝟐 ) ( 𝒃𝟏 𝟐+ 𝒃𝟐 𝟐 + + 𝒃 𝒏𝟐 )
Trang 6BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ
LỚP
Ví dụ 1 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng với
A B C D
Mở rộng
Cho
( 𝑎+2 𝑏 )2 ≤5
⇔− √ 5 ≤ 𝑎+2 𝑏≤ √ 5
Dấu bằng xảy ra khi
{ 𝑎2𝑎+𝑏2 =1
1 =
𝑏
2
⇔ { 𝑎= √ 5
5
𝑏= 2 √ 5
5
Vậy giá trị lớn nhất của là
Bài tập 1: Cho
Tìm giá trị nhỏ nhất của
Bài tập 2: Cho Tìm giá trị lớn nhất của
( 𝒂𝟏 𝒃𝟏 + 𝒂𝟐 𝒃𝟐 + + 𝒂 𝒏 𝒃 𝒏 )𝟐 ≤ ( 𝒂𝟏 𝟐+ 𝒂𝟐 𝟐 + + 𝒂 𝒏𝟐 ) ( 𝒃𝟏 𝟐+ 𝒃𝟐 𝟐 + + 𝒃 𝒏𝟐 )
Trang 7BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ
LỚP
{ 𝑎2𝑎+ 𝑏2 +𝑐2=1
1 =
𝑏
3 =
𝑐
3
𝑎 +3 𝑏+ 3 𝑐=√ 19
Ví dụ 1 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng với
A B C D
Mở rộng
Bài tập 1: Cho
Tìm giá trị nhỏ nhất của
Bài tập 2: Cho Tìm giá trị lớn nhất của
Bài tập 3:
Cho Tìm giá trị lớn nhất của
.
Gợi ý bài tập 3
𝑇 2= ( 𝑎+3 𝑏+ 3 𝑐 )2 ≤ (12 + 3 2+ 32 ) ( 𝑎2 + 𝑏2 +𝑐 2 ) ¿ 19
Khi
⇔− √ 19 ≤ 𝑎+3 𝑏+3 𝑐 ≤ √ 19
√ 19
√ 19
√ 19
Vậy giá trị lớn nhất của là
( 𝒂𝟏 𝒃𝟏 + 𝒂𝟐 𝒃𝟐 + + 𝒂 𝒏 𝒃 𝒏 )𝟐 ≤ ( 𝒂𝟏 𝟐+ 𝒂𝟐 𝟐 + + 𝒂 𝒏𝟐 ) ( 𝒃𝟏 𝟐+ 𝒃𝟐 𝟐 + + 𝒃 𝒏𝟐 )
Trang 8BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ
LỚP
Ví dụ 1 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng với
A B C D
Mở rộng
Bài tập 1: Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của Bài tập 2: Cho Tìm giá trị lớn nhất của
Bài tập 3: Cho Tìm giá trị lớn nhất của
Bài tập 4: Cho Tìm giá trị lớn nhất của
Gợi ý bài tập 4
𝑇 2= ( √ 𝑎+𝑏+ √ 𝑏+𝑐 + √ 𝑐 +𝑎 )2 ≤ (12 +12 +12 ) ( 𝑎 +𝑏+ 𝑏+𝑐 +𝑐 +𝑎 ) ¿ 2 4
( 𝒂𝟏 𝒃𝟏 + 𝒂𝟐 𝒃𝟐 + + 𝒂 𝒏 𝒃 𝒏 )𝟐 ≤ ( 𝒂𝟏 𝟐+ 𝒂𝟐 𝟐 + + 𝒂 𝒏𝟐 ) ( 𝒃𝟏 𝟐+ 𝒃𝟐 𝟐 + + 𝒃 𝒏𝟐 )
Trang 9BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ
LỚP
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số và ta được:
Nhận xét:
Cách 2: (trắc nghiệm)
Ví dụ 2 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên
Lời giải
Cách 1: (tự luận)
¿ 𝑥+5 +3 − 𝑥 ¿ 8
≤ (12 +12 ) ( 𝑥+ 5+3 − 𝑥 ) ¿ 16
Dấu bằng xảy ra khi { √ 𝑥+ 51 =
√ 3 − 𝑥
1
√ 𝑥 +5+ √ 3 − 𝑥=4
⇔ { √ 𝑥 +5+ 𝑥 +5=3 − 𝑥√ 3 − 𝑥=4 ⇔ 𝑥=− 1
Vậy giá trị lớn nhất của là
( 𝒂𝟏 𝒃𝟏 + 𝒂𝟐 𝒃𝟐 + + 𝒂 𝒏 𝒃 𝒏 )𝟐 ≤ ( 𝒂𝟏 𝟐+ 𝒂𝟐 𝟐 + + 𝒂 𝒏𝟐 ) ( 𝒃𝟏 𝟐+ 𝒃𝟐 𝟐 + + 𝒃 𝒏𝟐 )
Trang 10BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ
LỚP
( 𝐹 − 4 )2=[ 2 ( 𝑥 −1) + ( 𝑦 −2) ]2
Ví dụ 3 Cho Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
Lời giải
⇔ 𝑥2− 2 𝑥 + 𝑦2 − 4 𝑦 ≤ 0
¿ 2 ( 𝑥 −1 ) + ( 𝑦 − 2 ) + 4
Ta có: 𝑥2 + 𝑦2 ≤2 𝑥+4 𝑦
⇔ ( 𝑥 − 1)2 +( 𝑦 − 2 )2 ≤ 5
Khi đó: 𝐹=2 𝑥+ 𝑦
⇒2 ( 𝑥 −1 ) + ( 𝑦 −2 ) ¿ 𝐹 − 4
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số
và
Vậy
≤ (22 + 12 ) [ ( 𝑥 − 1)2 + ( 𝑦 − 2 )2 ] ≤ 25
⇔− 5 ≤ 𝐹 − 4 ≤ 5
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
{ 𝑥 −12 =
𝑦 − 2
1
[ 22𝑥+ 𝑦 =−1 𝑥+ 𝑦= 9
⇔ {( 𝑥 − 1 𝑥 −2 𝑦 =− 3)2 + ( 𝑦 − 2 )2=5
[ 22𝑥 + 𝑦=− 1 𝑥 + 𝑦= 9
⇔ [ 𝑥=−1 ; 𝑦 =1 𝑥=3 ; 𝑦 =3
Vậy đạt giá trị nhỏ nhất bằng
khi đạt giá trị lớn nhất bằng
khi
Trang 11BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ
LỚP
hoặc
Điều kiện Nội dung Dấu “=” xảy ra
Định lí
Chứng minh:
| 𝑥 | ≥ 0, | 𝑥 | ≥ 𝑥 , | 𝑥 | ≥− 𝑥 | 𝑥 | = 𝑥 𝑥 ≥ 0, | 𝑥 | = − 𝑥 𝑥 ≤ 0
| 𝑥 | ≤ 𝑎 −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎
| 𝑎 | − | 𝑏 | ≤ | 𝑎+𝑏 | ≤ | 𝑎 | + | 𝑏 |
Ta có | 𝑎+𝑏 | ≤ | 𝑎 | + | 𝑏 |
𝑎2+ 2 𝑎𝑏+ 𝑏2 ≤ 𝑎2 + 2 | 𝑎𝑏 | + 𝑏2
𝑎𝑏≤ | 𝑎𝑏 |
(bất đẳng thức đúng)
Một số bất đẳng thức cơ bản
0
a >
Trang 12BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ
LỚP
Chứng minh với mọi số thực
.
Lời giải
Áp dụng bđt ta có
| 5 − 𝑥 | + | 𝑥 +10 | ≥ | 5 − 𝑥+ 𝑥 +10 | = 15
Ví dụ 1
Trang 13BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ
LỚP
Cách 2: (trắc nghiệm)
Lấy thử vài giá trị thỏa mãn thế vào biểu thức ta sẽ loại trừ dần các đáp áp sai Đáp án còn lại cuối cùng sẽ là đáp án đúng
Ví dụ 2 Cho các số thực thỏa mãn và
A B C D .
Lời giải
Cách 1: (tự luận)
Cộng theo vế ta được
Chọn B
Chọn loại đáp án A,C,D Vậy đáp án B đúng
Ta có Khẳng định nào sau đây là đúng?
| 𝑎 | − | 𝑏 | ≤ | 𝑎+𝑏 |
Trang 14BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ
LỚP
Lời giải
Cho hai số thực thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Ví dụ 3
𝑃 ≤ | 𝑥 +2 𝑦 | ≤ √ ( 𝑥 2 + 𝑦 2 ) ( 12 + 22 ) = √ 5
Vậy
Ta có
( 𝑎 𝑐+ 𝑏 𝑑 ¿ ¿2 ≤ ( 𝑎2 +𝑏2 ) ( 𝑐2 + 𝑑2 )
Nhận xét