Viết pt tham số đường thẳng BC.[r]
Trang 1BÀI TẬP TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN – LTĐH 2013
d
Viết pt mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q): x + y – 2z + 3 = 0 và (P) cắt hai đường thẳng d1, d2 theo đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất
* Giải:
- (P) // (Q) => (P): x + y – 2z + d = 0
- Tọa độ giao điểm M cùa (P) với d1 là nghiệm cùa hệ:
x y z d
t
=> t = - d
=> M (-2d+1; -d-1; -d )
- Tương tự: giao điểm của (P) với (d2) là N(-d-2; -2d-4; -d-3)
- Ta có: MN = 2 d 2 27 3 3 => MNmin = 3 3 khi d = 0 Lúc đó: M (-1; 1; 0) ,
N (-2; -4 ;3 )
* Vậy pt mặt phẳng (P) cần tìm là: x + y – 2z = 0
2) Cho (S): x2 + y2 +z2 + 2x + 4y + 6z + 4 = 0; A(2; 1; 0) , B(-1; -1; 2) Lập pt mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A và B và cắt (S) theo một đường tròn có chu vi 6
* Giải:
- Mặt cầu (S) có tâm I (-1; -2; -3), bán kính R = 10
- (P) cắt (S) theo đường tròn có bán kính r = 3 => d (I,(P)) = R2 r2 1
-pt mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = 0 Ta có hệ pt:
( , ( )) 1
a b d
a b c d
d I P
- Từ hai pt đầu ta suy ra: d = -2a – b; c =
2
a b
, thay vào pt cuối ta được:
53
- Với a = - b , chọn b = -1 => a = 1 , c =
1
2 => (P): 2x – 2y + z – 2 = 0
- Với a = -
34
53b, chọn b = - 53 => a = 34 , c = - 2 => (P): 34x – 53y – 2z – 15 = 0
3) Cho (S): x2 + y2 + z2 + 2x – 4y – 2z + 5 = 0 và mp (P): x – 2y – 2z – 3 = 0 Tìm điểm M thuộc (S) và N thuộc (P) sao cho MN có độ dài nhỏ nhất
*Giải:
- Mặt cầu (S) có tâm I(-1;2;1), bán kính R = 1
- Do d(I,(P)) = 2 > R => (S) không cắt (P)
- Gọi N là hình chiếu vuông góc của I trên (P), IN cắt (P) tại M, với M1, N1 bất kỳ lần lượt thuộc (S) và (P) thì IM1 + M1N1 IN1 IN IM MN M N1 1 MN v ( ì IM1 IM R 1)
Trang 2=> MN đạt giá trị nhỏ nhất khi M1 M N ; 1 N
- Gọi d là đường thẳng qua I, d vuông góc (P) => ptts của d là:
1
2 2
1 2
N(-1 + t ; 2 - 2t; 1 + 2t) (P) => t = 2/3 => N( -1/3; 2/3; 7/3 ),
M(-1 + s; 2 – 2s; 1 + 2s) (S) => s = 1/3 hoặc s = -1/3
- Với s = -1/3 => M(-4/3; 8/3; 1/3) => MN = 3
- Với s = 1/3 => M(-2/3; 4/3; 5/3) => MN = 1
* Vậy MN có độ dài nhỏ nhất bằng 1, lúc đó M(-2/3; 4/3; 5/3) và N( -1/3; 2/3; 7/3 )
4) Cho (P): 2x – y + 2z – 3 = 0 và (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 8z – 4 = 0 Xét vị trí tương đối của (S) và (P) Viết pt mặt cầu (S/) đối xứng mặt cầu (S) qua mp (P)
* Giải:
- Mặt cầu (S) có tâm I (1; -2; 4 ), bán kính R = 5
- Do d (I, (P)) = 3 < R = 5 => (P) và (S) cắt nhau
- Gọi J là điểm đối xứng của I qua (P) Ptts của IJ là:
1 2 2
4 2
- Tọa độ giao điểm H của IJ và (P) thỏa hệ pt:
1 2 2
4 2
x y z
=> t = -1 => H (-1; -1; 2)
- Vì H là trung điểm của IJ nên suy ra J(-3; 0; 0) Mặt cầu (S/) có tâm J, bán kính R/ = 5 nên có pt là: (x + 3)2 + y2 + z2 = 25
5) Cho hình thang cân ABCD ( AB là đáy lớn; CD là đáy nhỏ) Với A (3; - 1; - 2), B (1; 5; 1),
C (2; 3; 3) Tìm tọa độ điểm D
* Giải:
- ABCD là hình thang cân, nên AD = BC = 3 và AB // CD
- Gọi d là đường thẳng đi qua C và d // AB, (S) là mặt cầu tâm A, bán kính R = 3 Điểm D cần tìm là giao điểm của d và (S)
Do d có vtcp AB 2; 6;3
, nên có pt:
2 2
3 6
3 3
Pt mặt cầu (S): ( x – 3)2 + ( y + 1)2 + ( z + 2)2 = 9
Tọa độ điểm D thỏa hpt: 2 2 2
2 2
3 6
3 3
=> t = - 1 hoặc t = - 33/49
* Với t = -1 thì D (4; -3; 0) không thỏa vì lúc đó AB = CD = 7
* Với t = -33/49 thì D ( 164/49; -51/49; 48/49) (nhận)
Trang 36) Cho d:
x y z
và điểm M (0; - 2; 0 ) Viết pt mặt phẳng (P) đi qua M, song song với d và khoảng cách giữa d và (P) bằng 4
* Giải:
- Do (P) đi qua M nên pt mặt phẳng (P): ax + by + cz + 2b = 0
- Từ giả thiết ta có: 2 2 2
p d
n u a b c
a b b
d P
a b c
- Thay b = - a – 4c vào: a 5 a 4 c 4 a2 a 4 c 2 c2
<=>
- Với a = - 2c: chọn c = -1 =.> a = 2, b = 2 => (P1): 2x + 2y – z + 4 = 0
- Với a = 4c: chọn c = 1 => a = 4, b = - 8 => (P2): 4x – 8y + z – 16 = 0
* Vậy có hai pt mặt phẳng (P) cần tìm là: (P1): 2x + 2y – z + 4 = 0
(P2): 4x – 8y + z – 16 = 0
7) Cho A ( 2; 0; 0 ), H ( 1; 1; 1 ) Viết pt mặt phẳng (P) đi qua A và H sao cho (P) cắt hai trục
Oy và Oz lần lượt tại B và C thỏa điều kiện SABC = 4 6
* Giải:
- pt mặt phẳng (P): 1 0
2
x y z
bc
b c
, Do (P) đi qua H nên:
1
, 2
1
2
ABC
b c
Đặt t = bc, từ (1) suy ra b + c = 2
c
, thay vào (2) ta được: t2 + 4(
2
4
t
- 2t ) = 384 <=> t = 16 hoặc t
= - 12
- Với bc = 16 và b + c = 8 => b = c =4
- Với bc = - 12 và b + c = -6 =>
b c b c
* Vậy có ba mặt phẳng (P) thỏa yêu cầu đề bài:
(P1): 2x + y + z – 4 = 0
(P2): 6 x 3 21 y 3 21 z 12 0
Trang 4(P1): 6 x 3 21 y 3 21 z 12 0
8) Cho C ( 0; 0; 2 ), K ( 6; -3; 0 ) Viết pt mặt phẳng (P) đi qua C, K sao cho (P) cắt hai trục Ox,
Oy tại A, B thỏa điều kiện VOABC = 3
* Giải:
- Ta có pt mặt phẳng (P): 1 0
2
x y z
ab
a b
6 3
1
OABC
a b
ab
- Xét hệ:
9
3
2
ab
Ta được hai mặt phẳng : (P1): 2x + 2y + 3z – 6 = 0
(P2): x + 4y – 3z + 6 = 0
- Xét hệ:
9
ab
b a
(hệ này vô nghiệm)
* Vậy có hai mặt phẳng thỏa yêu cầu bài toán: (P1): 2x + 2y +3z – 6 = 0
(P2): x + 4y – 3z + 6 = 0
9) Cho hình chóp O.ABC, trong đó A ( 1; 2; 4 ), B thuộc tia Ox, C thuộc tia Oy Mặt phẳng
( ABC ) vuông góc mặt phẳng ( OBC ), tan OBC 2 Viết pt tham số đường thẳng BC.
*Giải:
Do tan
b
=> B ( b; 0; 0 ), C ( 0; 2b; 0 ) Mặt phẳng (OBC) có n OBC 0;0;1
, mặt phẳng (ABC) có n ABC 8 ;4 ;2 b b b2 4 b
Hai mặt phẳng này vuông góc => nOBC nABC 0 2 b b 2 0 b 2
(Vì b > 0 )
Ta có: B( 2; 0; 0 ), C( 0; 4; 0 ) => ptts của BC là:
2 2 0
z
10) Cho (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 và d1:
x y z
d2:
x y z
Tìm điểm Md1 và điểm N d2 sao cho MN // (P) và MN cách (P) 1 khoảng bằng 2
Giải: M ( 1 + 2t; 3 – 3t; 2t ) d1 , N ( 5 + 6s - 2t; -3 + 4s +3t; -5 -5s -2t ) d2
MN s t s t s t
Trang 5 1; 2;2 , //( )
P
1
0
1 4 4
t
t
Với t = 1 => s = - 1 => M1 ( 3; 0; 2), N1 ( -1; -4; 0 )
Với t = 0 => s = 0 => M2 ( 1; 3; 0), N2 ( 5; 0; -5)
11) Cho d: 2 4 ; 1;2; 1 , 7; 2;3
Tìm M d sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất
Giải: * AB 6; 4;4 2 ud
=> AB // d => Xác định một mặt phẳng (P) ( AB,d)
* H ( 2 + 3t; - 2t; 4 + 2t) d và A ( 1; 2; - 1)
1 3 ; 2 2 ;5 2
3; 2;2
d
d
u
AH u
=> t = - 1 => H ( - 1; 2; 2), A/ đối xứng với A qua H => A/ ( - 3; 2; 5)
Tam giác A/AB có HM là đường trung bình => M ( 2; 0; 4)
12) Cho (S): x2 + y2 + z2 – 6x + 8y +2z +1 = 0 và (P): x + 2y – 5z + 2 = 0 Viết pt mp (Q) song song với trục Ox, vuông góc với (P) và cắt (S) theo 1 đường tròn có chu vi bằng 8
* Giải:
- (S) có tâm I ( 3; -4; -1 ), bán kính R = 5
- Do (Q) // Ox và (Q) vuông góc (P) nên (Q) có cặp vtcp:
1
2
1;0;0
u
u
=> (Q): 5y + 2z + d = 0
- (Q) cắt (S) theo đường tròn bán kính r = 4 => d (I, (Q)) =
20 2
d
R r d
* Vậy có hai mặt phẳng (Q) là: 5y + 2z +22 3 29 0