Download Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12

[r]

Sở Gd&Đt Nghệ an K thi ch n h c sinh gi i t nh ỳ ọ ọ ỏ ỉ

N m h c 2012 - 2013 ă ọ hướng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức

(Hướng d n v bi u i m ch m g m ẫ à ể đ ể ấ ồ 05 trang) Môn: Toán l p 12 - THPT - b ng B ớ ả

a.

K: x

(1) tr th nh: (m - 3)t + (2 - m)tở à 2 + 3 - m = 0 <=> m =

2 2

  (2) 0,5

Xét f(t) =

2 2

  , t  0 ; f/(t) =

2



f/(t) = 0 <=>

t 0

t 2





B ng bi n thiênả ế

0,5

f(t)

5 3

Phương trình (1) có nghi m <=> phệ ương trình (2) có nghi m tho mãn t ệ ả 

<=>

5

m 3

b. sinx 3

cosx x



(1) <=> tgx.sin2x - x3 > 0

Xét f(x) = tgx.sin2x - x3 ; x

(0; ) 2





f/(x) = tg2x + 2sin2x - 3x2

f//(x) = 2tgx 2

1

2sin x

f///(x) =

6

2cos x 6sin x.cos x

4cos2x 6 cos x



0,25 0,25 0,25

=

2 4

2cos x 6sin x

8cos x 10 cos x



=

4

8cos x 10cos x 4cos x 6

cos x

=

4

2(cos x 1) (4cos x 3)

0 cos x



;

x (0; ) 2



 

=> f//(x) đồng bi n trên ế (0; )2



=> f//(x) > f//(0) = 0 ,

x (0; ) 2



 

=> f/(x) đồng bi n trên ế (0; )2



=> f/(x) > f/(0) = 0 ,

x (0; ) 2



 

=> f(x) đồng bi n trên ế (0; )2



=> f(x) > f(0) = 0 ,

x (0; ) 2



 

K: - 1

Xét h m s y = x + à ố 1 x 2 trên o n [-1; 1], ta có:đ ạ

y/ = 1 - 2

x

2 2

1 x

<=>

x 2







Khi ó y(-1) = - 1 ; y(đ

1

V y max y = ậ 2 khi x =

1 2

min y = - 1 khi x = - 1

0,25 0,25

x y sinx

sin y

4















Ta có (1) <=>

/

(1 )

Xét f(t) = t

sin t

e , t 0;4



f/(t) =

t

0 , t (0; )

4





=> f(t) đồng bi n trên ế 0;4



  Khi ó t (1đ ừ /) => x = y 0,5 Thay v o (2): - cos2x + sin2x = sinx + cosx - 1à

<=> 1 - cos2x + sin2x - (sinx + cosx) = 0

<=> 2sin2x + 2sinxcosx - (sinx + cosx) = 0

<=> 2sinx(sinx + cosx) - (sinx + cosx) = 0

<=> sinx =

1

2 (do sinx + cosx > 0 x (0; )4



 

<=>

6 5

6











Do x

(0; ) 4





nên x = 6



V y h có nghi m: ậ ệ ệ 6 6;

 

B i 3 à

Tìm nghi m nguyên c a phệ ủ ương trình: cos 3x 9x2 160x 800 1

8



Ta có (1) <=>

2

8



, k  Z

<=>

2

169x 800 (3x 16k)

2

9x









<=>

2

16k

3

3k 5











 

Ta có (2) <=> 9x = 24k - 40 -

25

Suy ra 3k + 5  {- 1; 1; 5; - 5; 25; - 25}

 S =

1

2CH.AB (1).

Phương trình AB: x - y - 5 = 0 => CH = d(C, AB) =

a b 5 2

do ó: (1) <=> đ

a b 5

<=>

a b 8

a b 2





0,25 0,25 0,25

 To ạ độ G(

a 5 b 5

;

)

Ta có: G   <=>

3(a 5) b 5

8 0

TH1:



Chu vi tam giác: 2p = AB + BC + CA = 2 65 89

=> r =

TH2:



Chu vi tam giác: 2p = AB + BC + CA = 2 5 2

=> r =

3

Ta có tâm I(1; 2), bán kính R = 1

d(I, ) =

1 2 1

2 R

 

=>  n m ngo i (C) => t M ằ à ừ  

luôn k ẻ được hai ti p tuy n v i (C).ế ế ớ

Ta có: MT1  IT1, MT2  IT2 => T1, T2 thu c ộ đường tròn (C), đường kính MI

=> T1T2 l tr c à ụ đẳng phương c a (C) v (C).ủ à 0,5

I M

T2 T1

Do M   nên M(m + 1; m) => trung i m c a IM l K(đ ể ủ à

m 2 m 2

;

Phương trình đường tròn (C) l :à

(x -

<=> x2 + y2 - (m + 2)x - (m + 2)y + 3m + 1 = 0 0,5

=> phương trình đường th ng Tẳ 1T2 l : mx + (m - 2) y - 3m + 3 = 0à 0,5

G i A(xọ 0; y0) l i m c à đ ể ố định m Tà 1T2 luôn i qua.đ

Ta có: mx0 + (m - 2) y0 - 3m + 3 = 0 m  R

<=>

0

0

0

3 x

y 2









=> đường th ng Tẳ 1T2 luôn i qua m t i m c đ ộ đ ể ố định A(

3 3

;

Chú ý: H c sinh gi i theo cách khác n u úng v n cho i m t i a ọ ả ế đ ẫ đ ể ố đ